On Bourque-Ligh Conjecture of LCM Matrices

ＯｎＢｏｕｒｑｕｅ－ＬｉｇｈＣｏｎｊｅｃｔｕｒｅｏｆＬＣＭＭａｔｒｉｃｅｓ￥ＨｏｎｇＳｈａｏｆａｎｇ（洪绍方）（Ｄｅｐｔ．ｏｆＭａｔｈ．，ＳｉｃｈｕａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ，Ｓｉｃｈｕａｎ，６１００６４）（Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｅｄｂｙ...     

q~q±1(q=p~n)的Aurifeuillian分解

ｑｑ±１（ｑ＝ｐｎ）的Ａｕｒｉｆｅｕｉｌｉａｎ分解孙琦洪绍方（四川大学数学系）摘要设素数ｐ≡ε（ｍｏｄ４），其中ε＝１，－１，ｎ为正整数，ｑ＝ｐｎ，ｑ１＝ｑｑ／ｐ，η＝ηｑ＝ｅｘｐ（２πｉ／ｑ）．Φｍ（ｘ）表示ｍ阶分圆多项式．记Ｓε＝Φｑ（εｑ），本...     

关于本原射影Reed-Solomon码的深洞

本原射影Reed-Solomon码是数字通信领域中的一类重要的极大距离可分码.在本原射影ReedSolomon码的译码过程中,人们通常采用极大似然译码算法.对于一个收到的向量u∈F_q~n,极大似然译码算法关键在于确定向量u关于码C的错误距离d(u,C).熟知d(u,C)≤ρ(C),其中ρ(C)为码C的覆盖半径.若d(u,C)=ρ(C),则称u为码C的深洞.本文得到了本原射影Reed-Solomon码PPRS_q(F_q~*,k)的一类深洞.实际上,利用有限域F_q上极大距离可分码的生成矩阵,本文证明如下结果成立:如果q≥4,整数k满足2≤k≤q-2,收到的向量u的前q-1个分量的Lagrange插值多项式为u(x)=λx~(q-2)+f≤k-2(x),其中λ∈F_q~*,f≤k-2(x)为F_q上次数不超过k-2的多项式,并且u的第q个分量为0,那么u是本原射影Reed-Solomon码PPRSq(F_q~*,k)的一个深洞.     

The p-adic Approach to Wolstenholme''''s Theorem

The p-adic Approach to Wolstenholme's Theorem@孙琦 @洪绍方&&     

与一类算术函数关联的矩阵的行列式的下界

设f为一个算术函数,S={x 1,…,x n}为一个n元正整数集合.称S为gcd-封闭的, 如果对于任意1 i,j n,均有(x i,x j)∈S.以 ={y 1,…,y m}表示包含S的最小gcd-封闭的正整数集合. 设(f(x i,x j))表示一个n×n矩阵, 其(i,j)项为f在x i与x j的最大公因子(x i,x j)处的值. 设(f[x i,x j])表示一个n×n矩阵, 其(i,j)项为f在x i与x j的最小公倍数[x i.xj]处的值. 本文证明了: (i) 如果f∈C s ={f:(f*μ)(d)>0, x∈S,d|x},这里f*μ表示f与μ的Dirichlet乘积,μ表示M bius函数,那么 并且(1)取等号当且仅当S=;(ii)如果f为乘法函数,并且 ∈Cs,那么 并且(2)取等号当且仅当S= .不等式(1)和(2)分别改进了Bourque与Ligh在1993年和1995年所得到的结果.     

Aurifeuillian Factorizations of q~q±1(q=p~n)

ＡｕｒｉｆｅｕｉｌｉａｎＦａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｓｏｆｑｑ±１（ｑ＝ｐｎ）ＳｕｎＱｉ（孙琦）ＨｏｎｇＳｈａｏｆａｎｇ（洪绍方）（Ｄｅｐｔ．ｏｆＭａｔｈ．，ＳｉｃｈｕａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ，Ｓｉｃｈｕａｎ，６１００６４）Ｃｏｍｍｕｎ...     

与一类算术函数关联的矩阵的行列式的下界

设f为一个算术函数，S=｛x1，…，xn｝为一个n元正整数集合．称S为gcd-封闭的，如果对于任意1≤i，j≤n，均有（xi，xj）∈S．以S=｛y1，…，ym）表示包含S的最小gcd-封闭的正整数集合．设（f｛xi,xj））表示一个n×n矩阵，其（i,j）项为f在xi与xj的最大公因子（xi,xj）处的值．设（f[xi,xj]）表示一个n×n矩阵，其（i,j）项为f在xi与xj的最小公倍数[xi.xj]处的值．本文证明了。(i)如果f∈Cs=｛f:(f*μ)(d)＞0，x∈S,d|x｝这里f*μ表示f与μ的Dirichlet来积，μ表示Mobius函数，那么并且（1）取等号当且公当S=（ii）如果f为乘法函数，并且1/f∈Ca,那么并且（2）取等号当且仅当S=。不等式（1）和（2）分别改进了Bourque与Ligh在1993年和1995年所得到的结果。＃且（1）＄＄95llttgS－g；（n）toilk＃ffed数，＃if｝。C。，W4并且问取等号当且仅当S一S．不等式（1）和（2）分别改进了Bourque与Li少在1993年和1995年所得到的结果