Bass定理的一个简单证明

任何具有有穷母元集的自由Boole代数必为有穷的,且其元素数目为2~(2n),此处n表母元数目.另一方面,存在仅具一个母元的自由闭包代数,它不是有穷的.由此产生如下的问题:是否存在只具有穷个母元的自由monadic代数,它不是有穷的?这个问题的回答是否定的.Bass于1958年在文[2]中利用Halmos在[3]中建立的拓扑代数方法实际算出     

论谓词演算 S_ε的单纯完全性

<正> 本文是作者前文[1]的继续,记号和术语同[1].在[1]中我们曾证明如下两事实:(i)若演算 S_8~* 具有一个可数的函项 σ 自由 S_ε~* 代数 A,则单纯 S_ε~* 代数 B_0~N 亦是函项 σ 自由的;(ii)若一致公式集 Γ(?)S_ε~* 在一势不大于(?)的集 J 上 σ 可满足则 Γ 在 J 上对 B_0~N 可满足.本文将从根本土改善上述结果,证明如下两定理:     

模态谓词演算的判定问题(Ⅱ)——关于Slomson归约

以M表示[2]中讨论过的模态谓词演算S_ε~*(它等价于[5]中的S5~*)的仅含唯一的一目谓词字母K的子系统,以B_o~N表域为N的B_o值全函项一目Boole代数,此处N为全体自然数所成之集,B_o为二元Boole代数、本文证明了如下结果: M中的定理(即在S_ε~*中可证明的语句)所成之集和在一非空有穷集上对B_o~N可驳的语句所成之集是递归不可分的. 后一结果加强了和Slomson分别在[8]和[12]中相互独立地得到的一个结果,即M的判定问题是不可解的;同时否定地解决了M中的语句之是否在一非空有穷域上对B_o~N可驳的判定问题.     

相对假补格上的量词运算

如所周知,Boole代数可看作对古典二值命题演算进行抽象所得代数系统。作为古典一目谓词演算及古典狭谓词演算的代数抽象则有一元Boole代数及多元Boole代数的理论。后者已由Halmos在一系列题为《代数逻辑》的论文中加以发展。对于各种非古典演算,建立相应的抽象代数理论也是可能的。Tarski和McKinsey等已对某些著名的非古典命题演算进行了此类研究,并由之解决了相应演算的语义完全性问题。例如,对于Heyting的直觉主义演算,相应的代数为Brouwer代数或其对偶──     

一个Ulam问题的解答

在最近出版的Ulam的问题集[1]中包含如下一个未解决的问题: 设R表正有理整数之集,在其上定义有通常的运算a+b=s(a,b)及a·b=m(a,b)。现在考虑任一把R×R一一地映成R的映射c=p(a,b)。我们可以定义两个函数б和μ使之分别与s和m相应,其定义如下:今问是否存在这样的一一映射p(由R×R到R),使得对于一切c∈R成立? 本文的目的是给上述问题以一个否定的解决。     

对数学报告文学的一些浅见

粉碎“四人帮”以来,有关科学和科学家或科学工作者的报告文学如雨后春笋,不断涌现。其中最著名的自然要算徐迟先生的那篇题为《哥德巴赫猜想》的名文了。文章写得确实非常好,不过也不无微疵。比如作者把主人公写成从小就像个忧国忧民的志士,这一点了解主人公为人的人看了虽尚不致哑然失笑,总不免觉得有些溢美了。当然这是伦理学     

关于 Peano 算术不可有穷公理化之 Ryll-Nardzewski 证明的若干注记——数学基础阅读札记之二

Ryll-Nardzewski首先在[1]中给出了Peano算术不可有穷公理化的证明;差不多同时,Mostowski在[2]中得到了更强的结果。 Ryll-Nardzewski证明的特点在于应用了Peano算术非标准模型的存在性,后者是Godel完全定理的一个简单推论。可能由于发表时的仓促,在[1]中出现了若干易引起混乱的笔误,遗漏甚至较严重的错误。除了该文中系统A_o的公理对于证明后面的定理为不完全外,我们还发现定理25根本是错误的。由之定理27(i)亦不成立。因此定理27(ii)     

量词模态逻辑的代数语义学（Ⅲ）──关于不含Barcan公式的正规模态系统的情形

本文首先讨论嵌套论域语义的相应代数语义并由Ｈｕｇｈｅｓ和Ｃｒｅｓｓｗｅｌｌ在［５］中建立的关于具有嵌套论域的正规量词模态系统的关系语义完全性定理推出其相应的代数语义完全性定理：然后对于具有任意可变论域语义的正规系统，我们用Ｈｅｎｋｉｎ方法给出其关于狭义Ｋｒｉｐｋｅ语义的关系语义完全性定理，由此通过将关系语义转化为代数语义从而亦推得其代数语义完全性定理。     

从Carnap-Bass-Horn定理谈起

所谓Carnap-Bass-Horn定理系指如下定理: 定理A 对每个正整数n,具有n个自由生成元的自由一目Boole代数(即monadic Boolean algebras,以下简称一目代数)所含元素数目有限,其精确表达式为2~([2~n.2(2~n)1])。 由于S5代数和一目代数两概念完全相合(见文末说明),上述定理等价于次之 定理B 对于每一正整数n,具有n个自由生成元之自由S5代数所含元素数目有限,其精确表达式为2~([2~n.2(2~n-1)])。 又因模态系统S5的只含n个命题变元的子系统的Lindenbaum-Tarski代数就是具有n个自由生成元的自由S5代数,再根据在文[2]和[2]中引进的(广义)模态函     

对罗里波同志《强不可接近基数上P(K)的插入定理》一文的一些看法

在文[1]中罗里波证明了如下结果:设K为一强不可达(即strongly inaccessible,在[1]中译作“强不可接近”)基数,则无穷长命题演算P(K)遵守内插定理(即interpolation theorem,在[1)中译作“插入定理”)。这个结果与Friedman[3]中的一项未经发表的结果一起便解决了Friedman在[2]中提出的102个数理逻辑问题中的第24问题的一个方面