一道课本例题的多种证法

高中《代数》(必修 )下册Ｐ 2 7例 4 ,题目是 :已知|ａ|<1,|ｂ|<1.求证 ａ ｂ1 ａｂ <1.教材中是用分析法证明的 ,也被许多资料引用为分析法的典型范例 .但若从不同的角度去思考 ,可以得到多种不同的证法 .证法 1　由 |ａ|<1,|ｂ|<1得 1±ａ >0 ,1±ｂ>0 ,则 ａ ｂ1 ａｂ =( 1 ａ) ( 1 ｂ) - ( 1-ａ) ( 1-ｂ)( 1 ａ) ( 1 ｂ) ( 1-ａ) ( 1-ｂ)=|( 1 ａ) ( 1 ｂ) - ( 1-ａ) ( 1-ｂ) |( 1 ａ) ( 1 ｂ) ( 1-ａ) ( 1-ｂ)<( 1 ａ) ( 1 ｂ) ( 1-ａ) ( 1-ｂ)( 1 ａ) ( 1 ｂ) ( 1-ａ) ( 1-ｂ)=1,即 ａ ｂ1 ａｂ <1.评注 :这里利用了绝对值不等…     

矩阵方程LX=M与LXK=M的实部有定解

本文利用矩阵的ＭＰ逆与奇异值分解作为工具,给出了矩方程ＬＸ＝Ｍ与ＬＸＫ＝Ｋ存在实部有定解的充要条件以及这种解的一般形式。     

一般限制线性方程组的迭代解法

本文研究带限制条件的线性方程组Ａｘ＝ｂ，Ｘ∈Ｔ的选代解法，这里Ａ∈Ｃｍ×ｎ，ｂ∈Ｃｍ，Ｔ是Ｃｎ的子空间．我们构造了迭代格式ｘｏ＝０，ｒｋ＝ｂ—Ａｘｋ，ｘｋ＋１＝ｘｋ＋βＹｒｋ，ｋ＝０，１，…其中β是非零实参数，Ｙ是参矩阵；在方程组有解时，给出了参数β与参阵Ｙ的选取方法，以保证选代序列｛ｘｋ｝收敛到它的一个解．     

矩阵的扰动与广义逆

本文采用文[1]中的术语与记号,个别不同之处则另作说明.文[2]研究了将一奇异方阵扰动到一非奇异方阵的方法,并且给出了用此扰动方法计算方阵的 Moore-Penrose 逆的若干结果.本文研究了将一奇异方阵扰动到非奇异方阵的一般理论,刻划了为得到方阵的某种广义逆而所需的扰动的特征性质;并将这些理论与性质搬到一般的长方矩阵上去,给出了将任意矩阵扰动到非奇异阵的某些一般性结果;最后给出了我们结果的几个应用.     

计算常用广义逆的一类统一的迭代法

本文给出了计算广义逆的一阶与ｐ阶（ｐ≥２）迭代法。由于常用的重要广义逆，例如Ａ＋，，Ａ（ｄ），Ａ＃，Ａｄ，ｗ，，等等，都是　型的广义逆，所以，我们实际上给出了计算这些重要广义逆的一类统一的迭代法。此外，我们还研究了计算的迭代法中初始逼近的一般取法，以及计算上述各个广义逆的迭代法中初始逼近的实际取法。     

关于矩阵(ABC0)的g-逆中子块的独立性

Hall,Hall与Meyer以及Campbell与Meyer等研究了在线性统计估计与等式约束二次规划问题中很有用的“基本加边阵”F=((?)*(?))的广义逆,其中A为非负定阵.Hall首先指出了F的g-逆中各子块是互相独立的.Mitra扩充了Hall的结果,证明了了:若矩阵     

约束线性方程组的解的有限逼近序列

该文中作者构造了一类有限的序列｛ｘ_ｊ｝用来逼近约束线性方程组 ＡＸ＝ｂ,Ｘ∈Ｔ的某个解,这里Ａ∈Ｒ~（ｍ×ｎ）,ｂ∈Ｒ~ｍ,Ｔ是Ｒ~ｎ的子空间．     

加权投影算子与加权广义逆矩阵

本文采用的术语与记号按照文献[1],如有不同于它的记号出现,则另作说明。设C~m,C~n中分别定义了加权内积(准内积):(x,y)_m=xMy,(x,y)_n=xNy,其中M,N分别是m,n阶(Hermite)正定阵(正半定阵)。 设A∈C~(m×n),则可如下定义C~m到子空间R(A)内的投影算子P_(R(A):M:     

关于方幂和的一个性质及其初等证法

关于方幂和的一个性质及其初等证法陈永林，储慧，张文军（南京师范大学数学系２１００９７）近十多年来，发表了许多关于讨论方幂和Ｓｐ（ｎ）的性质及算法的论文，例如［１—７］．实际上，可以得到Ｓｐ（ｎ）的一个较好的性质，它提供了只需确定较少未知系数的待定系数...     

约束线性方程组通解的显式表示及Cramer法则

本文研究了一般的约束线性方程组Ax=b,x∈T, (1.1)其中A∈C~(m×n),b∈R(A),T为C~n中任意取定的子空间。给出了(1.1)有唯一解的充要条件;在有唯一解时,利用B-D逆(A~*A)_((T))~((-1))给出了唯一解的显式及cramer法则;在有解但解不唯一时,利用B-D逆(A~*A)_((?))~((-1))(这里(?)=R(R_TA~*))给出了(1.1)的通解的显式及Cramer法则。其结果改进并推广了文[2,3,4,5,6]中的有关结果。 另外,本文研究了A的T-约束M-P逆(AP_T)~+与A~*A的B-D逆(A~*A)_((?))~((-1))的关系,证明了下列事实:(AP_T)~+=(A~*A)_((?))~((-1))A~*,特别,当T∩N(A)={0}时,(AP_T)~+=(A~*A)_((?))~((-1))A~*。