蝴蝶定理的一个简捷推广

蝴蝶定理是指下面的命题:如图,设AB是圆的一条弦,过AB的中点M作弦CD、EF,连结CF、DE分别交AB于点P、Q,求证:PM=MQ. 近年来,经过人们不断的研究探索,得到了该定理的多种证法.本文介绍它在圆锥曲线时的情况,并给出一种简捷的证明.     

数学问题解答

20 0 0年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 71　已知ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ ,求证 :当ａｂｃ≤ 1时 ,ａｂ ｂｃ ｃａ ≥ａ ｂ ｃ.当ａｂｃ≥ 1时 ,ａｂ ｂｃ ｃａ >1ａ 1ｂ 1ｃ证明　当ａｂｃ≤ 1时 ,(1 )当ａ ｂ ｃ≥ａｂ ｂｃ ｃａ时 ,∵　 ａｂ ｂｃ ｃａ ａｂ ｂｃ ｃａ≥ 2 (ａ ｂ ｃ)∴　 ａｂ ｂｃ ｃａ≥ 2 (ａ ｂ ｃ) - (ａｂ ｂｃ ｃａ)≥ａ ｂ ｃ(2 )当ａｂ ｂｃ ｃａ ≥ａ ｂ ｃ时 ,∵　ａ2 ｃ ｂ2 ａ ｃ2 ｂ ｃ ａ ｂ≥ 2 (ａｃ ｂａ ｃｂ)∴　ａ2 ｃ ｂ2 ａ ｃ2 ｂ≥ 2 (ａｃ ｂａ ｃｂ) - (ｃ ａ…     

培养学生应用数学意识的实验

在世界经济一体化进程急剧加快 ,科学技术迅猛发展的今天 ,人们已普遍认识到“国家的繁荣富强 ,关键在于高新科技和高效的经济管理” ,而“高科技的核心是数学技术” ,可见 ,数学的广泛应用已成为科技进步、国家繁荣富强的重要标志 .为了实现“教育要面向现代化 ,面向世界、面向未来”的战略目标 ,造就一代富于创造精神的开拓型人才 ,在数学教学中培养学生的应用意识 ,无疑具有重大的现实意义和深远的历史意义 .我国中学数学教学大纲明确要求“要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练 ,逐步培养他们分析问题和解决问题的能力 ,形成应用…     

用向量方法求空间角和距离

空间角和距离是最基本的两个几何量，空间图形中各元素间的位置关系都可以用这两个几何量来定量地描述．因此，有关空间角和距离的计算，是立体几何的一类重要问题，是历年来高考考查的重点，其常规的老“三步曲”解法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强、运算量大，     

经典干涉与量子干涉

 若将1609年伽利略使用望远镜观察月球作为以观察和实验为基础的现代物理学的起点,近400年来,科学技术获得了巨大的发展,经典物理学对宏观世界给出了几乎完美的描述,同时,由于科学技术的发展和人类认识水平的不断提高,经典物理的知识体系已远远不能满足人们认识世界的需要,随人们认识世界、改造世界的经验积累,20世纪物理学取得了两个划时代的发展--创立了相对论和量子力学,并使之分别成为认识高速、微观领域的利器。     

从复透过率函数导出薄透镜的焦距

从透射平板的复透过率函数表达式人手,得出薄平凸透镜的焦距,等效地可得到其他薄透镜的焦距,避免了几何光学中对薄透镜焦距的繁琐推导。     

Erds-Mordell定理的两个简捷证明

1935年 ,Ｐ·Ｅｒｄ ｓ提出如下猜想 :定理　设Ｐ为△ＡＢＣ内任一点 ,Ｐ到三边ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ的距离分别记为ＰＬ=ｒ1 ,ＰＭ =ｒ2 ,ＰＮ =ｒ3,则ＰＡ ＰＢ ＰＣ ≥ 2 (ｒ1 ｒ2 ｒ3)①1 937年Ｌ·Ｊ·Ｍｏｒｄｅｌｌ和Ｄ·Ｆ·Ｂａｒｒｏｗ分别给出了证明 ,但并非初等的 .此后便称之为Ｅｒｄ ｓ-Ｍｏｒｄｅｌｌ定理 ,①式称为Ｅｒｄ ｓ -Ｍｏｒｄｅｌｌ不等式 .直到 1 945年 ,由Ｄ·Ｋ·Ｋａｚａｒｉｎｏｆｆ给出第一个初等证明 ,此后若干初等证明才相继出现 .作为对当代国际著名数学大师Ｅｒｄ ｓ的纪念 ,《美国数学月刊》…     

Erd(o)s-Mordell定理的两个简捷证明

1935年,P·Erd(o)s提出如下猜想: 定理设P为△ABC内任一点,P到三边BC=a,CA=b,AB=c的距离分别记为PL=r1,PM=r2,PN=r3,则     

等腰梯形的一个优美特性

如果称椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1与双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理　等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明　如图 ,设梯形ＡＢＣＤ的两腰与两条对角线分别相交于点Ｅ、Ｆ ,以ＥＦ中点为原点 ,ＥＦ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ与Ｂ、Ｃ与Ｄ均关于ｘ轴对称设经过点Ａ ,Ｅ ,Ｂ ,Ｆ的椭圆方程为ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,Ａ (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ1 ,-ｙ1 ) ,由Ｆ(ａ ,0 ) ,Ｅ(-ａ ,0 )得直线ＢＤ、…     

周期荷载激励下覆冰输电线的主共振及谐波共振分析

为了研究动态风对覆冰输电线非线性舞动特征的影响,在原有稳定风作用下覆冰输电线舞动控制方程中添加周期激励载荷,并建立了新的受迫-自激振动控制方程,该控制方程也适用于描述相邻档导线对舞动档导线运动特征的影响.运用多尺度法分别对弱激励和强激励下的受迫-自激振动求解,得到主共振和谐波共振的幅频响应函数,分析了受迫-自激系统的主...