复数运算的金钥匙——“模”

2017年版普通高中数学课程标准对复数版块做了局部调整,增加了复数三角表示.2021年全国新高考统一考试适应性训练和2020届高考数学全国卷(Ⅱ)(理科)对复数深度考查了与“模”有关的运算,本案例举几例复数求模问题,感受“模”在复数运算中的重要地位.     

一道数列极限题的注记

用几何方法分析了高等数学中的一道数列求极限的题目,直观地显示了该数列趋向于极限的方式.并把极限的结果从实数域中拓展到复数域中,指出了该数列在复数域趋向于极限的方式是螺旋的,在实数域中趋向于极限的方式是沿直线靠近的.最后类比该数列,构造出相似数列的求极限问题.     

非均匀波导中的声聚焦

理论研究了声波在非均匀波导中的空间聚焦问题,利用多模态导纳法构建波导内任意位置处声压与入射声压在模态域的映射关系,计算使声波聚焦于空间某位置时的最佳入射波,并画出了相应的聚焦声场.研究了三种非均匀情况:水平变截面波导、含散射体波导以及声速垂直变化波导.结果表明,当输入最佳入射波时,在非均匀波导中可以产生良好的单点或多点声聚焦效果,声波的聚焦过程充分地利用了波导结构及介质非均匀性对声波的散射作用.     

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提出用复数法来分析平面机构的运动，其优点在于分析问题时概念清晰，运算简便，且机构运动越复杂，优越性越明显，也为使用计算机编制程序提供方便     

基于电源电流和输出电压的模拟电路故障模型研究

基于模拟电路电源电流和输出电压的协同分析,研究了复数域的故障建模方法,提出了一种2D故障模型的数学表达式,该模型为复平面上的一簇圆轨迹。为了扩大故障轨迹之间的距离,在相同测量精度和元件容差条件下提高故障检测率和隔离率,进一步提出了3D复数空间的优化故障模型。两种故障模型都极大简化了测点选择算法和模拟故障状态仿真的复杂度,理论上对模拟电路单故障的覆盖率为100%。基于滤波器电路的实验仿真结果验证了两种故障模型的有效性。     

不同均衡补偿模式下海底地形反演方法比较分析

针对不同均衡补偿模式下导纳函数存在不同的函数表现形式以及涉及诸多地球物理参数的特点,依据最新的全球地壳模型CRUST1.0获得了研究海域海水密度、地壳密度、地幔密度等参数信息。根据谱分析技术,在挠曲导纳函数受有效弹性厚度影响显著波段,采用迭代方法解算了不同有效弹性厚度环境下观测导纳和理论导纳的差值均方差,获得了研究海域有效弹性厚度最佳估值为11 km。分别采用未补偿导纳函数、挠曲导纳函数和Airy导纳函数构建了研究海域海底地形模型1、模型2和模型3,并与ETOPO1模型和GEBCO模型比较发现:模型1和模型2检核精度优于ETOPO1模型和GEBCO模型;相比于ETOPO1模型,模型1和模型2精度提高了49.04%和39.44%。海深分层检核统计结果表明:应用导纳函数构建的海底地形与检核点表现出良好的相关性;同时随着海深的增加,模型检核精度呈现不断升高的趋势。     

利用完全复数极限学习机增强近场声全息空间分辨率

针对稀疏测量阵列条件下近场声全息重建结果空间分辨率不足的问题,提出了一种基于完全复数极限学习机的全息声压插值方法。该方法首先将已测量的全息面复声压和对应的测点坐标组成训练样本输入完全复数极限学习机,接着把插值点的坐标代入训练好的极限学习机,得到相应位置的复声压,实现全息数据的插值。利用插值后的全息数据进行重建,并与不做插值处理的重建结果和传统插值处理后的重建结果比较。仿真和实验结果均表明:与不做插值相比,该方法在不增加传声器的条件下显著提高了重建结果的空间分辨率。与基于支持向量机或传统极限学习机的插值方法相比,该方法速度更快,插值后重建结果精度更高。同时,通过添加噪声干扰验证了该方法的稳健性。      

以问题为导向的复变函数教学与实践

复分析在数学的众多分支、物理学、工程领域有着重要应用,因此它是众多工程类专业的必修课程.传统的复变函数教学方式存在着一些不足,并不完全适合当下的学生.这导致相当数量的学生觉得复变函数枯燥而不易学习.为解决这一问题,教师可以通过有效的启发,并以讨论问题的方式开展复变函数的教学.这种方式不仅有益于提高学习效率并且可以增加学生的学习兴趣.     

近红外消偏振分光膜设计近红外消偏振分光膜设计

大角度倾斜入射时,光学薄膜表现出强烈的偏振效应。入射光S分量和P分量的反射率和透射率曲线,以及反射或透射引起的两个分量的相位变化都不再相同,彼此有一定的偏振分离。通过对产生偏振效应内在原因的分析,采用一个在近红外波段对于45倾斜入射光的S分量和P分量等效导纳非常接近的膜系结构,结合单纯形法优化算法,设计得到一个1 500～1 600 nm范围内反射率都是50％的近红外消偏振分光膜。结果显示,在45入射时,S分量和P分量的反射率曲线偏振分离小,反射和透射引起的相位变化也控制在很小范围。     

《数系的扩充和复数的概念》教学设计

几日前,给学生教授<初等代数研究>时,要求学生试着编写<数系的扩充和复数的概念>一节的教案并进行试教,学生的教学让笔者回忆起中学时学习该节内容的体会,总的印象是零零散散,很多东西需要去死记,在此想用三个问题来探讨该节课的教学设计.