数学归纳法——兼与史宁中先生商榷

欧氏几何有个平行线公理:过线外一点有且仅有一条直线与它平行.历史上有许多学者宣称得到了它的证明,结果不是发生推理错误,就是用到了一个与它等价的命题.用了二千多年,人们才知道它是不可能证明的.它是建立欧氏几何不可缺少的一个基本假定.因此有时也称为公设.     

走进中考解析"数与式"新题

"数与式"是初中数学的核心内容之一,不仅在中考试卷中占有相当比重,更重要的是它融合在诸多的知识之中与更多的新颖题型中.笔者就近年来频频出现"数与式"中新颖考题进行解析如下,以供读者参考.     

一个等比数列计数问题的再探究

问题：从1到100的自然数中任取3个数构成递增的等比数列,则不同的等比数列共有多少种？文1给出了这个问题的一个解决方法,但这个方法在计算重复数列时,利用的是一种不完全归纳法,难以信服。下面笔者介绍一下另外一种方法。     

一个有趣猜想的证明

文[1 ] 提出了下述猜想 :若自然数n使 4n+ 1为质数 ,则有且只有n个不超过 2n的不同的自然数 :k1 ,k2 … ,kn(k′1 ,k′2 ,… ,k′n为相应的不超过 2n的剩余的n个不同的自然数 ) ,使∑ni=1cos2ki- 14n + 1 π=1 + 4n+ 14,∑ni=1cos2k′i- 14n+ 1 π =1 - 4n + 14.本文给出上述猜想的证明并且指出序列k1 ,k2 ,… ,kn 的特性 .记A={x∶x是模p的二次剩余 },B ={x∶x是模p的二次非剩余 }.引理 1　 ( [2 ])设奇素数p≡ 1 (mod4) ,则( 1 ) 1 ,2 ,… ,p- 1中有且只有p - 14个偶数为模p的二次剩余 ,p - 14个奇数为模p的二次剩余 ;( 2 ) 1 ,2 ,… ,p-…     

加强命题在证明不等式中的运用

数学归纳法是证明与自然数n有关的不等式的一种常见的方法，但在实际解题中有时候直接运用数学归纳法证明该命题不太容易，或者按常规思路去运用递推假设也不容易达到目的，这时可以考虑把该命题适当加强，使加强后的命题更具活力，更有利于运用数学归纳法去证明．加强命题的方式有两种：一是把原命题的结论加强，二是把命题一般化．     

调色板与"莱福德数列"

一天，苏格兰数学家莱福德看他的儿子在玩颜色板，他儿子从玩具盒中把红的、兰的、黄的颜色各抽出两块来，相互调来调去，排成一行，莱福德看到六块板的顺序是：黄红兰红黄兰，这种排列具有下面的特点：     

Copositive approximation by rational functions with prescribed numerator degree

The paper proves that, if f（x） ∈ L^p[-1,1],1≤p〈∞ ,changes sign I times in （-1, 1）,then there exists a real rational function r（x） ∈ Rn^（2μ-1）l which is eopositive with f（x）, such that the following Jackson type estimate ｜｜f-r｜｜p≤Cδl^2μωφ（f,1/n）p holds, where μ is a natural number ≥3/2＋1/p, and Cδ is a positive constant depending only on δ.     

直接计算自然数的方幂和的一种方法

计算前n个自然数的方幂和的方法,在国内书刊上已有介绍(例如,上海教育出版社的《初等数学论丛》第7辑上就有《计算自然数的方幂和的一种方法》一文).这些文章所介绍的方法,大多采用“递推”方式给出的,即是,欲求前n个自然数的m次方幂和,得先算出前n个自然数的1次方幂和,2次方幂和……,m—1次方幂和,在此基础上,再用所述方法计算m次     

有理数乘群的两类子群及其相互关系

事对任意的索数P及自然数N,构造出有理数乘群G=@)的两类子群GP和q-o-G关于它们的商群分别为盈和墨,它们之间有许多很好的关系,特别是其中的同构关系．这些对我们进一步认识有理数域及近世代数的入门教学有一定的参考价值．