几何结构凸显 解题思路立现——例谈一个典型几何结构在中考与竞赛中的应用

<正>在平面几何中,经常会遇到这样一个图形:如图1,已知AP为∠MAN的角平分线,点B是射线AN上异于A的一点,过B作AM的平行线,交AP于点C.易知这个图形所蕴含的结论是AB=BC,也就是说△ABC是等腰三角形.由于这个图形的条件是平面几何中的两个非常常见且重要的概念:角平分线与平行线,而结论又是重要的特殊三角形——等腰三角形,更为关键的是这个图形常常活跃于各种复杂的几何图形中,     

函数观点下的解方程或解不等式问题

<正>我们知道,函数、方程、不等式问题是中学数学代数中非常重要的内容,它们三者彼此之间联系密切、相互渗透,用函数观点来思考方程或不等式问题便成了一种行之有效的思路.本文正是基于这种想法,把平时遇到的看似较难的方程或不等式问题,通过构造函数来处理,结果发现其过程很简单.     

形似背后隐藏着神似的问题串——谈两个不同问题的统一及再探究

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一道全国初中联赛题的又三解

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用分离变量法解不等式恒成立问题两例

<正>有关不等式恒成立的问题,因为它常常涉及到解不等式,需有函数观点,能综合考查学生对函数、不等式、最值问题等初中阶段重要知识的理解和运用,所以近来在中考数学或竞赛中逐渐受到青睐.这类问题情形较多,本文仅介绍分离变量后常常得到的两种情形:     

构造三角形的外接圆求线段的最值问题

<正>我们知道,任意一个三角形都有一个外接圆.如果三角形和圆结合起来,那么其中蕴含的几何关系便随之丰富起来.所以在初中阶段利用三角形的外接圆解决问题是重要的问题解决方法.本文通过两个重要的几何模型举例说明如何构造三角形的外接圆来解决线段的最值问题,希望能给同学们带来思路上的启迪.     

三法破解一道几何计算难题

<正>1原题呈现如图1,正方形ABG CD被两垂直的线段EF,GH分割成四个小矩形,P是EF和GH的交点.若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍,则∠HAF=____.2利用图形的特殊情况,先求出∠HAF的值分析如图1,为计算方便,不妨取正方形的边长为6,且令E,F分别为AB,CD的中点,     

2022年武汉中考数学第16题的解法探究、变式与推广

对2022年武汉中考数学第16题的背景及解法进行了深度探究.采用发散思维与求异创新思维得到8种不同的解法,并探索、归纳出5个变式题及3个推广题.     

例谈应用(a+b)~2≥4ab解取值范围的问题

<正>众所周知,不等式a²+b2+b²≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)2≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)²≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)²≥4ab,     

一道教师解题比赛的解法探究

<正>2020年7月份,杭州市余杭区中学数学教师解题能力测评有这样一道填空压轴题:若x>0,y>0,则■的最大值为______.该题目条件简单,所求式子结构紧凑、简短,属于分式型求最值问题.笔者经过对已知条件的充分挖掘,得到了几类不同的方法.现在总结出来,以飨大家.1构造一元二次方程,利用判别式大于或等于零得到不等式思路1在高中阶段,含二次项的分式型求最值问题常常有这样的通法:可整体假设成一个新的变量,变形为一元二次方程的形式,由判别式转化为一元二次不等式,从而根据二次函数的开口方向再次利用判别式就可转化为新变量的不等式,实现所求最值问题的求解.这样就自然地就有了方法1.