连通的K_{n}-残差图

m-K_{n}-残差图是由P. Erd\"{o}s, F. Harary和M. Klawe等人提出的, 当m=1时, 他们证明了当n\neq1,2,3,4时, K_{n+1}\timesK_{2}是唯一的具有最小阶的连通的K_{n}- 残差图. 首先得到了m-K_{n}-残差图的重要性质, 同时证明了当n=1,2,3,4时, 连通K_{n}-残差图的最小阶和极图, 其中当n=1,2时得到唯一极图; 当n=3,4时, 证明了恰有两个不同构的极图, 从而彻底解决连通的K_{n}-残差图的最小阶和极图问题. 最后证明了当n\neq1,2,3,4时, K_{n+1}\timesK_{2}是唯一的具有最小阶的连通的K_{n}-残差图.     

连通的三重Kn-残差图

Erds P,Harary F和Klawe M研究了Kn-残差图,并对连通的m-Kn-残差图提出了一些结论和猜想．利用容斥原理以及集合的运算性质等方法,研究了连通的3-Kn-残差图,得到当顶点最小度为n时,3-Kn-残差图最小阶的计算公式以及相应的唯一极图．当n=2时,得到最小阶为ll以及相应的极图;当n=3时,得到最小阶为20并找到两个不同构的极图,不满足Erdos等提出的结论;当n=4时,得到最小阶为22及相应的极图;当n=8时,可以找到两个不同构的3-Kn-残差图,不满足Erdos等提出的结论;最后证明了当n=9,10时,最小阶分别为48和52以及相应的唯一极图,验证了Erdos等在文献（Residually-complete graphs[J]．Annals of Discrete Mathematics,1980,6：117．123）中提出的结论．     

关于m-HPK(n_1,n_2,n_3,n_4)-残差图

本文研究了3-维超平面完备残差图以及m重3-维超平面完备残差图.利用容斥原理以及集合的运算性质等方法,分别获得了3-维超平面完备残差图和m重3-维超平面完备残差图的最下阶以及二者的唯一极图,将文献[1]中定义的残差图从平面推广到超平面上.     

奇阶完备残差图

本文讨论奇阶完备残差图,证明了对于任意奇数n,不存在奇阶Kn-残差图.对任意奇数t≥3和n=2t,2t -2,2t-4构造了一类具有奇阶2n+t的Kn-残差图.我们证明了当n≡0(mod4)时,Kn-残差图的最小奇阶为5n/2+1;当n≡2(mod4)时,Kn-残差图的最小奇阶为5n/2,并且证明了相应的最小奇阶Kn-残差图的唯一性.     

关于m-HPK(n1,n2,n3,n4)-残差图

本文研究了3-维超平面完备残差图以及m 重3-维超平面完备残差图. 利用容斥原理以及集合的运算性质等方法, 分别获得了3-维超平面完备残差图和m 重3-维超平面完备残差图的最下阶以及二者的唯一极图, 将文献[1] 中定义的残差图从平面推广到超平面上.     

多重超平面完备残差图

本文研究了任意维超平面完备残差图和多重超平面完备残差图,将Erd¨os、Harary和Klawe’s定义的平面残差图推广到任意维超平面.利用容斥原理以及集合的运算性质等方法,获得了任意维超平面完备残差图的最小阶和唯一极图,以及任意维超平面完备残差图的一个重要性质,同时获得了多重任意维超平面完备残差图的最小阶和唯一极图.     

连通的三重K_{n}-残差图

Erd\"{o}s P, Harary F和Klawe M研究了K_{n}-残差图, 并对连通的m-K_{n}-残差图提出了一些结论和猜想. 利用容斥原理以及集合的运算性质等方法, 研究了连通的3-K_{n}-残差图, 得到当顶点最小度为n时, 3-K_{n}-残差图最小阶的计算公式以及相应的唯一极图. 当n=2时, 得到最小阶为11以及相应的极图; 当n=3时, 得到最小阶为20并找到两个不同构的极图, 不满足Erd\"{o}s等提出的结论; 当$=4时, 得到最小阶为22及相应的极图; 当n=8, 可以找到两个不同构的3-K_{8_{}}-残差图, 不满足Erd\"{o}s等提出的结论; 最后证明了当n=9,10时, 最小阶分别为48和52以及相应的唯一极图, 验证了Erd\"{o}s等在文献~(Residually-complete graphs [J].Annals of Discrete Mathematics, 1980, 6: 117-123) 中提出的结论.