费尔马小定理在解竞赛题中的应用

法国数学家费尔马(1601-1665)所提出的猜想:当n是大于2的整数时,不定方程 x~n+y~n=z~n没有整数解。通常,人们称这个至今未获解决的问题为“费尔马大定理”。数论中还有一个被广泛应用的费尔马小定理:若p为素数,则 a~p=a (mod p)。推论:若p为素数,且(a,p)=1,则 a~(p-1)≡1 (mod p)。费尔马小定理在解决数学竞赛的问题中     

一组代数不等式的几何证明

在同一个直角三角形中,斜边大于直角边是一个众所周知的事实,然而它却有许多应用,现举一例。如图一所示,以AB为直径作半圆O,作CD⊥AB,OE⊥AB,且CF⊥OD。在Rt△OEC中,CE>OE; 在Rt△COD中,OD>CD,OE为⊙O半径,CD为半弦,即OE>CD; 在Rt△FDC中,CD>DF综合起来,有     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令     

倒数方程及其部分应用

当n>4时,一般的n次方程不能用根号解,但这并不排除对特殊的高次方程给出相应的解法。 一、倒数方程与负倒数方程 定义1:若方程f(x)=0的根两两互为倒数,则称为倒数方程。 性质1:倒数方程的首未等距项系数相等。 由于互为倒数的数是成对出现的,因此倒数方程应为偶次方程。其标准方程为:     

数学奥林匹克解题思维特征初探

数学奥林匹克作为数学教育研究的重要课题之一,它在发现与培养数学人才方面的作用日益受到重视.数学奥林匹克的题目风格迥异.各具特色,涉及知识领域宽阔,思维方式新颖.本文仅就解决数学奥林匹克题目时.学习者所呈现的思维特征给予归纳与概括. 一、问题的提出自从1980年国际数学教育委员会决定成立一个分委员会——国际数学奥林匹克委员会以来,数学奥     

关于倒数方程解法中递归变换系数的推导

[1]中指出每一个x~n+1/x~n或x~n+(-1)/x~n可以表为多项武F_n(x+1/x)或F_n(x-1/x),并给出递归变换的分离系数表A与表B。本文将在[1]的基础上,给出表A、表B的第n行元素的计算,同时介绍这个结果的一个应用。     

再探数学奥林匹克解题思维特征

本文拟在资料[1]的基础上,探讨在数学奥林匹克解题过程中所呈现的某些数学学习规律。 1 主观意向与尝试错误相结合的思维特征 美国心理学家桑代克提出“尝试错误学习”,他主张“问题的解决是一十尝试错误性质的渐进过程。” 数学奥林匹克选手在解决问题时,常会有一些错误的尝试过程。出现的错误会激发他们按照自己的设     

数学奥林匹克的命题原则和方法

随着数学竞赛的发展,正在逐步形成一门特殊的数学学科——奥林匹克数学。奥林匹克数学主要研究以下五个方面的问题: 历史的分析:从数学奥林匹克演变的过程探讨其存在和发展的规律和特点;     

关于第31届IMO的分析与评估

本文采用常规教育统计方法对第31届 IMO 的308名各国参赛选手的成绩进行了对比分析.评估本届 IMO 试题的合理性与有效性,论断本届 IMO 第一试与第二试~(**)的差异水平.借助次数多边图,采用单向方差分析对五大洲的选手成绩进行差异显著性检验.本文旨在探讨进行 IMO 赛后的评估工作对本国数学奥林匹克理论与实践发展的意义.     

国际数学奥林匹克的发展与预测

本文采用数理统计方法,根据第23届、第26届、第29届、第30届,第31届国际数学奥林匹克竞赛所提供的资料,对近几年来国际数学奥林匹克的现状、各大洲数学奥林匹克的实力以及它们在世界数学奥林匹克中所处的位置,历届IMO试题的合理性和有效性进行评估。并在此基础上,对今后几年中世界数学奥林匹克的发展提出了预测。文章结尾,根据新获得的第32届IMO的资料,我们对所提出的预测进行验证,发现第32届IMO的结果与我们的预测相符。本文的目的旨在探讨进行IMO的赛后评价和预测对本国数学奥林匹克理论与实践发展的意义。