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It was proved by Giambruno-Sehgal and Chang that the double Capelli polynomial of total degree is a polynomial identity for . (Here, is a field and is the algebra of matrices over .) Using a strengthened version of this result obtained by Domokos, we show that the double Capelli polynomial of total degree is a polynomial identity for any proper -subalgebra of . Subsequently, we present a similar result for nonsplit inequivalent extensions of full matrix algebras.
The importance of such algebras is readily proved: is a minimal superalgebra if and only if the ideal of identities of is a product of verbally prime T-ideals. Also, such superalgebras allow us to classify all minimal varieties of a given exponent i.e., varieties such that and for all proper subvarieties of . This proves in the positive a conjecture of Drensky (1988). As a corollary we obtain that there is only a finite number of minimal varieties for any given exponent. A classification of minimal varieties of finite basic rank was proved by the authors (2003).
As an application we give an effective way for computing the exponent of a T-ideal given by generators and we discuss the problem of what functions can appear as growth functions of varieties of algebras.