微分方程组=a+sum from ((i+j)=2) (a_(ij)x~iy~j),=b+sum from ((i+j)=2) (b_(ij)x~iy~j)的极限环存在的分歧值与代数奇异环

§1 引言 董金柱最先研究如下的二次系统[1]: (?)=α+sum from i+j=2 (α_(ij)x~iy~i,(?)=b+sum from i+j=2 (b_(ij)x~iy~i) (E) 的极限环的个数问题,他指出(E)可以至少存在两个极限环,且这两个极限环的位置分布在两个奇点周围。文[2]中证明了(E)至多存在两个极限环。本文将应用旋转向量场理论,研究当旋转参数α=时极限环变为奇异环的分歧值。从而得出一些情况下(E)恰存在两个极限环的充要条件。依据[2],研究(E)的极限环,只要研究如下系统就行了:     

系统x＝ψ（y），y＝－g（x）－f（x）y的极限环唯一性问题

本文给出系统x＝ψ（ｙ），y＝－ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｙ条件较弱的极限环唯一性定理。     

系统（E）：X＝ψ（y），y＝－g（x）-f（x）y极限环的唯一性

We obtain a uniqueness condition for the existence of limit cycle.     

系统x=ψ（y）,y=—g（λ）—f（x）y的极限环唯一性问题

本文给出系统ｘ＝ψ（ｙ），ｙ＝－ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｙ条件较小的极限环唯一定理。     

微分方程组■=y,■=x(1-x~2)+(α-x~2)y的极限环的最大数目及相对位置

本文证明微分方程组至多存在三个极限环;当极限环存在时有且只有五种不同的相对位置。从而回答了这个方程的Hilbert第16问题。     

实系数的复系统■=-x,■=y-(αx+βx~(2n+1))至少有n个极限环(αβ≠0)

本文在[2]的基础上引入实系数的复微分系统的枝桠平面的概念。并证明:实系数的复微分系统(1):y=-x,x=y-(αx+βx~(2n+1)恰有2n个枝桠平面。在这2n个枝桠平面上系统(1)的极限环数的总和为n。又当β≠0(α≠0)和α(β)用变号时,n个枝桠平面上的n个极限环经过原点(无穷远)跳到另n个枝桠平面上。     

The Algebraic Critical Cycle and Bifurcation Function of Limit Cycle for the System =xy, =sum from 0≤j+i≤2 (a_(ij)x~iy~j)

In the quadratic system possessing one integral straight line (?)=xy,(?)=sum from o≤i+j≤2 (a_(ij)x~iy~j) (1) there may exist a triangle critical cycle which is formed of two rays and a section of arc of equator on Poincar sphere, if(1) possesses two integral straight lines. Besides, in that paper the bifurcation function of limit cycle of(1) is also found. In this article we prove that there may exist a lune of critical cycle which is formed of an algebraic curve and a section of arc of the equator on the Poincar sphere; or is formed of an algebraic curve and a straight line. Moreover, we will also find out bifurcation function of limit cycle.     

微分方程组x=a sum from (i j=2) (aijxiyj),y=b sum from (i j=2)(bijxiyj)的极限环存在的分歧值与代数奇异环

In this paper we consider algebraic critical cycles and bifurcation of limit cycles for the system .