一致最可靠完全多部图

对于一个连通图G,假设边是可靠的而点以P的概率相互独立地发生故障.图G不连通的概率是一个多项式P(G,p).记作Ω(n,m)是有n个点,m条边的连通图的集合.如果对于任意的网H ∈Ω(n,m)和任意实数p ∈[0,1],P(G,p)≤P(H,p)成立,则称G是Ω(n,m)中的一致最可靠图.本文证明了完全k部图K(b,(b+1)k-3,(b+2)2)是它所在的类中的一致最可靠图.另外,还证明了对任意的h≥2,K(bh,(b+1)k-h-1,(b+2)1)不是其所属类中的一致最可靠图.     

Y(4,λ)形图簇的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设Pn和Cn是具有n个顶点的路和圈,Sn是n个顶点的的星图,nG表示n个图G的不相交并。EG(r+1)p+r表示把星Sr+1的r个1度点分别与rG的每个分支的第i个顶点重迭,同时把Sr+1的r度点与另一个G的第i个顶点重迭后得到的图,可简记为EGδ,δ=(r+1)(p+r);设m是自然数,图PEG(2 m+1)+(m+1)δ是表示把(m+1)EGδ的每个分支的r+di度顶点分别与P2 m+1的下标为奇数的m+1个顶点重迭后得到的图,记λ=(2 m+1)+(m+1)δ,图Y(4,λ)表示把PEG(2 m+1)+(m+1)δ的两个r+di+1度点与2P3的两个2度点重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇Y(4,λ)∪K1(m为奇数)和Y(4,λ)∪EGδ(m为偶数)的伴随多项式的因式分解式,令m=2k-1 q-1,λk=(2kq-1)+2k-1 qδ,讨论了图簇Y(4,λk)∪(k-1)K1和Y(4,λk)的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。 更多还原     

Ramsey定理的一种推广

Ramsey定理指出:对于任何一个正整数k,存在一个最小的正整数r(k,k),使得对任意一个至少有r(k,k)个顶点的图G,它或者有k个顶点的完全子图Kk,或者有k个顶点是独立集.由此定理易得:设G是顶点数n>r(k,k)的简单图,其边数e>0,且G的所有k阶导出子图的边数相等,那么G是完全图.并给出上述结论的推广:设G是n(n≥4)阶简单图,其边数e>0,对某个给定的自然数k(2≤k≤n-2),若G的所有k阶导出子图的边数相等,则G是完全图.     

图簇GS*(i)j1j2…jt(p,tkm)的伴随多项式的因式分解及色性分析

令S1,k表示k+1个顶点的星,Pm表示m个顶点的路,G是任意的p阶连通图.设V(Pm)={V1,V2,…,Vm-1,Vm}及相应的度序列为(1,2,…,2,1).SP(i)km+1表示把kPm的每个分支的第i个顶点Vi分别与星S1,k的k个1度点重迭后得到的图,用GS*(i)j1j2…jt(p,tkm)表示把tSP(i)km+1的每个分支的k度点分别与图G的顶点uj1,uj2,…,ujt(t≤p)重迭后得到的图,这里p≥1,k≥2,m≥3,1≤i≤m,t≥1.我们通过讨论图簇SP(i)km+1∪(k-1)K1、SP(i)2rm+1,SP(i)(2r-1)m+1以及GS*(i)j1j2…jt(p,2rmt),GS*(i)j1j2…jt(p,(2r-1)mt)的伴随多项式的因式分解,证明了它们的补图的色等价图的结构定理.推广了张秉儒证明的文[8]中的定理2和定理4.     

关于图的边着色的一个猜想

若G是简单图,v(G)是偶数,χ'(G)=?(G)+1,则存在点v∈V(G),使χ'(G-v)=χ'(G)=?(G)+1.本文对此进行了研究,当图G满足以下条件之一时:(1)设G是含有割边的连通图,χ'(G)=?(G)+1;(2)设G是连通图,κ'(G)=2,G中最多除两个2度顶点外,其它顶点的度数均为k(k2),v(G)=2n+2,χ'(G)=?(G)+1;(3)设图G是k正则图,v(G)=2n+2,χ'(G)=?(G)+1;(4)设图G是有2n+2个顶点的连通图,且除点v的度小于k外,其它顶点的度都等于k,χ'(G)=?(G)+1;(5)设图G是有2n+2个顶点的连通图,且除点u,v,d(v)d(u)k外,其它顶点的度都等于k,χ'(G)=?(G)+1;此猜想也是成立的.     

