数学问题解答

20 0 3年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 44 6　设x≥ 0 ,a >0 ,求使不等式1 +x≥ 1 + x2 - x2a成立的最大的a .(宁波市甬江职高综合高中部　邵剑波　 31 5 0 0 0 )解　令 1 +x =t≥ 1 ,则x=t2 - 1 ,故1 +x - 1 - x2 + x2a=t- 1 - 12 (t2 - 1 ) + 1a(t2 - 1 ) 2=12a(t- 1 ) [2a-a(t+ 1 ) + 2 (t+ 1 ) 2 (t- 1 ) ]=12a(t- 1 ) [a-at + 2 (t+ 1 ) 2 (t- 1 ) ]=12a(t - 1 ) 2 [2 (t + 1 ) 2 -a]≥ 0 ,因此a≤ 2 (t + 1 ) 2 一定要成立 ,由于 2 (t+ 1 ) 2 在t≥ 1时的最小值为 8,所以所求的最大的a为 8.1 44 7　已知二次函数f(x) =ax2 …     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质及其简证

文 [1 ]指出了圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质 ,读了有所启发 ,李老师对圆锥曲线是椭圆、双曲线、抛物线的情况分别给出了证明 ,由于证明较繁 ,笔者经过探索发现点Ａ可以是圆锥曲线上任意点的情况 ,并给出它们的一个统一命题及其简证 .引理　设Ｆ为圆锥曲线焦点 ,其相应准线为Ｌ ,作一直线交圆锥曲线于Ａ ,Ｐ两点 ,交Ｌ于Ｍ点 ,则ＦＭ平分△ＡＦＰ的∠ＡＦＰ外角 .图 1证　如图 1 ,从Ａ ,Ｐ分别向Ｌ引垂线ＡＡ1 ,ＰＰ1 垂足为Ａ1 ,Ｐ1 ,由圆锥曲线定义得 :｜ＡＦ｜｜ＡＡ1 ｜ =ｅ ,｜ＰＦ｜｜ＰＰ1 ｜ =ｅ ,所以 ,｜ＡＦ｜｜ＡＡ1 ｜ =｜ＰＦ…