看透本质就不是"废招"

<数学通报>2008年第7期刊载了<减少解题中的"废招">一文,文中例6是: 对所有的实数x及1≤t≤√2,都有(x+t2+2)2+(x+at)2＞1/8,求实数a的取值范围.     

一个三角形性质的新证及归纳

如图1,在△ABC内任取一点O,连结OA、OB、OC,沿A→B→C→A方向依次排出六个角(以下为了方便,直接用1～6这六个自然数表示角),可以得出如下性质:图1　sin(1 2)sin(2 3)sin5=sin(4 5)sin(5 6)sin2,(1)　sin(2 3)sin(3 4)sin6=sin(5 6)sin(6 1)sin3,(2)　sin(3 4)sin(4 5)sin1=sin(     

对一个猜测推广的证明

文 [1 ]对W .Janous猜测推广成如下命题 :设xi >0 (i=1 ,2 ,… ,n) ,记S=x1 +x2 +… +xn,则x22 -x21 S-x2 + x23 -x22S-x3+… + x21 -x2 nS-x1 ≥ 0 ( 1 )文 [2 ]指出文 [1 ]对式 ( 1 )的证明是错误的 ,但未给出式 ( 1 )的正确证明 ,最后又提出了更一般的下述问题 :设xi>0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,n≥ 3,记S=x1+x2 +… +xn,能否取适当的k ,有 x2 k-x1 kS-x2 +x3k-x2 kS-x3 +… + x1 k-xnkS-x1 ≥ 0 ( 2 )本文证明 ,当k∈R+时 ,式 ( 2 )成立 .证明　对于 (x1 ,x2 ,… ,xn)的所有互异的n !个排列中 ,必然存在一个排列 (y1 ,y2 ,… ,yn)满足y1 …     

滚动与转动的区别

问题如果⊙O的周长为20πcm，⊙A，⊙B的周长都是4πcm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动．⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周回到原来的位置，想一想，为什么？     

一个分式不等式猜想的证明

《数学通报》2010年第12期的文[1]中提出了如下猜想:对于a,b,c∈R+,k∈N,k≥2,不等式ak/ak-1b+…bk+bk/bk+bk-1c+…ck+ck/ck+ck-1a+…ak≥3/k+a (1)本文将证明猜想式(1)是正确的.为证(1)式正确,先给出两个引理.     

兔子是这样从帽子里面抓出来的

数学问题1785 设0≤xi≤1,n∈N,n≥3,且n∑i=1xi=1,求f(x1,x2…,xn)=n∑i=1 xi/1+x2i的最大值. 命题人用下面的引理给出了该问题解答.引理 0≤x≤1时,有不等式x/1+x2≤(n/n2+1)2[(3+n2)x-2nx2](*),当且仅当x=1/n时等号成立. 文[1]将上述引理调侃为“就象从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外,根本不具备什么启发性”.笔者认为这种说法有失偏颇,不能把自己没有看透的东西说成不自然的东西,现在我们来看引理是怎样被发现的.     

数学问题1746的加强

<数学通报>2008年8月号问题1746是:设I是△ABC的内心,R是△ABC外接圆半径,r、r1、r2、r3分别是△ABC、△IBC、△ICA、△IAB的内切圆半径.求证:r1+r2+r3≥9(√3-1)r2/2R(1).当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.     

一道竞赛题的巧妙解法

第二届北京市高中数学知识应用竞赛决赛试题的第６题是：图１　　　　　　　　　图２如图１，有一条河，有两个工厂Ｐ和Ｑ位于河岸ｌ（直线）的同一侧，工厂Ｐ和Ｑ距离河岸ｌ分别为１０千米和８千米．两个工厂的距离为１４千米．现在要在河岸工厂一侧选一点Ｒ，在Ｒ处修建一个水泵站，从Ｒ修直线输水管分别到两个工厂和河岸，使直线输水管的总长最小，请确定出Ｒ的位置，并分别求出水泵站Ｒ到两个工厂和河岸的三个距离．运用费马点，笔者得到该命题的巧解．解　要使输水管总长（设为Ｓ）最小，则Ｒ到河岸ｌ的输水管必垂直ｌ于Ｄ，且Ｒ是△Ｐ…     

一个三角形不等式链的探究

在<数学通报>2008年第12期数学问题解答栏中,命题者在给出了1764号题的证明之后指出,可能得到:     

一道USAMO赛题的别证及引伸

１９９７年第２６届美国数学奥林匹克试题５：证明对所有正实数ａ、ｂ、ｃ满足（ａ３＋ｂ３＋ａｂｃ）－１＋（ｂ３＋ｃ３＋ａｂｃ）－１＋（ｃ３＋ａ３＋ａｂｃ）－１≤（ａｂｃ）－１．（１）文［１］给出了该命题的简证．其实,该命题还可简证如下：证明由ａ＋ｂ＞０及...