论数学实验在解题中的应用及能力培养——以2020年北京高考试题为例北大核心

近年来,北京高考正逐年加重对数学实验的考查,尤其是2020年高考,在题目数量以及考查形式上达到新的高度,2020年北京高考数学试题中的(6)、(8)、(10)、(14)、(19)、(21)等6道题在求解过程中,可以借助数学实验的手段获取解决思路,因此研究数学实验在解题中的应用以及探究提升数学实验能力的途径具有重要意义.     

立足错因分析,强化解题指导——一道选择题纠错教学的启示

在近期进行的一次"相似形"单元练习中,一道选择题的"蹊跷"出错引起了笔者的关注.在批阅试题后,笔者决定以此题为例题,设计了一次解题教学.通过错因分析,让学生获得此类问题求解时的避错策略,突破试题讲评"就错论错"的困境,放大了"错误"资源的教学效应.现结合这道选择题的教学历程谈一些感悟,希望能给您带来启示.一、原题分析题目:如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,∠BDA=90°,AB=a,BD=b,CD=c,BC=d,AD=e,则下列等     

悬链线竖向集中力作用下的构形分析和张力计算

目前,悬链线在竖向集中力和均布荷载共同作用下的构形分析和受力计算的理论仍不完善。针对这一问题,通过引入悬链线的几何约束方程、力平衡方程和超越方程,建立了竖向集中力与均布荷载共同作用下的非线性方程组。采用牛顿迭代法求解方程组,得到了悬链线的构形和受力情况。为了验证理论计算的正确性,进行了算例和试验验证。结果表明,算例的计算结果与文献结论保持一致,试验测得的构形和水平张力大小与理论计算的构形和水平张力大小吻合较好。本文的理论计算可以更加简单精确地计算出悬链线在竖向集中力和均布荷载共同作用下的构形和受力情况,为实际工程提供重要的理论指导。     

圆柱形汇聚激波诱导Richtmyer-Meshkov不稳定的SPH模拟

汇聚激波诱导不同物质界面的Richtmyer-Meshkov(RM)不稳定现象在惯性约束核聚变领域有重要的学术意义和工程背景.基于网格离散的宏观流体力学方法由于数值扩散问题往往需要高阶精度算法才能准确追踪界面演化,且对大变形和破碎合并等复杂界面追踪也极为困难.光滑粒子流体动力学(smoothed particle hydrodynamics,SPH)方法采用纯拉格朗日算法,可以有效克服上述难点.但经典SPH算法需采用人工黏性处理强间断,在激波间断处往往会出现严重的非物理振荡,对于涉及强冲击不稳定性问题,很难达到理想的模拟效果.本文采用基于HLL黎曼求解器的SPH算法,实现了对强激波和大密度比物质界面的有效分辨和追踪.一维数值校核证明了代码的可靠性、健壮性,并进一步模拟了二维圆柱形汇聚冲击波冲击四边形轻/重气界面诱导的RM不稳定性问题,与已有实验结果进行了对比,发现模拟结果与实验结果吻合.通过分析界面演化过程中的密度及压力变化,发现本文所采用的方法可准确地追踪激波与界面作用的复杂界面和波系演化规律.研究结果为进一步理解和解释汇聚冲击条件下的RM不稳定性机理奠定了基础.     

2014年北京理科卷第19题的探究历程

2014年北京理科卷第19题：已知椭圆C：x2＋2y2=4,（1）求椭圆C的离心率.（2）设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2＋y2=2的位置关系,并证明你的结论.此题是近年解析几何中常考的一种题型──运动中的＂不变＂问题.考查椭圆方程、直线与圆的位置关系,考查运算求解能力、推理论证能力,考查转化化归思想、数形结合思想、特殊与一般等数学思想，是一道精心打磨的好题．     

ATCase:一个基于多项式约束求解的数值程序测试用例自动生成工具北大核心CSCD

现有的基于符号执行的测试用例自动生成技术存在不足之处:由于精度限制和非线性约束求解的复杂性,符号执行在遇到复杂的非线性浮点约束时效果并不理想.针对这一现状,给出了一个基于多项式约束求解和区间验证的测试用例生成算法.对于复杂非线性约束难以求解的问题,采用基于低秩矩量矩阵恢复的多项式系统求解方法,该方法对于含有等式和不等式的多项式系统,相较于其他方法求解速度更快,更适合大规模问题的求解;对于浮点约束求解不准确的问题,采用基于区间分析的验证算法来计算包含精确实解的区间,基于该区间给出测试用例,可以避免浮点计算的不准确和异常.结合该算法和符号执行工具KLEE-FP实现了一个测试用例自动生成工具ATCase(automatically generate test case),它能够分析数值程序中的路径并自动生成满足路径约束的测试用例.在两个开源软件库中的2两个复杂的真实程序上运行的实验结果表明ATCase相比KLEE-FP所使用的STP求解器,能快速生成具有更高覆盖率的测试用例,特别是在处理相对复杂的非线性约束时,优势更加明显.     

一类非线性方程组的求解

对于一个给定的非线性方程组,通过一系列的变化,可以将其构造成一个函数,从而把非线性方程组的求解问题转换为求函数极小值问题.通过利用正交表的数据分析方法,给出了求函数极小值进而求解非线性方程组的方法,这种方法得到的解比已有的更精确,且大大缩减了复杂方程组的计算量,用时少,不需要初始值.最后,采用Matlab软件,验证了其可行性和有效性.     

Volterra核函数法在轴承滚珠磨损中的特征提取及应用

针对滚动轴承滚珠磨损故障特征难以提取的问题,提出一种基于多脉冲激励法下的Volterra级数核的求解算法.该方法是一种非线性系统模型的“交叉”诊断法,利用轴承系统输入输出的采样信号,建立Volterra非线性辨识系统模型,并运用多脉冲激励Volterra低阶核求解算法,将得到的低阶核通过时域和频域进行对比来判断轴承当前所处的运行状态.该文以无心车床主轴轴承为例进行实验验证,并与传统的小波分析法对比得出:多脉冲激励法能够方便准确地提取轴承的故障特征,该方法对此类故障的诊断具有一定的借鉴意义.     

快解斜三角形的一种有效策略

斜三角形问题的求解在历年的高考中都有出现,此类问题属常规题,难度一般,求解时人手宽,上手易,得分也不低．仔细研究一下斜三角形问题,就会发现：当一个题目的图形中三角个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可以用正弦定理或余弦定理求解的,而题中所求元素大都处在另一三角形中.     

常微分方程技术及其在固体力学计算中的应用

常微分方程(ODE——Ordinary Differential Equation)边值问题的最新计算求解技术的迅速发展推出了一批高质高效的通用软件,而工程中大量的ODE问题并非呈现为这些求解器(Solver)所接受的标准形式。然而,运用一些简单的ODE变换技巧可以将大量的不同类型的特殊问题转化为标准形式。本文列举了若干常用的变换技巧,并广泛地应用于各种固体力学问题的计算中,使大量的ODE问题在形式上得到统一,得以用标准的ODE Solver方便有效地求解。