高考中对函数单调性的考查分析

有关函数单调性的问题 ,是中学数学教学中的重点 ,也是历届高考的热点 .本文例举高考中对函数单调性的考查特点 ,供同学们复习时参考 .1　着眼于函数单调性的定义和性质进行考查1.1　证明单调性例 1　 ( 1991年全国高考题 )证明函数 ｆ(ｘ) =-ｘ3 1,在 ( -∞ , ∞ )上是减函数 .证　设ｘ1 ,ｘ2 ∈ ( -∞ , ∞ ) ,且ｘ1 <ｘ2 ,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1 ) =ｘ31 -ｘ32 =(ｘ1 -ｘ2 ) [(ｘ1 ｘ22 ) 2 3ｘ224 ] <0 ,因而 ｆ(ｘ1 ) >ｆ(ｘ2 ) ,即 ｆ(ｘ)在 ( -∞ , ∞ )上是减函数 .1.2　判断单调性例 2　 ( 1992年全国高考题 )函数 ｙ =ｅｘ-ｅ-ｘ2…     

a~2 b~2≥2ab的变形推广及应用

人们熟知的不等式 a2 b2 ≥ 2 ab应用很广泛 ,如果将其变形后再应用 ,你会感到另一种新奇与愉悦 .原式 a2 b2≥ 2 ab中 a,b∈ R,为变形方便 ,将条件强化为 a,b∈R ,则a2b≥ 2 a- b ( 1 )如果将此式推广 ,可有结论a2b≥ 2λa-λ2 b (λ≠ 0 ) ( 2 )应用举例例 1　设 x1,x2 ,… ,xn是正数 ,则x21x2 x22x3 … x2n- 1xn x2nx1≥ x1 x2 … xn( 1 984年全国联赛试题 ) .证明 :由 ( 1 )式 ,x21x2≥ 2 x1- x2 ,x22x3≥ 2 x2 - x3,… ,x2nx1≥ 2 xn- x1,将以上各式相加 ,命题即得证例 2　设 α、β、γ为锐角 ,且 sin2 α sin2 β sin…     

应用万能公式解竞赛题

在众多竞赛题中,虽然不是三角题目,但若能类比万能公式,往往可以推陈出新.本文撷取几例以供参考. 1.应用于证明不等式(或恒等式) 例1 已知x,y,z为正实数,且 求证:证明考虑要证式子的特点,可作代换x=tanα,y=tanβ,z=tanγ,其中α,β,γ均为锐角,则已知可化为sin2α sin2β sin2γ=2,同时cos2α cos2β cos2γ=1,而     

与年号有关的竞赛题的常值换元解法

求解数学题如果从正面入手不易解决时,人们会想到转化法,而视“常”为“变”,则是令人新奇的思维方法之一.常值换元,往往可以化繁为简,化难为易,取得事半功倍的效果.下面以几例竞赛题为例谈谈如何视“常”为“变”的.     

正n棱锥中的角

《中学生数学》2001年3月上期刊出文章《探索正四棱锥中两个二面角的关系》,文中给出结论:在正四棱锥中,设侧面与底面所成的二面角为α,相邻两侧所成的二面角为β,则cosβ=-cos2α. 事实上,由cosβ=-cos2α可化为 所以 ,进而化为     

等差数列中的“定比分点公式”及其应用

在等差数列 {ａｎ}中 ,由等差中项的定义有 :ａ2 =ａ1 ａ32 ,ａ3=ａ2 ａ4 2 =ａ1 ａ52 ,若将ａ3=ａ2 ａ4 2 代入ａ2 =ａ1 ａ32 ,可得ａ2 =ａ4 2ａ11 2 ;若将ａ3=ａ1 ａ52 代入ａ2 =ａ1 ａ32 ,可得ａ2 =ａ5 3ａ11 3 ;以此类推 ,则有ａ2 =ａ6 4ａ11 4,…… .这一结果形式酷似解析几何中定分点公式 :ｘ =ｘ1 λｘ21 λ ,由此联想并将其推广 ,则有下面的一般性结论 .命题　设等差数列 {ａｎ}中的三项ａｐ,ａｑ,ａｒ,其中 ｐ ,ｑ ,ｒ互不相等 ,公差为ｄ ,若记λ =ｒ - ｑｑ - ｐ≠ -1,则ａｑ=ａｒ λａｐ1 λ ,这里称其为等差数列中的“定比分…     

利用复数的性质z=|z|~2解高考题

教材中关于共轭复数的性质有下面一条 :一对共轭复数ｚ , ｚ的乘积是一个实数 ,且这个实数等于每一个复数的模的平方 ,即ｚ ｚ =|ｚ| 2 =| ｚ| 2 .这一性质可以实现复数乘法与复数模之间的转换 .运用这种转换 ,可以使解题过程更为简捷、新颖 .本文以高考试题为例 ,谈其四种应用 ,以供参考 .1　用于求复数例 1　 (1989年全国高考题 )设复数ｚ满足关系式ｚ |ｚ| =2 ｉ,那么ｚ =(　　 )(Ａ) - 34 ｉ.　　 (Ｂ) 34-ｉ.(Ｃ) - 34-ｉ. (Ｄ) 34 ｉ.解　由已知可得ｚ =2 - |ｚ| ｉ,则 ｚ =2 - |ｚ|-ｉ ,两式相乘得ｚ ｚ =(2 - |ｚ| ) 2 -ｉ2 ,…     

求三棱锥体积的五种解法

三棱锥是一类重要的多面体,对三棱锥体积的求法,除了直接法外,还可以挖掘出其它重要方法,如等价转化法,分解与合成法,化归法等．本文通过一道习题作些介绍．