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20 0 2年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 86 试证明 :有两边及一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等 .(湖北宜昌市十一中学 是海松 443 0 0 3 )证明 设△ABC和△A′B′C′的三边分别记为a、b、c和a′、b′、c′,三条角平分线分别记为ta、tb、tc和ta′、tb′、tc′,半周长分别记为p和p′.当有两边及它们的夹角的平分线对应相等时 ,不妨设b=b′,c =c′,ta =ta′.由ta =2b+c bcp(p -a) ,ta′ =2b′+c′ b′c′p′(p′ -a′)得 :2b+c bcp(p -a) =2b+c bcp… 相似文献
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两个代数不等式 总被引:2,自引:0,他引:2
本文旨在建立两个新的代数不等式 ,并给出它的一个应用 .引理 若x ,y为正数 ,n为正整数 ,则 xn + yn2≥ x + y2n.证略 .定理 1 若a ,b ,c为不大于 1的正数 ,n为正整数 ,则1n1+a+ 1n 1+b+ 1n1+c≤ 3n1+ 3 abc.证 令α ,β为不大于 1的正数 ,则 11+α+ 11+ β=2 +α + β1+α + β +αβ= 1+ 1-αβ1+α + β +αβ≤ 1+ 1-αβ1+ 2αβ+αβ= 21+αβ,∴ 1n1+α+ 1n1+ β=n 11+α+n 11+ β≤ 2n 1211+α+ 11+ β≤ 2 11+αβ=21+αβ,∴ 1n1+a+ 1n1+b+ 1n1+c+ 1n1+ 3 abc≤ 21n1+ab+ 1n1+c 3 abc≤ 4n1+ 4abc 3 abc=4n1+ 3 abc,∴ 1n1… 相似文献
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数学问题解答 总被引:2,自引:0,他引:2
20 0 1年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 46 已知 :点P是△ABC内一点 ,∠PAB =∠PBC =∠PCA=α.A′B′,B′C′,C′A′分别过A ,B ,C三点 ,且分别垂直于PA ,PB ,PC .求证 :S△ABC =S△A′B′C′sin2 α(江西省宜丰县二中 龚浩生 3 3 63 0 0 )证明 如图 ,过点C′作C′D⊥B′P于D ,连结CD .因为 PA⊥A′B′ ,PB⊥B′C′所以 A ,B′,B ,P四点共圆所以 ∠DB′B =∠PAB =α又显然 ,P ,B ,C′,D ,C五点在以PC′为直径的圆上 .所以 ∠PDC =∠P… 相似文献
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一组三角不等式的简单证明宋庆(江西永修县一中330304)王伯英先生在文[1]、[2]中利用控制不等式证得一些不同寻常的三角不等式,其中有:sinA+sinB+sinC2+1,(1)sinA+sinB+sinC1+22,(2)sinAsinBsi... 相似文献
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在△ABC,有不等式cosAcosBcosC≤81(1)等号成立当且仅当△ABC为正三角形.将其推广,笔者获得如下结论.定理在△ABC中,对λ≥0有不等式cosAcosB(cosC λ)≤(1 8λ)2(2)等号成立当且仅当A=B=21arccosλ2-1.证当cosAcosB≤0时,cosC>0,从而cosAcosB(cosC λ)≤0<(1 8λ)2;当cosAcosB 相似文献
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本文旨在介绍笔者新近发现的几个有趣的三角不等式.定理1在△ABC中,对n≥1有cos4nA1 cos2nA 1c ocso4sn2BnB 1c ocso4snC2nC≥4n(43n 1)证明由幂平均不等式及常见的三角不等式cos2A cos2B cos2C≥43可得t=cos2nA cos2nB cos2nC≥3n1-1(cos2A cos2B cos2C)n≥43n.由柯西不等式及均值不等式可得(t 3)(1 cocso4sn2AnA 1c ocso4sn2BnB 1 cocso4sn2CnC)=((1 cos2nA)2 (1 cos2nB)2 (1 cos2nC)2)·[(cos2nA1 cos2nA)2 (cos2nB1 cos2nB)2 (1c osc2onsC2nC))2]≥(cos2nA cos2nB cos2nC)2=t2,即1c ocso4sn2AnA 1 cocso4sn2BnB 1c ocso… 相似文献
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本刊文[1]证明了这样一个美丽不等式:若a、b、c为正数,则b ac c ba ac b>2.将其推广,笔者得到定理若a、b、c为正数,n为不小于2的正整数,则nab c nbc a nca b>2.证明:不妨设a≤b,a≤c则bn-1(c a)≥bn-2a(b c)≥an-1(b c),na b-nb=a b-b(na b)n-1 … (nb)n-1≤nnabn-1.[1][1]这式子的分母=(na b)n-1 (na b)n-2nb … na b(nb)n-2 (nb)n-1.于是,na b-nbnc a… 相似文献
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《数学通报》2 0 0 4年 1 1月号问题 1 52 5为 :△ ABC中 ,求证 :sin( A - 30°) + sin( B - 30°) + sin( C- 30°)≤ 32 .该刊 2 0 0 4年第 1 2期 P4 3上登载的证明中用到了四个三角恒等式 ,较繁琐 .这里 ,我们给出一个简单的证法 .证明 不妨设三内角 A、B、C中 C最小 ,则 0°0 ,于是sin( A - 30°) + sin( B- 30°) + sin( C- 30°)= 2 sin A + B - 6 0°2 cos A - B2 + sin( C - 30°) + sin30°- 12=2 sin1 2 0°- C2 cos A - B2 +2 sin C2 cos C - 6 0°2 - 12≤ 2 ( sin1 2 0°- C2 + s… 相似文献