基本圈与图的曲面嵌入

本文研究图的基本圈与图在可定向曲面上的嵌入之间的关系．本文结果表明：一个图G可以嵌入到亏格至少为g的可定向曲面上的充分必要条件是：对于G中任意一个支撑树T,存在一个基本圈序列C1,C2,…,Q2g,使得对于每一个i：1≤i≤g,C2i-1∩C2i≠0．特别地,在T的β（G）个基本圈中有基本圈序列C1,C2…,Q2γM（G）,使得Qt-1∩C2t≠0对于每一个i：1≤i≤γM（G）成立．这里β（G）和γM（G）分别是G的Betti数和最大可定向亏格．这个结果的意义在于：我们可以从任意一个支撑树（可以具有任意奇连通分支数）出发去构造图在可定向曲面上的嵌入．这在本质上有别于Xuong与Liu在最大亏格方面的工作（即,从具有最小奇连通分支数的支撑树出发构造图嵌入）．事实上,这个结果在本质上同时推广了Xuong-Liu与Fu等在最大亏格方面的工作．作为这一结果的直接应用,本文得到以下结果：（1）提出了用于计算图的最大亏格的新条件,它尤其适用于计算具有特定边割（edge—cut）图的最大亏格．并得到一些新的与已知的著名结果（包括Huang在曲面嵌入图方面的工作）．（2）最大亏格问题可以归结为在基本相交图中求最大对集问题．结合Micali-Vazirani的一个有效算法,我们设计出了一个用于计算图的最大亏格的多项式算法,它的复杂度是O（（β（G））^5/2）,这一算法与Furst等人的算法相比更加直接、便于计算．     

4类图完美匹配的计数

用划分,求和,再嵌套递推的方法给出了4类图完美匹配数目的显式表达式,利用所给出的方法可以计算出相同结构重复出现的许多图的所有完美匹配的数目.     

Klein瓶上的双奇异地图

一个地图的每条边如果不是环就是割边(即该边的两边是同一个面的边界)，则称之为双奇异地图，本文研究Klein瓶上带根双奇异地图的计数问题，得到了此类地图以边数、平面环数、手柄上本质环数和又帽上本质环数为参数的计数公式，并得到了部分计数显式。     

COUNTING FAIR NEAR-TRIANGULATIONS ON THE DISC

1IntroductionAp1anarmaPisrootedifauedgeandadirectionalongonesideofitaredistinguished;atriangulationissucharootedplanarmapwhosefaCesareall3-gons;anear-triangulationonthe8phereordiscisarootednonseparableplanarmapsuchthatallofitsfacesexceptpossiblytheroot-faCehavevalencythree.TheenumerationoftriangulationswasfitStintroducedbyTUtteinthebeginningofsixtiesIv9].Infact,thetopicsheworkedweremuchconcentratedonplanartriangularmapsforthesakeofattackingFourColorProblem.Manyelegantresultsrelatedtononsep…     

CYCLE SPACES OF GRAPHS ON THE SPHERE AND THE PROJECTIVE PLANE

Cycle base theory of a graph has been well studied in abstract mathematical field such matroid theory as Whitney and Tutte did and found many applications in pratical uses such as electric circuit theory and structure analysis, etc. In this paper graph embedding theory is used to investigate cycle base structures of a 2-(edge)-connected graph on the sphere and the projective plane and it is shown that short cycles do generate the cycle spaces in the case of ““““small face-embeddings““““. As applications the authors find the exact formulae for the minimum lengthes of cycle bases of some types of graphs and present several known results. Infinite examples shows that the conditions in their main results are best possible and there are many 3-connected planar graphs whose minimum cycle bases can not be determined by the planar formulae but may be located by re-embedding them into the projective plane.     

关于无爪Hamilton图的一个泛圈性结果

一个图Ｇ是泛圈的，如果它含有长为３，４，…，ｎ（＝｜Ｖ（Ｇ）｜）的圈．本文探讨了一类无爪Ｈａｍｉｌｔｏｎ图的圈结构，主要结果为：设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是ｎ阶无爪Ｈａｍｉｌｔｏｎ图．如果Ｇ中有节点ｘ使ｄ（ｘ）≧ｎ／２且Ｎ（ｘ）连通，则除少数几个例外，Ｇ是泛圈的．     

图的指数多个最大亏格嵌入与完全图的亏格嵌入

本文研究一般图的最大亏格嵌入的计数问题及其应用. 结果表明: 一个连通图往往有指数级别多个最大亏格嵌入. 特别地, 一个简单的n阶3-正则图G至少具有${(\sqrt{2})}^{m+n+\frac{\,\alpha}{\,2}}$个不同的最大亏格潜入, 其中α与m分别是G的最优树T的内部节点数目和G&;#8722;T的奇连通分支数目. 值得注意的是: (不同)图的最大亏格与最小亏格之间存在着某些必然联系. 事实上, 作为以上结果的一个直接应用, 证明了如下结果: 对于充分大的形如12s+4, 12s+7, 12s+10的自然数n, 完全图K_n至少具有$C2^{\frac{\,n}{\,4}}$个不同的最小亏格嵌入, C是一个与n关于模12剩余类有关的常数. 这些结果从本质上改进了V. P. Korzhik与H.-J. Voss所得到的结果, 并且所用的方法更加直接而简洁.     

环面上有根欧拉地图的计数

本文探讨了环面上有限欧拉迹的计算并且提供了一个解析表达式．在此基础上，我们给出了环面上有根欧地图的计算公式．     

图的1-因子数目的递推求法

首先对图的1-因子进行分类,求出每一类1-因子数目的递推关系式;然后对各类1-因子数目的递推式进行求和,得到一组有相互联系的递推关系式;利用递推式之间的相互关系,消去不需要的,得到图的1-因子数目的递推关系式;最后求出此递推式的公式解。     

关于Faudree－Schelp定理的改进

一个图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是［ｌ，ｍ］－路连通的，如果在Ｇ的任意一对节点ｘ与ｙ之间有长为ｋ－１的路Ｐｋ（ｘ，ｘ），ｋ＝ｌ，ｌ＋１，…，ｍ．Ｇ具有性质Ｐ（ｋ），如果对Ｇ的任何一对距离为２的节点ｘ和ｙ，有ｄ（ｘ）＋ｄ（ｙ）≥ｋ．本文作者探讨了一类Ｐ（ｋ）图的路连通性，改进了Ｆａｕｄｒｅｅ－Ｓｃｈｅｌｐ定理，得到了以下的定理１设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是ｎ阶Ｐ（ｎ—１）图．如果Ｇ是［ｎ－１，ｎ］－路连通的，则Ｇ是［８，ｎ］－路连通图（ｎ≥８）．定理２设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是ｎ阶３－连通Ｐ（ｎ）图（ｎ≥５）．如果Ｇ的独立数α（Ｇ）＜ｎ／２，则Ｇ是［５，ｎ］－路连通图．