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We consider concentrated vorticities for the Euler equation on a smooth domain Ω?R2 in the form of
ω=j=1NωjχΩj,|Ωj|=πrj2,Ωjωjdμ=μj0,
supported on well-separated vortical domains Ωj, j=1,,N, of small diameters O(rj). A conformal mapping framework is set up to study this free boundary problem with Ωj being part of unknowns. For any given vorticities μ1,,μN and small r1,,rNR+, through a perturbation approach, we obtain such piecewise constant steady vortex patches as well as piecewise smooth Lipschitz steady vorticities, both concentrated near non-degenerate critical configurations of the Kirchhoff–Routh Hamiltonian function. When vortex patch evolution is considered as the boundary dynamics of ?Ωj, through an invariant subspace decomposition, it is also proved that the spectral/linear stability of such steady vortex patches is largely determined by that of the 2N-dimensional linearized point vortex dynamics, while the motion is highly oscillatory in the 2N-codim directions corresponding to the vortical domain shapes.  相似文献   
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The Hadwiger number of a graph G, denoted h(G), is the largest integer t such that G contains Kt as a minor. A famous conjecture due to Hadwiger in 1943 states that for every graph G, h(G)χ(G), where χ(G) denotes the chromatic number of G. Let α(G) denote the independence number of G. A graph is H-free if it does not contain the graph H as an induced subgraph. In 2003, Plummer, Stiebitz and Toft proved that h(G)χ(G) for all H-free graphs G with α(G)2, where H is any graph on four vertices with α(H)2, H=C5, or H is a particular graph on seven vertices. In 2010, Kriesell subsequently generalized the statement to include all forbidden subgraphs H on five vertices with α(H)2. In this note, we prove that h(G)χ(G) for all W5-free graphs G with α(G)2, where W5 denotes the wheel on six vertices.  相似文献   
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