一道高考不等式试题的简证

2010年高考数学江苏卷理科附加题第21(D)题: 设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥√ab(a2+b2).证明因2(a3+b3)-(a+b)(a2+b2)=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a+b)(a-b)2≥0,故a3+b3≥a+b/2(a2+b2)≥√ab(a2+b2).本文其实证明了原不等式的一个加强: 设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥a+b/2(a2+b2).     

2011年高考数学江西卷第17题(文、理)别解

2011年高考数学江西卷文科第17题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值;(2)若a=1,cosB+cosC=2√3/3,求边c的值.     

几个有趣的双边不等式

本文通过在不等式花园中采撷的几朵小花，从一个侧面展示多姿多彩的不等式证明的手段与方法。让大家从中领略数学的优雅和美丽。     

一道2000年IMO试题的背景

第41届(2000年)国际数学奥林匹克试题第2题为[1]:设a、b、c是正实数,且满足abc=1,证明:(a-1 1b)(b-1 1c)(c-1 1a)≤1.(1)我们认为,该题是以1983年瑞士数学奥林匹克试题第2题为背景编制的:设x、y、z是正实数,证明:xyz≥(y z-x)(z x-y)(x y-z).(2)事实上,(2)式可变形为(yx-1 zx)(     

一道三角函数题的简证

《数学通报》2 0 0 4年 1 1月号问题 1 52 5为 :△ ABC中 ,求证 :sin( A - 30°) + sin( B - 30°) + sin( C- 30°)≤ 32 .该刊 2 0 0 4年第 1 2期 P4 3上登载的证明中用到了四个三角恒等式 ,较繁琐 .这里 ,我们给出一个简单的证法 .证明　不妨设三内角 A、B、C中 C最小 ,则 0°0 ,于是sin( A - 30°) + sin( B- 30°) + sin( C- 30°)= 2 sin A + B - 6 0°2 cos A - B2 +　 sin( C - 30°) + sin30°- 12=2 sin1 2 0°- C2 cos A - B2 +2 sin C2 cos C - 6 0°2 - 12≤ 2 ( sin1 2 0°- C2 + s…     

一个有趣的不等式链

<中学数学教学参考>编辑部举办的首届中学生数学智能通讯赛中高二年级第18题为:     

一组三角不等式的简单证明

一组三角不等式的简单证明宋庆（江西永修县一中３３０３０４）王伯英先生在文［１］、［２］中利用控制不等式证得一些不同寻常的三角不等式，其中有：ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ２＋１，（１）ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ１＋２２，（２）ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉ...     

一个问题的简单解答

问题　已知 x,y∈ R ,且 x y =1 ,求1x2 8y2 的最小值 .文 [1 ]作者尝试“用 1代换”,得到1x2 8y2 =( 1x2 8y2 ) ( x y)=1x 8y yx2 8xy2 .思维受阻后 ,原作者询问道 :“在 ( 1x2 8y2 ) (　　 ) ,括号内应配上什么式子才能解出呢 ?”这里 ,笔者拟给出一个回答 ,并不需推广为一般性结论后再赋值 .解　∵　 x,y∈ R ,x y =1 ,∴　 1x2 8y2 =( 1x2 8y2 ) ( x y) 2　 =9 y2x2 8x2y2 2 yx 1 6 xy　 =9 ( y2x2 8xy 8xy) ( 8x2y2 yx yx)　≥ 9 33 8 33 82 =2 7,当且仅当 y2x2 =8xy 且 x y =1 ,即…     

几个有趣的三角不等式

本文旨在介绍笔者新近发现的几个有趣的三角不等式.定理1在△ABC中,对n≥1有cos4nA1 cos2nA 1c ocso4sn2BnB 1c ocso4snC2nC≥4n(43n 1)证明由幂平均不等式及常见的三角不等式cos2A cos2B cos2C≥43可得t=cos2nA cos2nB cos2nC≥3n1-1(cos2A cos2B cos2C)n≥43n.由柯西不等式及均值不等式可得(t 3)(1 cocso4sn2AnA 1c ocso4sn2BnB 1 cocso4sn2CnC)=((1 cos2nA)2 (1 cos2nB)2 (1 cos2nC)2)·[(cos2nA1 cos2nA)2 (cos2nB1 cos2nB)2 (1c osc2onsC2nC))2]≥(cos2nA cos2nB cos2nC)2=t2,即1c ocso4sn2AnA 1 cocso4sn2BnB 1c ocso…