两类E~G形图簇的补图的色等价性定理

设G是任意的p阶连通图,用ΨG(i)(k,p)表示把图G的第i个顶点vi与星图Sk+1的k度点重迭后得到的图(1≤i≤p),给出了图ΨG(i)(k,p)与星图Sn+1组合而成的两类EG形图簇,并通过研究这些图簇的伴随多项式的因式分解,进而证明了它们的补图的色等价性定理。     

Y2,2,λ*形树的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设Pn和Cn是具有n个顶点的路和圈,nG表示n个图G的不相交并。令S*r（m+1）+1表示rPm+2的每个分支的一个1度点重迭后得到的图,■表示把Pm的一个1度点与S*r（m+1）+1的r度点重迭后得到的图,可简记为■,δ=（r+1）m+r;设n（≥3）是奇数,λ=n+2-1（n+1）δ,图■表示把■的每个分支的r+1度顶点分别与Pn的下标为奇数的2-1（n+1）个顶点重迭后得到的图,Y*（2,2,2λ+1）表示把■的两个r+2度点分别与2P3的两个2度点重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇■和■的伴随多项式的因式分解式,令n=2k-1q-1,λk=（2kq-1）+2k-1qδ,讨论了图簇Y*（2,2,λk）∪K1和Y*（2,2,λk）∪（k-1）K1的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。     

P_λ~(SG)形图的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设P_n和C_n是具有n个顶点的路和圈,S_n是n个顶点的的星图,nG表示n个图G的不相交并。S_(rp+1)~G表示把星S_(r+1)的r个1度点分别与rG的每个分支的第i个顶点重迭后得到的图,可简记为S_(δ+1)~G,δ=rp;设m是自然数,图P_((2 m+1)+(m+1)δ)~SG是表示把(m+1)S_(δ+1)~G的每个分支的r度顶点分别与P_(2m+1)的下标为奇数的m+1个顶点重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇PP_((2 m+1)+(m+1)δ)~SG∪K1(m为奇数)和P_((2 m+1)+(m+1)δ)~SG∪S_(δ+1)~G(m为偶数)的伴随多项式的因式分解式,令m=2~(k-1) q-1,λ_k=(2~kq-1)+2~(k-1)qδ,讨论了图簇P_λk~(SG)∪(k-1)K_1和P_λk~(SG)的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。     

Cartesian积与邻点可区别着色之间的关系（英文）

图G的一个正常k-边着色是指k种颜色1,2,…,k对图G各边的一个分配,使得任意2条相邻边染以不同的颜色.对于图G的一个正常边染色f和G中任何一个顶点x,Sf(x)或S(x)表示与顶点x关联的边在f下的颜色所构成的集合.若对于图G中任意2个相邻顶点u和v,有S(u)≠S(v),则称f为图G的邻点可区别正常边染色.对图G进行邻点可区别正常边染色所需的最少颜色数,称为G的邻点可区别正常边色数,记为χ′a(G).图G的一个正常k-全染色是指k种颜色对图G的顶点和边的一个分配,使得任意2个相邻的或相关联元素染以不同的颜色.对于图G的一个正常全染色g和G中任何一个顶点x,使用Cg(x)或C(x)来表示顶点x的颜色(在g下)以及与顶点x关联的边在g下的颜色所构成的集合.若对于G中任意2个相邻顶点u和v,有C(u)≠C(v),则称g为图G的邻点可区别全染色.图G的邻点可区别全染色所需的最少颜色数称为图G的邻点可区别正常全色数,记为χ″a(G).主要讨论了Cartesian积和2种邻点可区别染色之间的关系.     

