角平分线的一个充要条件及其应用

定理:已知点P是角XOY内一点,过P的任意直线AB交OX于A,交OY于B,则OP是角XOY的平分线的充要条件是1/OA+1/OB为定值。证:(必要性)作PQ∥OA交OB于Q,则∠OPQ=∠AOP=∠BOP 故 OQ=QP= OP/2cos∠AOP为定     

一道竞赛题的拓广与应用

84年全国数学竞赛第二试第四题是一个很有趣的题目,本文给出一个参考解答外的简洁证明,并推广出一个一般性的结论,最后再列举它的一些应用。题目     

开拓思路 绕过难点

扭:~投万厂数x、y、份满足不等式:犷勺,一尹+犷斗一“’一‘仁尹低卜夕’2二夕 Zyz忿之%二是与匕个几角}形的三边长.>1求沁_:x、y、这是八一七年_}海巾刊中数于竟赛试题的最后一题,给分最淌(18分),难度也较大. 常规思路是:x、y、二是父个三角形的三边长今今少+二>,:十二>.,二十少>.为获得介·十:一二,刃十‘一y,戈+一二,对题给不等式变形: :(x“+、,“一二“)+*(,,2+二“一x“)+少(二“卜x“一夕:).一2二y友>。*然后分解因丘听俘:又y+二一x)xL:+二一.v)(汾+y“习知.、**’ 共体求解过程}‘将碰到两个难点:一兄山*式因式分解获得、**式;二是…     

一道解三角形题的错误分析

一次初三数学测验,我们出了一道这样的题目:已知sinB=3/4,b=10,若△ABC有两解,那么c的取值范围是( )。从答卷中,发现了以下几种错误: (1)0相似文献   

证线段二次等式的几种基本方法

在平面几何里,求证形如ab±cd=ef的线段二次等式,是常见的但又比较困难的问题。本文归纳出八种基本证法,并用一例说明之。对开拓思路,从多角度联想,或有裨益。题:在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,求证:AD~2=AB·AC-BD·CD。一拆项、相似法要点:将e(或f)拆为m±n两段,通过造两组相似三角形证得ab=fm,cd=fn即可。本题将AD分成两段之差AD=AE-DE.即需证AD·AE=AB·AC,AD·DE=BD·CD;     

把比例关系移到一条直线上

请看下面的一道课本习题:过平行四边形ABCD的顶点D任作一直线,与BC交于M,与AB延长线相交于N,求证:BC/BM-AB/BN=1. 证明∵DC// BN,∴BC/BM=DN/MN·∵BM//AD ∴AB/BN =DN/MN·∴BC/BM-AB/BN=DN/MN-DM/MN=MN/MN=1。证明是简单的,又是深刻的.它对有关线段比的和、差、积问题提供了一个证明模式:通过比例的等量代换,将原本不在一条直线上的比例关系(BC/BM,AB/BN分别在直线BC、AB上),     

通分的一些技巧

通分是代数式变形的一项基本功,在具体处理上很有一些讲究。倘若不加区别,一着手就求最简公分母进行通分,常为后续的化简工作带来很大的困难。若注意观察各分式分母、分子的特点,充分发挥其特殊性,采取特殊的处理方法,却可化难为易。下面汇集了一些通分的技巧,供参考。     

引辅助线的几点体会

几何证题的关键在于寻找已知和求证的联系。辅助线就起着一个桥梁的怍用.同一个题,思考的角度不同,引出的辅助线也就不同,证明过程的繁简,巧拙也就大不一样,下面通过一个例题给予简要概说。     

整数9ab的各位数字的和

这是第36届美国中学数学竞赛的一题: 整数a由1985个数字8组成,整数b由1985个数字5组成,则整数9ab的各位数字的和是: (A)15880;(B)17856; (C)17865,(D)17874;(E)19851。原题的数目太大,退一步看看,a=8,b=5时易得9ab=360,各位数字的和是9=1×9;a=88,b=55时9ab=9·88·55=9·8·5·11~2=9·8·5·(10~2-1/9))~2=40·1/9·9801=43560。其各位数字之和是18=2×9。由此猜想原题的答案是1985·9=17865,     

补形法巧解三角形面积

题:在△ABC中,E是BC的中点,D在AC边上。若∠BAC=60°,∠ACB=20°,∠DEC=80°,AC=1,求△ABC的面积与△CDE的面积的2倍的和。这是一道国外数学竞赛题(在叙述上略有改动),若分别求△ABC、△CDE的面积不仅繁、难,而且还需用到高中阶段的三角知识,不能为初中学生所接受(请见本刊今年第4期