一道课外练习题的别证

题在矩形ABCD中,点M是边AD的中点,点N是边BC的中点,在边CD的延长线上任取一点P,联结PM并延长交AC于点Q,求证:∠PNM=∠MNQ.这是贵刊2011年3月下的一道课外练习题,是由笔者编拟提供的,原解答比例代换繁杂,一般学生不易掌握,今再给出一种学生易掌握的证法.     

点焦距与焦半径的一个关系式

引子 如图1,在平面直角坐标系中,过点P(m,n)作圆x2+y2=R2的切线PA、PB,A、B为切点,设O为圆心.则PO2＝m2+n2,AO·BOm2+n2=R2,PO2=m2/R2+n2/R2.根据圆与圆锥曲线的相关性,可将这一结论拓展到一般圆锥曲线.     

一个三角不等式又一证法

笔者在《中学生数学》2008年2月（上）P29的文《西部数学奥赛一题的三角证法》中给出如下试题：     

亚波长尺度下混合等离子泄漏模式激光

由于光存在衍射极限,因此传统方法不能实现亚波长尺度下的激光激射。为了打破这一衍射极限,本文设计了金属-介电层-半导体堆叠结构来实现深亚波长尺度下的激光激射,并讨论了相关结构对模式传播的影响。结构设计上,采用低介电常数金属银作为衬底、10 nm厚的LiF作为介电层、具有六边形截面的半导体纳米线ZnO作为高介电常数层,采用有限差分本征模和时域有限差分方法对所设计的结构进行光学仿真模拟。首先,通过改变ZnO纳米线的直径,使用有限本征模方法分析介电层中的光学模式,得到4种模式分布。然后,通过这4种光学模式在不同纳米线直径下的有效折射率和损耗计算了对应的波导传输距离以及激射阈值增益。最后,采用三维时域有限差分方法仿真分析纳米线稳态激光发射过程中各模式的电场分布。结果表明:在纳米线和金属衬底之间的介电层上存在混合等离子体模式和混合电模式,对于直径低于75 nm的ZnO纳米线,没有有效的物理光学模式,即混合等离子体模式和混合电模式都被切断,当ZnO纳米线的直径大于75 nm时,混合等离子体模式可以有效存在,而混合电模式在ZnO纳米线的直径达到120 nm之后才出现。虽然混合等离子体模式可以更好地限制在介电层中,但是它们的模式损耗太大,传播距离相对较小。此外,与混合等离子体模式相比,混合电模式的传播距离更长。在给定微米线的直径(D=240μm)下,混合电模式传播距离超过50μm。综上可知,在深亚波长尺度下利用混合泄漏模式可以打破光学衍射极限并实现激光激射。     

第一性原理研究Te-N共掺p型ZnO

采用基于密度泛函理论的第一性原理赝势法对Te-N共掺杂ZnO体系的晶格结构、 杂质态密度和电子结构进行了理论分析.研究表明, N掺杂引起晶格收缩,而Te的掺入引起晶格膨胀, 从而减小晶格应力促进N的掺杂,并且Te由于电负性小于O而带正电, Te在ZnO中作为等电子施主而存在.研究发现, N掺杂体系中在费米能级附件形成窄的深受主能级, 而Te-N共掺体系中, N杂质带变宽,空穴更加离域,同时,空穴有效质量变小,受主能级变浅, 更有利于实现p型特性.因此, Te-N共掺有望成为一种更为有效的p型掺杂手段.     

ZnO薄膜近带边紫外发光的研究

用ZnO陶瓷靶,采用脉冲激光沉积(PLD)技术在c-Al₂O₃衬底上制备了ZnO薄膜。通过不同温度下光致发光(PL)光谱的测量,对样品的紫外发光机理进行研究。 在较低温度(10 K)下的PL光谱中,观测到一个位于3.354 eV处的束缚激子(D⁰X)发射,随着温度的升高(~50 K),在D⁰X的高能侧观测到了自由激子的发射峰。在10 K温度下,3.309 eV处出现了一个较强的发光带A,此发光带强度随着温度升高先增大然后减小,并且一直延续到室温。重点讨论了此发光带的起源,并认为A带可归属于自由电子-受主之间的复合发射。     

西部数学奥赛一题的三角证法

<正>题目求证:对任意正实数a、b、c都有1≤(a/（a²+b²）^1/2)+(b/（b²+c²）^1/2)+(c/（c²+a²）^1/2)≤(3 2^1/2/2).《中学生数学》2007年1月（上）P₃₆刊出了杨安琪同学对此题的"新解".可惜原文的最后两步有误.因由cos²α+cos²β+cos²γ≥3·（cos²α·cos²β·cos²γ）^1/3,cos²αcos²βcos²γ≤（1/8）,不能推出cos²α+cos²β+cos²γ≥3·（1/8）^1/3.尽管原文出现小小的失误,但原文的思想方法很好.     

Measuring Loschmidt echo via Floquet engineering in superconducting circuits

The Loschmidt echo is a useful diagnostic for the perfection of quantum time-reversal process and the sensitivity of quantum evolution to small perturbations. The main challenge for measuring the Loschmidt echo is the time reversal of a quantum evolution. In this work, we demonstrate the measurement of the Loschmidt echo in a superconducting 10-qubit system using Floquet engineering and discuss the imperfection of an initial Bell-state recovery arising from the next-nearest-neighbor (NNN) coupling present in the qubit device. Our results show that the Loschmidt echo is very sensitive to small perturbations during quantum-state evolution, in contrast to the quantities like qubit population that is often considered in the time-reversal experiment. These properties may be employed for the investigation of multiqubit system concerning many-body decoherence and entanglement, etc., especially when devices with reduced or vanishing NNN coupling are used.     

一个几何不等式的简证

一个几何不等式的简证６１１２３６四川崇州市元通中学宿晓阳题设面ＡＢＣ的三边和面积分别为ａ、ｂ、ｃ和西，则ａ＇ｂ＇＋ｂ＇ｃ＇＋ｃ＇ａ＇＞１６凸＇（１）文［ｆｉ在证明（１）式利用了三个引理，实在太繁，文［Ｚｊ提供两种证法，但亦利用了两个几何不等式．这里提...