一道联赛试题的解法探讨

<正>题目如图1,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.这是2012年全国初中数学联合竞赛第二试(B)第二题,是一道内涵丰富、不落俗套、颇具启发性的好题,本文就此题的解法作以下探讨.1.试题原证回放如图2,连接OA、OB、OC.因为AD⊥OP,OA⊥AP,     

三角形等角线的一个新性质

本文将给出三角形等角线的一个新性质 :定理　设 AD、AE是△ ABC的等角线(∠ BAD =∠ CAE,如图 1 ) ,且△ ABD、△ ACE的内切圆分别与BC相切于点 M和 N,则1MB 1MD=1NC 1NE.图 1证明　如图 1 ,由切线长公式得MB =12 ( AB BD - AD) ,MD =12 ( AD BD - AB) ,NC =12 ( AC CE - AE) ,NE =12 ( AE CE - AC) .所以 ,有BD .NC .NE= BD4( AC CE - AE) ( AE CE - AC)= BD4( CE2 - AC2 - AE2 2 AC .AE)= 14[BD( CE2 - AC2 - AE2 ) 2 BD.AC.AE],1CE .MB .MD= CE4( AB BD - AD) (…     

三角形等角共轭点的一个有趣性质

本文将给出三角形等角共轭点的一个新性质,即命题　设P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),则有AP.AQAB.AC BP.BQBA.BC CP.CQCA.CB=1.证明　如图1,设D是射线AQ上的点,且使得满足∠ACD=∠APB.因为∠APB>∠ACB,则点D必在△ABC的外部.又因∠PAB=∠CAD,∴　△ABP∽△ADC.图1故　　　ABAD=APAC=BPCD.1又　∠QAB=∠PAC,ABAD=APAC,可知　△ABD∽△APC,于是　　　　ABAP=ADAC=BDCP.2又因为∠CDA=∠PBA=∠QBC,所以可知有B、Q、C、D四点共圆.由托勒密(Ptolemy)定理…     

一道自主招生试题的别解

题目已知锐角△ABC,BE垂直AC于E,CD垂直AB于D,BC=25,CE=7,BD=15.若BE、CD交于点H,连接DE,以DE为直径画圆,该圆与AC交于另一点F,求AF的长度.此题是2012年华约自主招生数学试题第3题,所给出的参考答案如下:     

陈省身杯一试题的别解

<正>题目如图1,已知锐角△ABC的外接圆为⊙O,AD为⊙O的直径,过点B、C且垂直于BC的直线与CA、BA的延长线分别交于点E、F.证明:∠ADF=∠BED.此题是第四届(2013)陈省身杯全国高中数学奥林匹克第5题,文[1]中提供了组委会给出的参考答案,利用的是位似变换法,笔者经探究再给出有别于组委会所提供的参考答案的两种新证法,供参考赏析.     

一赛题的另解

题目在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=60°,若D和E分别是边AC和AB上的点,且使∠CBD=40°,∠BCE=70°,F是BD和CE的交点,连结AF,求证：AF⊥BC．     

平行六边形的又一性质

三组对边两两平行的凸六边形叫做平行六边形.本文给出平行六边形的又一新性质.     

三角形垂心的一个性质

定理 若给定锐角△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BDF、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.     

平行六边形的一个新性质

三组对边两两平行的凸六边形叫做平行六边形.本文给出平行六边形的一个新性质.     

外周界中点三角形的一组优美性质

文[1]建立了三角形的外周界中点及外周界中点三角形的概念: 若将三角形的一条边延长,使其延长部分等于另两边之和,那么就称这条边与其延长部分构成的线段的中点为三角形的外周界中点.并以逆时针绕行方向延长三角形各边所得的外周界中点为顶点构成的三角形称为正向外周界中点三角形,简称外周界中点三角形.