图的k部划分的一个注记

设k≥2是一个整数。本文证明了任意有m条边的图都存在一个顶点的划分V_1,V_2…,V_k,使得e(V_1,V_2…,V_k)≥k-1/k m+k-1/2k((2m+1/4)~1/2-1/2)-(k-2)~2/8k,且max{e(V_i):1≤i≤k}≤m/k~2+(k-1)/2k~2((2m+1/4)~1/2-1/2+3/8-7k-4/8k~2.我们的结果改进了[Fan G.,Hou J.,Zeng Q.,A bound for judicious k-partitions of graphs,Discrete Appl.Math.,2014,179:86—99]的主要结论.     

ON THE TOTAL COLORING OF GRAPH G ∨H

ＯＮＴＨＥＴＯＴＡＬＣＯＬＯＲＩＮＧＯＦＧＲＡＰＨＧ∨Ｈ￥ＸｕＢａｏｇａｎｇ（许宝刚）（Ｍａｔｈ．ｏｆＤｅｐｔ．，ＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ２５０１００，Ｃｈｉｎａ．）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｔｏｔａｌｃｈｒｏｍａｔｉｃｎｕｍｂ...     

飞行管理模型的线性化处理方法

编者按：该答卷针对飞行管理问题的实际背景，采用计算机模拟和线性规划相结合的方法较好地解决了问题。论述条理清晰，计算结果正确。所采用方法的特点是运算时间短，普适性较强具有一定的启发性，特将有关部分予以发表。一、模拟与线性规划模型要解决飞行角度调整问题，首先要判断出哪些飞机会在区域内发生碰撞，令Li,j（t）=（xi（t)一xj(t))2十（yj(t）一yj（t）)2一64，整理得其中两架飞机Pi和Pj在区域内发生碰撞的条件是：1）两架飞机间的最短距离小于等于8公里；2）刚达到距离8公里时两飞机仍在区域内。由条件1）可得约束且两飞机…     

关于一类着色数为a+1,团数为a的图

Let G is a simple graph,ω(G).△(G)、x(G)are maximum clique number ofG,maximum degree and chromatic number of G respectively.In[2],James defi-nes that(a,b,c)(where a,b,c are positive integer)is graphical if there existsG whichω(G)=a,x(G)=b,△(G)=c.We say G is on(a,b,c)and set P(a,b,(a,b,c)=min{|V(G)||G is on(a,b,c)}.All other signs are from[1].     

具有唯一4度最大度点的图的全色数

一个图Ｇ的全色数χ_T（Ｇ）是使得Ｖ（Ｇ）∪Ｅ（Ｇ）中相邻或相关联元素均染不同颜色的最少颜色数．文中证明了，若图Ｇ只有唯一的一个４度最大度点，则χ_T（Ｇ）＝Δ（Ｇ）＋１．     

关于正则图存在平衡划分的一些结果

一个图G的划分V(G)=V1∪V2,如果满足下列条件:(1)||V1|-|V2||≤1;(2)任给u ∈V(G),当u ∈V1时,满足dG[V1](u)-dG[V2∪{u}](u)≤1;当u ∈V2时,满足dG[V2](u)-dG[V1∪{u}](u)≤1.则称V(G)=V1 ∪ V2为G的一个平衡划分.Bollobas与Scott猜想任一图都存在平衡划分.文中证明了k-正则图存在平衡划分.其中k ∈{3,n-1,n-2,n-3,n-4).对于k=3或n-4的一个特殊情形,还给出了寻找k-正则图平衡划分的算法.     

超图与图公平划分的l-元组

令S为一个图或超图的某顶点子集,则e(S)表示该图中端点全部在S内的边数. Fan和Hou(2017)证明了每个最大度为?的m阶图G都存在一个k部划分(V_1, V_2,..., V_k),使得对于任意1≤i j≤k,都成立e(V_i∪V_j)min≤{4/k~2×m+4?/k,m/k-1}+o(m~(7/8)).令H表示最大度为?的m阶r-一致超图,本文证明H存在一个k部划分(V_1, V_2,..., V_k),对于任意1≤i j≤k,满足e(V_i∪V_j)≤r-1/k-1×m+o(m);也证明当?=o(m)时, H存在一个k部划分(V_1, V_2,..., V_k),使得对于任意l∈[k-1]和每个l元组(V_(j1),..., V_(jl)),有e(V_(j1)∪···∪V_(jl))≤l~r/k~r/m+o(m).     

A Negative Answer to a Problem of Erds

LetH1andH2begraphsshowninFigUrel(Seealso[2]Figure5(b),FigUIe6(b)).Fori=1,2,letGibethegraPhobtainedbyreplacingtwononadjacentedgesofK4byc0PlesofHinsuchawaythatz1andz2areidentifiedwiththetwoendverticesofeachofthesetw0edges,respectbely(Seealso[2]FigUre5(a),FigUre6(a)).Similarly,letG3bethegraph0btainedbyrePlacingtwononadjacentedgesofK4byH1andH2,respectively.EachofG1,G2andGsisaplanargraphwithfourtriangles.In[1](alsosee[2],Problem7.2),Erd5sproposedthefollowingquesti0n:IfGisan0n-3-coIorab…     

高度图的独立集复形

给定图G，称以G的所有独立集为单形的抽象复形I（G）为G的独立集复形．如果两个图G和H的独立集复形I（G）和I（H）的各阶同调群都是同构的，则称两个图是独立同调的．J（G）表示Gc的连通分支数，J3K2（G）表示Gc中同构于（3H2）c的连通分支数．本文研究了最小次δ（G）至少为其阶数|V（G）|减5的图G的独立集复形的结构，对满足δ（G）≥|V（C）|5，δ（H）≥|V（H）|－5的两个图G和H，（I）证明了，G和H独立同调的充要条件为J（G）＝J（H），J3K2（G）＝J3K2（H），且I（G）和I（H）的Euler示性数相同．（Ⅱ）给出了一个在图上计算I（G）的一维Betti数的方法，得到了一个I（G）是无圈复形的充要条件     

图的去点主子图相对同调群的可重构性

本文证明了图与其去点主子图的独立集复形构成的相对同调群族是可重构的；当图满足一定的条件时，图与其去点主子图的邻域复形构成的相对同调群族也是可重构的．