冠图G1. Km1,m2的邻接谱

给定简单图G1和G2,G1的顶点标记为v1,v2………,vn1.图G1和G2的冠图G1.G2被定义为取n1个G2的拷贝,然后连接vi与相应的G2的第i个拷贝中的每一个点(i=1,2………,n1)所得到的图.在文献[2]中,对连通图G1和任一正则图G2,S.Barik,S.Pati和B.K.Sarma给出了G1.G2的邻接谱的完整的表达式.继文献[2]的工作进一步考虑当G2是非正则图时冠图G1.G2的邻接谱.本文完全确定了冠图G1.Km1,m2的邻接谱,其中Km1,m2是完全二部图.     

若干图的伴随分解及色等价性

设Pm和Cm分别表示具有m个顶点的路和圈,G是任意的r阶连通图,设m是正奇数,把路Pm的标号为奇数的2-1(m+1)个顶点分别与2-1(m+1)G每个分支的第i个顶点Vi重迭后所得到的图记为ρG(i)m+2-1(m+1)r。运用图的伴随多项式的性质,首先给出了一类图簇ρG(i)(2 m+2)+((m+1)r的伴随多项式。进而令m=2t-1 q-1,λn=(2nq-1)+2n-1 qr,在讨论上述图的伴随多项式的基础上,我们证明了图ρG(i)λt和ρG(i)λt∪(t-1)K1的伴随多项式的因式分解定理,进而证明了这些图类的补图的色等价性。     

P■形图的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设P_n和C_n是具有n个顶点的路和圈,nG表示n个图G的不相交并。令S~*_(r(m+1)+1)表示rP_(m+2)的每个分支的一个1度点重迭后得到的图,E■表示把P_m的一个1度点与S~*_(r(m+1)+1)的r度点重迭后得到的图,可简记为E■,δ=(r+1)m+r;设n(≥3)是奇数,λ=n+2~(-1)(n+1)δ,图P■表示把2~(-1)(n+1)E■的每个分支的r+1度顶点分别与P_n的下标为奇数的2~(-1)(n+1)个顶点重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇E■∪rK_1、P■∪K_1和P■∪E■的伴随多项式的因式分解式,令n=2~(k-1)q-1,λ_k=(2~kq-1)+2~(k-1)qδ,讨论了图簇P■和P■∪(k-1)K_1的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。     

阶较小时具有最大棱数的极小k棱连通图

设 G 是极小 k 棱连通图,|G|=n.Mader 已证明,当 k≥2,n≥3k 时,e(G)≤k(n-k),且 e(G)=k(n-k)的充要条件为 G=K~(k,(n-k)).当 k≥2,k+2≤n<3k时,我们得到 e(G)≤(n+k)~2/8,并给出 e(G)=(n+k)~2/8时图的结构.就其作用来说,本文所获得的结果与蔡茂诚关于极小 k 连通图的结果相似.     

一类w_(λδ)~S形图簇的伴随分解定理及其补图的色等价性

设Pn是具有n个顶点的路,Sδ表示有δ=r+1个顶点的星图,把Pn的n个顶点与nSδ的每一个分支的r度顶点依次重迭后得到的图记为PSnδ,用wS(kn+1)δ表示kPSnδ的每个分支的两个r+1度点与星图S2k+r+1的2k个1度点依次重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了当n=2tq-1≥2时,两类图簇wS(kn+1)δ∪(2k-1)Sδ的伴随多项式的因式分解定理,进而证明了它们的补图的色等价性。     

基回数为2的自中心图

Buckley 指出找寻自中心图的特征是一个困难的任务.作为这一工作的开始,找出一些自中心图类看来非常必要.文[1]定理3中证明当 k=■或 n≤k≤[(1/2)n(n-1)]时,n 个顶点 k 条边的自中心图存在.本文建议以基回数为出发点构造自中心图,并确定了基回数为2,即 k-n=1的全部自中心图.本文还纠正了[1]中的一个疏忽.设 G=(V,E)是简单图,u,v∈V(G),d(u,v)为 u,v,两点的距离.定义1 图 G 的半径 r(G)=(_{(v,w)}定义2 图 G 中顶点“的最远距离     

