特征值问题的预变换方法(I): 杨辉三角阵变换与二阶PDE 特征多项式

本文提出一类求解特征值问题的下三角预变换方法, 目标是通过相似变换后矩阵下三角元素平方和明显减少、且变换后的特征值及其特征向量较易求解, 使变换后的对角线可作为全体特征值很好的一组初值, 其作用如同对于解方程组找到好的预条件子, 加速迭代收敛. 以二阶PDE 数值计算为例,对于以Laplace 方程为代表的特征波向量组及正交多项式组有广泛的应用前景.
杨辉三角是我国古代数学家的一项重要成就. 本文引入杨辉三角矩阵作为预变换子, 给出一般矩阵用杨辉三角矩阵作为左、右预变换子时变为上三角矩阵的充要条件, 给出了元素为行指标二次多项式的两个矩阵类(三对角线阵与五对角线阵) 中特征值何时保持二次多项式的充要条件, 并应用于构造新的二元PDE 正交多项式.     

一元B样条的B网观点

1.问题的提出 近年来,多元样条的研究进程表明,从多变量的观点重新认识一元样条的理论是很有必要的.本文运用重心坐标,以近代的B网方法为工具,重新探讨一元分片多项式的结构,进而为研究多元样条提供工具. 假设Q_n(t)是给定的分割:     

多变量B-样条的Fourier变换的观点

§1.引言 自七十年代末,高维B-样条的理论和方法,发展极为迅速.Micchelli建立了高维均差概念,用线性泛函作工具,重新给出高维B-样条的定义,并将一维B-样条两个主要递推公式推广到高维.随后,Dahmen从微分方程基本解、Hakopian用积分演算公式     

二元三方向剖分中B样条的B网结构与递推算法

§1.引言众所周知,de Boor-Con递推公式及微分-差分公式对于一元B样条的理论和应用极为重要。在多元样条中是否存在类似的结果,已成为近年来的研究课题。本文从B网结构出发,讨论三向剖分下不同次数样条空间的B样条之间的递推关系,指出不能简单地把函数形式的de Boor-Con公式搬到这里,然而可以在B网意义下实现递推。与一     

第一类双变量Chebyshev多项式的最小零偏差性质研究

利用Rivlin和Shapiro提出的符号理论,证明了文献[10]中提出的第一类双变量Chebyshev多项式恰为所谓的Steiner区域上具有特殊首项的最小零偏差多项式,并由此导出了几类具有一定代数精度的数值积分公式.     

局部坐标下的样条函数与圆弧样条曲线

<正> 近十多年来计算机应用与数控技术的发展大大推动了插值计算方法和理论的研究.一般的样条函数,特别是常用的三次样条函数,方法简单易行,具有一系列良好的性质,对于不出现近于垂直切线的所谓“小挠度”函数的插值和逼近效果很好,但不能直接处理有近于垂直切线的“大挠度”曲线或多值曲线,否则会破坏计算的稳定,甚至得出荒谬的结果.为了解决这个问题,国外有人提出了一些方法,如常用的“参数样条”或矢量样条     

广义局部坐标样条

我们在[1]中提出了适用于“大挠度”曲线插值的方法,这种方法在实际运用时仍有某些不便之处.例如,[1]只考虑了通过节点的插值,不能直接用作曲线拟合;一律采用各自的局部坐标,对有些形状相近的曲线族的特点没能很好地利用;有些曲线的“大挠度”只占极小部份,并不需要每次转坐标;有的离散数据间断性质较强,用[1]得到的节点关系式中非线性项是主要项,这时简单迭代往往发散,要用牛顿迭代,但会增加运算量。为了     

可三向剖分域上S_3~1空间的B样条对偶基与拟插值

一阶连续的二元三次多项式在多元样条的研究和应用中有重要地位。本文将[1]中有关S_3~1维数和基底的结果,从矩形域推广到可三向分割域Ω,指出“S_3~1(Ω)的维数等于Ω的一层扩展域Ω_1中所有面元个数T_1减3(第2节),并进而证明,Ω_1中任取T_1-3个B样条构成基底的充分必要条件是这三个面元的重心不共线。 构造对偶基和拟插值对于揭示函数空间的内在性质很有用。第3节在[3]基础上,     

三元四方向四面体剖分上的B样条

研究了三维样条构造的一些本质困难,把有关二元三方向上样条的结果推广到三维空间,得到了三元四方向四面体剖分和相应的B样条及其支集和积分、微分差分公式.结果可直接推广到更高维空间中去,也可应用于小波分析中.     

正定可对称化矩阵与预对称迭代算法

１．问题的提出 我们引入正定可对称化矩阵定义的背景是为了研究求解二阶椭圆型非自共轭方程的离散迭代有效算法、这类方程的椭圆型是本质的分析性质。是由二阶项决定的,在离散方程中表现为正定性;非自共轭性则是由方程中的一阶项引起的,在相当广泛一类问题中可通过变量代换化为自共轭。因此,我们称这类问题为正定可对称化问题。 例１．高维二阶常系数椭圆型方程其中 Ａ为常系数正定对称（ｓ．ｐ．ｄ）阵, 为正交阵, Ｄ是对角元素为正的对角阵。 先作变量代换,通过演算,偏微分方程对于新变量变成这里进而令可将原非自共轭偏微分算子…