图的k部划分的一个注记

设k≥2是一个整数。本文证明了任意有m条边的图都存在一个顶点的划分V_1,V_2…,V_k,使得e(V_1,V_2…,V_k)≥k-1/k m+k-1/2k((2m+1/4)~1/2-1/2)-(k-2)~2/8k,且max{e(V_i):1≤i≤k}≤m/k~2+(k-1)/2k~2((2m+1/4)~1/2-1/2+3/8-7k-4/8k~2.我们的结果改进了[Fan G.,Hou J.,Zeng Q.,A bound for judicious k-partitions of graphs,Discrete Appl.Math.,2014,179:86—99]的主要结论.     

本原不可幂带号有向图的lewin数的界

如果存在正整数k使得对于D中任意两点u和v(允许u=v),在D中都有从u到v的长为k的有向途径,则称有向图D是本原的.给有向图的每条弧赋以符号+1或者-1得到的图S称为带号有向图.如果带号有向图S中包含SSSD途径对,即包含两条有相同的起点,相同的终点,相同的长度,并且有不同的符号的途径对,则称S是不可幂的.在本文中,我们将Lewin M提出的lewin数的概念从本原有向图推广到本原不可幂带号有向图,给出了本原不可幂带号有向图S的lewin数l(S)的若干上界,并提出了一个公开问题.     

利用计算机计算n阶图的特征多项式的方法

1引言设G=（V,E）为n阶无向的简单连通图.记N（v）为v的所有相邻点的集合,则d（v）=|N（v）|称为顶点v的度.若d（v）=1,则称v为G的一个悬挂点.设D（G）=diag（d（v₁）,d（v₂）,…,d（v_n））和A（G）分别表示图G的度对角矩阵和邻接矩阵,则L（G）=D（G）-A（G）称为图G的Laplace矩阵,而Q（G）=D（G）+A（G）称为图G的SignlessLaplace矩阵.用符号N_m×n表示一个m行n列的矩阵,M_n表示一个n阶的方阵.特     

匀称无圈超图的计数

研究了标号匀称无圈超图的计数, 得到了一般的$n$阶标号r-匀称(d)-森林和n阶标号r-匀称(d)-真森林的递推公式,并分别得到了包含和不包含独立点的$n$阶标号森林的计数显式.     

严格(d)-连通无圈超图的计数

研究了一般的标号严格(d)-连通无圈超图的计数,得到了n阶标号严格(d)-连通无圈超图的计数公式.     

双圈图的Laplace矩阵的谱半径

利用奇异点对的分类,得到了n阶双圈图的Laplace矩阵的谱半径的第二至第八大值,并且刻划了达到这些上界的极图.     

无标号真严格(d)-连通无圈超图的计数

本文得到了无标号真严格(d)-连通无圈超图的计数公式,并得到了无标号真严格(d)-连通同胚k不可约无圈超图的计数公式.     

关于代数连通度的一个注记

图G=(V,E)的次小的拉普拉斯特征值称为G的代数连通度,记为α(G).设δ(G)为G的最小度.Fiedler早在1973年便证明了α(G)≤δ(G),但他未能给出等号成立的极图刻划.后来,我们在[6]中确定了当δ(G)≤1/2|V(G)|时α(G)=δ(G)的充要条件.本文中,我们将确定任意情况下α(G)=δ(G)成立的所有极图.     

恰有k个悬挂点的n阶双圈和三圈图的拟拉普拉斯谱半径

设k,n为两个确定的正整数.本文得到了当1≤k≤n-7时恰有k个悬挂点的n阶连通三圈图的最大拟拉普拉斯谱半径的唯一极图,也得到了当1≤k≤n-5时恰有k个悬挂点的n阶连通双圈图的最大拟拉普拉斯谱半径的唯一极图.