[2,3]-可选的完全二部图的刻划

目前，所有2-可选的图在[2]中已给出，但对3-可选的图，即使是对3-可选的二部图的分类仍未完成．在[3]和[4]中有一些相关结果．事实上，这是-项困难的工作．因此，在本文中．我们考虑了条件较弱-类图的分类问题，即对所有[2，3]-可选的完全二部图进行了分类．我们证明了K3.7，K8.2、K1.n,K2.n和Km,n(m n≤9且当n=4时m≠5)是所有的[2，3]-可选的完全二部图，它对进一步刻划3-可选的完全二部图有一定帮助。     

Cartesian积与邻点可区别着色之间的关系

图G的一个正常k-边着色是指k种颜色1,2,…,k对图G各边的一个分配,使得任意2条相邻边染以不同的颜色.对于图G的一个正常边染色f和G中任何一个顶点x,S_f（x）或S（x）表示与顶点x关联的边在f下的颜色所构成的集合.若对于图G中任意2个相邻顶点u和v,有S（u）≠S（v）,则称f为图G的邻点可区别正常边染色.对图G进行邻点可区别正常边染色所需的最少颜色数,称为G的邻点可区别正常边色数,记为χ'_a（G）.图G的一个正常k-全染色是指k种颜色对图G的顶点和边的一个分配,使得任意2个相邻的或相关联元素染以不同的颜色.对于图G的一个正常全染色g和G中任何一个顶点 x,使用C_g（x）或C（x）来表示顶点x的颜色（在g下）以及与顶点x关联的边在g下的颜色所构成的集合.若对于G中任意2个相邻顶点u和v,有C（u）≠C（v）,则称g为图G的邻点可区别全染色.图G的邻点可区别全染色所需的最少颜色数称为图G的邻点可区别正常全色数,记为χ″_a（G）.主要讨论了Cartesian积和2种邻点可区别染色之间的关系.     

一类VSλδ形图簇的伴随分解定理及其补图的色等价性

设Pn是具有n个顶点的路,Sδ表示有δ=r+1个顶点的星图,把Pn的n个顶点与nSδ的每一个分支的r度顶点依次重迭后得到的图记为PSλδ,并用VS(kn+1)δ表示kPSnδ的每个分支的一个r+1度点与星图Sr+k+1的k个1度点依次重迭后得到的图.运用图的伴随多项式的性质,讨论图簇VS(kn+1)δ∪(k-1)Sδ的伴随多项式的因式分解定理,进而证明了它们的补图的色等价性.     

图簇Gj1j2…jt^S^＊（i）（p,tkm）的伴随多项式的因式分解及色性分析

令S1，k表示k＋1个顶点的星，Pm表示m个顶点的路，G是任意的p阶连通图，设V（Pm）={V1，V2，…，Vm-1，Vm}及相应的度序列为（1，2，…，2，1）。S2km＋1^p（i）表示把kPm的每个分支的第i个顶点Vi分别与星S1,k的k个1度点重迭后得到的图，用Gj1j2…ji^S^＊（i）（p，tkm）表示把tSkm＋1^P（i）的每个分支的k度点分别与图G的顶点uj1，uj2，ujt，ujl（t≤p）重迭后得到的图，这里p≥1，k≥2，m≥3，1≤i≤m，t≥1．我们通过讨论图簇Skm＋1^p（i）,U（k-1）K1、S2rm＋1^P（i），S（2r-1）m＋1^P（i）以及Gj1j2…jt^S＊（i）（p，2rmt），Gj1j2……jt^S＊（i）（2r-1）mt）的伴随多项式的因式分解，证明了它们的补图的色等价图的结构定理，推广了张秉儒证明的文[8]中的定理2和定理4。     

偶匹配可扩图的度和连通度条件(英文)

称图G是偶匹配可扩的,是指G的每一个导出二部偶子图的任意完美匹配都可以扩充为G的一个完美匹配.记δk(G)为一个k元独立集的最小度和,κ(G)为图G的连通度.在本文章中,给出了2n个顶点的图G满足κ(G)≥2(n/2)+1,和δ3(G) ≥ 3(3n/2)-2.那么G是偶匹配可扩的.并给出例子说明两个条件都是紧的.