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1.
称具有e条边的简单图G为协调图,若存在由G的顶点集到模e的整数群Ze的一个单射h,使得导出映射h^*:h^*(uv)≡h(u)+h(v)(mod e)是一个由G的边集到Ze的双射,带弦的圈C′n是由含n个顶点的圈Cn上添一条连结两个不相邻顶点的边而得到的图。本文中证明了,除了n=6且弦端点在Cn上的距离为2的情况外,所有带弦的圈都是协调图。
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2.
称有e条边的简单图G为调和图,若存在单射h:V(G)→Z
e,Z
e是模e的整数群,其导出映射h
*:E(G)→Z
e;h
*(vv)≡h(n)+h(v)(mode),n,v∈V(G)是一个双射,称h为G的一个调和标号三角形蛇图是一个其所有块都是三角形且其块-割点图为一条路的连通图。本文证明了具有t个块的三角形蛇图足调和的,当且仅当t≠2(mod4)。
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