凸四边形的边长与直径的不等式

设单位直径的平面凸四边形的边长是ａ,ｂ,ｃ,ｄ,Ｔａｍｖａｋｉｓ与Ｇｏｌｉｋｏｖ在１９８７年给出了ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ≤２＋√６－√２,本文作者证明了１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＋１／ｄ≥４√２,ａｂｃｄ≤２－√３,ａ＾ｋ＋ｂ＾ｋ＋ｃ＾ｋ＋ｄ＾ｋ≤３（ｋ≥２）,这些界都是最佳的。     

四边形的余弦定理与六点问题

如图 1,在四边形ＡＢＣＤ中 ,设ＤＡ =ａ ,ＡＢ =ｂ ,ＢＣ =ｃ,ＣＤ =ｄ ,∠ＤＡＢ =α ,∠ＡＢＣ =β ,则有图 1　四边形ｄ2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 - 2ａｂｃｏｓα- 2ｂｃｃｏｓβ 2ａｃｃｏｓ(α β) .这就是四边形的余弦定理 .证明很简单 ,把四边形ＡＢＣＤ放入直角坐标系 ,则有Ａ( 0 ,0 ) ,Ｂ(ｂ ,0 ) ,Ｃ (ｂ ｃｃｏｓ(π - β) ,ｃｓｉｎ(π - β) ) ,Ｄ( -ａｃｏｓ(π -α) ,ａｓｉｎ(π -α) ) .由此 ,并利用三角公式 ,容易得到结论 .具体推导见文 [1] .我们利用四边形余弦定理证明 :若平面上六点组成一凸六边形 ,最大边与最小边之…     

Sylvester问题的对偶命题及证明

1893年,英国数学家J.J.Sylvester(1814—1897)在《教育时报》(Educational Times)杂志上提出了如下问题:Sylvester问题:证明不可能在平面上放有限个点,使得每一条过其中任意两点的直线都经过第三点,除非这些点全在同一条直线上.(Prove that it isnot possible to arrange any f     

关于“Heilbron”型问题一个猜测的否定以及进一步的问题

关于“Ｈｅｉｌｂｒｏｎ”型问题一个猜测的否定以及进一步的问题熊斌，田廷彦（华东师大数学系）（上海科技出版社）对于平面上一个由ｎ个点组成的点集，其中任两点都有一个距离，记这些距离中的最大者和最小者之比为人，求人的最小值ｉｎｆ．这就是一个＂Ｈｅｉｌｂｒｏ...     

关于Heilbron型问题的一个猜测的纠正和证明

Heilbron型问题是组合几何中较为困难的问题,其中一个是: 平面上任给n个点,每两点之间有一个距离,最大距离与最小距离的比记为λ_n,求λ_n的     

关于五边形的两个基本不等式的证明

设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ是平面上任意五点,若记△ＥＡＢ、△ＡＢＣ、△ＢＣＤ、△ＣＤＥ和△ＤＥＡ的面积分别为α、β、γ、δ、ε,则五边形ＡＢＣＤＥ的面积Ａ（此处不要与点Ａ混淆）满足Ｍｏｂｉｕｓ－Ｇａｕｓｓ公式Ａ２－（α＋β＋γ＋δ＋ε）Ａ＋（αβ＋βγ＋γδ＋δε＋εα）＝０．①文［１］中提到①式,顺便以此证明ｍｉｎ｛α,β,γ,δ,ε｝≤２Ａ５＋５≤ｍａｘ｛α,β,γ,δ,ε｝．②最后,又提出如下猜想：５αβγδε≤２Ａ５＋５≤１５（α２＋β２＋γ２＋δ２＋ε２）;③③式显然是②的加强,证明自然更…     

一个平面点集问题上界的探讨

对于平面上ｎ个点 ,任意两点有一个距离 ,记这些距离中的最大者与最小者之比为λｎ,求λｎ的最小值ｉｎｆλｎ.在文 [2 ]中 ,笔者已经证明了ｉｎｆλｎ >1 2π ｎ- 1 ,下面我们证明ｉｎｆλｎ <1 2π ｎ 1 ,(1 )这是用初等方法给出的最好估计之一 .首先我们约定｜Ａ｜表示集合Ａ的元素个数 ,如Ａ为平面区域 ,Ｓ(Ａ)表示Ａ的面积 .下面给出(1 )的证明 .先给出几个引理 :　　引理 1　对于平面上任一圆Ｏ及圆外一点Ｐ ,有以下两个结论 :(1 )过点Ｐ一定有直线不和圆Ｏ相交 ;(2 )如果过点Ｐ有一条射线 ,它的反向延长线与圆Ｏ的某条直径所在的直线…     

七点的Heilbron问题的证明

七点的Ｈｅｉｌｂｒｏｎ问题的证明熊斌（华东师大数学系）田廷彦（上海交大应用数学系）平面上的Ｈｅｉｌｂｒｏｎ问题是这样的：在平面上任给ｎ个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离之比记为λｎ，求人的最小值（即ｉｎｆλｎ）．已知ｉｎｆλ３＝１，ｉｎｆ...     

数学究竟是如何被创造的?-《古今数学思想》评介

一位著名哲学家 (据说是康德 )曾追问 :“数学怎么可能 ?”确实 ,在所有精神产品中 ,数学占有极为特殊的位置 .一方面 ,它给人的印象是独立于人类而存在的冷冰冰的真理之汇集 .这个客观性的特点 ,使得数学并不像文艺领域那样高度表现出创造者张扬的个性 ,也不像物理学中经常有后人推翻前人观点的情形 ,而是化个人天才为集体智慧 ,为数学大厦添砖加瓦 .在最近出版的巨著《古今数学思想》里 ,作者 ,美国数学家莫里斯 ·克莱因就把重点放在叙述数学家的思想 ,传记则完全摆到次要的位置 .但在另一方面 ,又不得不承认 ,数学是人类创造出来的思想…