Lebesgue积分在高等数学中的几个应用实例

实例说明Lebesgue积分在高等数学中求极限方面的几个实际应用．     

关于拉氏变换之微分性质的一点注记

反例说明拉氏变换的一条微分性质存在的错误，通过理论分析指出其问题所在，并给出改正。     

浅谈用极坐标计算有界闭区域之面积

一个有界闭区域,当其边界曲线由极坐标方程给出时,如何求它的面积?这个问题可以用定积分解决,我们知道:     

复合函数求偏导数法则的证明一般书中都有毛病

本文指出了一般书中求复合函数偏导数法则的证明中的一个普遍毛病,并提出了改正的方法     

正确地求条件最值

本文对正确地求条件最值问题作了系统论述,并举例来澄清一些错误观念     

关于Dirichlet定理的一个值得注意之点

本刊1999年第2期刊有《傅里叶与傅里叶分析》一文,其中谈到狄利克雷在历史上第一个给出了函数f(x)的傅里叶级数收敛于它自身的一个充分条件:Dirichlet收敛定理:设f(x)是以2π为周期的周期函数,如果它在一个周期内满足:1°f(x)连续或只有有限个第一类间断点;2°f(x)至多有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,并且12a0 ∑∞n=1(ancosnπlx bnsinnπlx)=f(x),当x为f(x)之连续点,f(x-0) f(x 0)2,当x为f(x)之间断点.　　这个定理的证明,除三角级数之专著(如Zygmand.TrigonometricSeries)一般不易见到,以致引用者往往对其条件不太考究.其实条…     

从求(limln→+∞nn√n!/n)说起

求(lim n→+∞ lnn√n!/n)是一个老题,同济大学数学教研室所编高等数学总习题5中收入了该题,并将它与另外两个可作定积分定义来求的极限问题放在一起.各色各样题解之类的书也都用定积分定义来求这个极限,使我感到有必要说几句话.     

从求lim(n→ ∞)ln(((n!)~(1/n)/n))说起

求 limn→ ∞lnn n!n 是一个老题 ,同济大学数学教研室所编高等数学总习题 5中收入了该题 ,并将它与另外两个可作定积分定义来求的极限问题放在一起。各色各样题解之类的书也都用定积分定义来求这个极限 ,使我感到有必要说几句话。1 952年我开始工作 ,有个学生就曾以此题问过我。我学的熊庆来的《高等算学分析》书中有过用定积分定义求极限的问题 ,但要求所考虑函数在闭区间上连续。这个题所考虑的函数在闭区间上不连续 ,甚至还是无界的。不好办 !我告诉他 ,假设 lnx在 [0 ,1 ]上是连续的 ,倒可以由定积分的定义知道所求极限就是∫10lnxdx …     

电路模型的改进及若干相应结果

指出1段导线可以采用注上3个非负常数L,R，Q或分式（LP^2＋RP＋Q）／p的1段有2个端点的简单曲线来表示，且L恒≠0；可定义电路为有限条导线串并联而成的组件，使电路图可相应简化．提出用等价电路来简化电路的概念，从而得出用电路图来计算拉氏阻抗的较直观简洁的新方法，并证明了在任何电路中都存在拉氏阻抗，并且是个分子次数比分母次数高1的分式；也证明了拉氏电位降定理中的L{u（t）}=ZL{i（t）}可加强为L^s{u（t）}=ZL{i（t）}，其中L^s{u（t））则为u（t）的强拉氏变象．同时也证明了空载电路中电流可通过电路特征表达电路特征定理，即i（t）=g（t）·ue（t）=∫0^1g（t—τ）ue（t）dτ，而ue（t）为外接电动势两端之电位差，g（t）=L^-1{Z^-1}为拟连续、缓增的函数，也被称为电路的电路特征；又证明了电路特征测定定理ue（t）=δ0（t）时，i（t）即为g（t），并且电路特征定理和测量定理对一切电路均成立．