奇偶性分析的应用(续完)

三、杂题这里杂题是指各种数学竞赛中常见的一些不太“正规”的题,其中的许多题都有图论和组合数学等数学分支的背景。例10 一个展览馆有24间展览室(如右图,图中每个方格代表一间展览室),每相邻展览室有门相同,问能否设计出一条从入口到出口的参观路线,不重复不遣漏的走过每间展览室。解:本题是一个讨论可能性的问题,用直接画的方法是难于求解的。为了把参观路线形象化,我们用黑白两色把方格徐色,并使相邻方格不同色(右图中有阴影的部分代表黑色)。从图中可见,不论按照怎样的路线参观,参观者总是从白房进入黑房,或者     

第二十七届国际数学奥林匹克竞赛题解

第27届国际数学奥林匹克竞赛今年七月在波兰华沙举行,我国首次派出代表队参加这次竞赛,并取得了辉煌成绩。我国派出的六名选手是河南郑州方为民、上海张浩、天津李平立、陕西西安荆秦(女),湖北黄冈林强(高二)、江苏泰县沈建。他们的得分依次为(满分为42分)41,39,37,28,19,15分。其中前三人获得一等奖,荆秦获二等奖,林强获三等奖。总分为177分,居第四位(美国与苏联代表队总分均为203分,并列第一)。消息传来,全国人民无不为之欢欣。这一成绩的取得除了队员及其中学老师的努力之外,与集训队的指导老师努力也是分不开的。为满足广大读者的渴望,我们特邀请部分导师对此试题给出解答。另外,这套竞赛试题的第二题系科技大常庚振教授命题,被竞赛委员会选甲,亦反映我国竞赛命题之水平,常教授专为我刊撰写的命题构思过程将于下一期发表。     

问题与解答

<正> 证记题中的表达式为F(x),这是一个x的多项式。显然,F(1)=0,因而(x-1)是F(x)的因式。由微积分基本定理,有     

问题与解答

<正> 1.设a(x)、b(x)、c(x)、d(x)是x的多项式,证明∫_1~X a(x)c(x)dx∫_1~Xb(x)d(x)dx-∫_1~Xa(x)d(x)dx∫_1~Xb(x)c(x)dx被(x-1)~4     

初中数学竞赛试题选讲(续完)

三、正弦定理和余弦定理的应用关于三角形边与角的等量及不等量的关系,三角形的形状以及几何量的计算等方面题,常用正弦定理、余弦定理及面积公式S=(1/2)absinC求解。例10 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且c为最大边如果accosA bccosB<4S,其中S为△ABC的面积,求证△ABC是锐角三角形, 因c是最大边,故∠C是最大角,所以只要能证明∠C是锐角,命题即得证,而为此又只要证明cosC>0即可。这就使我们想到从余弦定理入手解题。由余弦定理及三角形面积公式,题设不等     

推荐一本好书——《高中数学竞赛二十二讲》

这几年来,我常应邀去一些省、市作各种数学竞赛辅导报告,许多老师和学生都要我介绍好的数学竞赛辅导读物,现在我怀着十分乐意的心情,向广大中学生和中学老师推荐由江志、邓习坤编著的《高中数学竞赛二十二讲)(以下简称《二十二讲》),该书原是由湖北省数学会,湖北大学数学系联合创办的数学奥林匹克函授学校(以下简称湖北奥校)使用的教     

初中数学竞赛试题选讲(待续)

本文想通过对若干竞赛试题的分析,讲一些解题方法。下面分几个方面讨论,限于篇幅这里将不讨论竞赛中大量出现的几何题。一有关整数性质的题这类题目在竞赛中极多,它们涉及到数的整除性:带余表示(设a,b为任意整数,b>0。则有唯一的整数m与r,使得a=mb r,0≤r<6);质数:数的奇偶性等等。例1 一个六位数,如果它的前半部分三位数字与后半部分三位数字完全相同,顺序也相同。则7、11、13必是此六位数的约数。做题首先是审题。依题意所设六位数应是 (?) 由于7、11、13都是质数。且7·11·13=1001,所以本题无非是要证明N被1001整除,为此,只要注意到 (?)即证得本题。     

奇偶性分析的应用(待续)

简单的奇偶性分析,常是求解各种问题的一个强有力的而且具有广泛应用的手段。下面分几个方面讨论。一.末位数问题在本节的讨论中,约定各字母都是自然数不再声明。设a∈N,记a的末位数为G(a),显然,G(a)是一个定义在N上的函数,关于G(a)有以下简单性质: 1)和的末位数等于各加项末位数之和的末位数即G(a+b)=G〔G(a)+G(b)〕 2)积的末位数等于各因子末位数之积的末位     

关于《复变函数》教材中若干问题浅见

<正> 教材中对教学内容如何处理,无疑在教学中具有举足轻重的地位。现将我校自编复变函数教材(非数学系用)中对一些问题的处理方式提出来。以期抛砖引玉。一、复数1.复数方法由于刚接触复数,初学者在做习题(尤其是证明题及解复方程)时一个常见弊病是爱分开成实部及虚部处理。这从表面上看起来是一个途径,实际上对许多情形这样做将导致很复杂的计