向量回路法简解竞赛题

例1(第23届"希望杯"全国数学邀请赛培训题高一41题)△ABC中,已知AB=4,BC=5,AC=6,若点O是△ABC的外心,则→AO.→AC的值是.分析标准解答给出的解法是应用余弦定理、正弦定理和向量数量积的定义,繁琐冗长.事实上,若注意到题设条件AC=6及向量回路A→M→O,便有如下简解.简解取AC的中点M,则必有MO⊥AC,     

妙解两则

例1(2010年新课标全国卷理科高考题16题)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=1/2DC,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC的面积为3-(?),则∠BAC=____.分析此题常规解法是在△ADC、△ABD中分别利用余弦定理求出AC、AB,然后在△ABC中用余弦定理求出∠BAC,要用到三次余弦定理,较繁琐且运算量大.若注意利用向量的数量积运算可求角度,便有如下简解.     

你注意隐含条件了吗?

<正>在解析几何的学习中,若能恰当利用题中潜在的隐含条件,则可以大大减少思维量和运算量,从而优化解题过程,现举例说明.     

问题

问题168试用集合A，B，C表示图1中的阴影部分： 解法1Cc（（A∩C）U（B∩C））U（A∩B∩C）     

西班牙数学竞赛一题推广的另证

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为 命题1如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则x＋y=0．文[1]给出下面推广： 命题2如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）或x,y∈（-∞,＋m]且（x＋√x^2-m^2）（y＋√y^2-m^2）=m^2,那么x=Y． 文[1]采用换元法证明了命题2,仔细研读后笔者给出命题2的另一种简洁证法。     

一个三角形面积公式在立体几何中的应用

定理S△ABC=21AB2·AC2-(AB·AC)2.证S△ABC=21|AB|·|AC|sin〈AB,AC〉=21|AB||AC|·1-cos2〈AB,AC〉=21|AB||AC|·1-|AABB|·|AACC|2=21|AB|2|AC|2-(AB·AC)2=21AB2·AC2-(AB·AC)2.例1已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).试求:1)△ABC的面积;2)△ABC的AB边上的高.解1)     

构造平面向量妙解一个数学问题

《数学通报））2006年第6期刊登的1613号问题解答用的是反证法，笔者构造平面向量利用的向量模的性质给出一个相对简洁的证法，供读者参考．     

一个无理不等式的简证及推广

<正>题目已知a,b∈R⁺,且a+b=1,求证:（a²+1）^1/2+（b²+1）^1/2≥5^1/2.《中学数学》《中学数学教学参考》等数学杂志曾用放缩法、几何法、向量法、不等式法等十多种方法对此题作了精彩证明,读后令人折