数学归纳法的构造

数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一.它在各个数学分支领域中都有着极为广泛的应用,正确地掌握并灵活地应用此方法是数学教学的基本要求之一.数学归纳法具有多种形式,无论何种形式其核心都是必不可少的两个基本步骤.对于各种具体问題选用适宜的数学归纳法形式以使两个基本步骤得以实现是解决问题的重要一环.这方面已有不少论著作出广泛的讨论.本文的主要目的在于给出数学归纳法的一个一般性定理,由此不仅可以     

具有单位元素的环的一个交换性定理(英文)

设 R 是一个环.N 表示一切正整数的集合。定义 N 的一个子集E(R)={n∈N|(xy)~n=x~ny~n,(?)x,y∈R}.Kobayashi[1]证得》设 R 是有1环。若 E(R)含 n_1,…n_r≥2使(n_1(n_1-1),…,n_r(n_r-1))=2,并且某些 n_i 是偶数则 R 是交换的。本文的目的即改进此结果,我们证明了下面的定理 设 R 是有1环。若 E(R)含 n_1,…,n_r≥2使(n_1(n_1-1),…,n_r(n_r-1))=2,则 R是交换的。此外,本文还给出了此定理的两个堆论。     

Morley逆定理的一个初等证明

文献[1]中介绍了Morley逆定理的一个证明,其方法与构思都具有一定特色,但用了极限、求导、零点讨论等不为一般中学生所熟悉的分析方法,并且证明过程也较冗长。本文利用初等几何及三角的方法给出了Morley逆定理的另外一个证明,它较[1]中的证明更为简明。     

质环的求导和交换性

In this paper, we generalize some corresponding results of [1-4]. We obtain the main results as the following:Theorem 1 Let R be a prime ring of characteristic not 2 with nontrivial derivations d₁,d₂ and let U be a nonzero ideal of R . If C is the center of R, then the following conditions are equivalent : (i)d₁,d₂(x)∈C for all x∈U; (ii) [d₁(x),d₂(y)]∈C for all x,y∈U; (iii) d₁(x)d₂(y)+d₂(x)d₁(y)∈C for all x,y∈U; (iv) R is commutative.Theorem 2 Let R be a prime ring with nontrivial derivations d₁,d₂,…, d_n and U be a nonzero ideal of R. Let C be the center of R. If d₁(x₁)d₂(x₂)…d_n(x_n)∈C for all x₁, x₂…x_n)∈U, then R is commutative.