基于单位分解法的无网格数值流形方法

在数值流形方法和单位分解法的基础上，提出了无网格数值流形方法. 无网格数值流形 方法在分析时采用了双重覆盖系统，即数学覆盖和物理覆盖. 数学覆盖提供的节点形成求解 域的有限覆盖和单位分解函数；而物理覆盖描述问题的几何区域及其域内不连续性. 与原有 的数值流形方法相比，无网格数值流形方法的数学覆盖形状更加灵活，可以用一系列节点的 影响域来建立数学覆盖和单位分解函数，具有无网格方法的特性，从而摆脱了传统的数值流 形方法中网格所带来的困难. 与无网格方法相比，由于采用了有限覆盖技术，试函数的构造 不受域内不连续的影响，克服了原有的无网格方法在处理不连续问题时所遇到的困难. 详细推导了无网格数值流形方法的试函数和求解方程，最后给出了算例，验证了该方法的正 确性.     

数值流形方法及其在岩石力学中的应用

数值流形方法是目前岩石力学分析的主要方法之一.该方法起源于不连续变形分析,主要用于统一求解连续和非连续问题,其核心技术是在分析时采用了双重网格:数学网格提供的节点形成求解域的有限覆盖和权函数;而物理网格为求解的积分域.数学网格被用来建立数学覆盖,数学覆盖与物理网格的交集定义为物理覆盖,由物理覆盖的交集形成流形单元.流形方法的优点在于它使用了独立的数学和物理网格,具有和有限元明显不同的定义形式,且数学网格对于同一问题不同的求解精度的需求可以很方便地细化.由于该方法考虑了块体运动学,可以模拟节理岩体裂隙的开裂和闭合过程,因而在岩石力学中得到了广泛应用,近年来许多学者对该方法进行了研究.本文简要叙述了节理岩体的数值方法从连续到非连续的发展过程,详细地介绍了数值流形方法的组成和数值流形方法在岩石力学及其相关领域的研究和发展概况,最后就作者所关心的一些问题,如三维问题的数值流形方法、数值流形方法在物理非线性问题和裂纹扩展问题中的应用、相关的耦合方法等进行了探讨.     

数值流形方法研究及应用进展

基于有限覆盖技术的数值流形方法是一种新的广义的数值方法.该方法的场函数近似原理和有限元、无网格、单位分解等方法相似,但在网格划分、覆盖形式、近似函数等方面有其自身的特点和优势.对该方法近年来在理论研究和应用方面取得的重要进展进行了综述.在理论研究方面,日前已对不同形式物理覆盖流形单元的性能进行了研究,结果表明流形单元的精度较有限单元高,且提高覆盖函数的阶次能提高单元的精度;同时理论研究已由二维低阶流形方法推广到三维高阶流形方法,由线性流形方法推广到非线性流形方法,由基于能量原理的流形方法推广到基于加权余量的流形方法,非协调流形方法、无网格流形方法等也已开展了研究;此外,覆盖系统的自动生成、覆盖函数的形式以及边界条件的处理方法等流形方法相关理论的研究也取得了进展.在应用方面,开展了有关岩石破坏和裂纹扩展等非连续变形分析更深入的研究,并已逐步推广到金属塑性变形分析、多孔介质变形分析以及温度场的数值分析等多个领域.针对日前流形方法的研究和应用现状,该文展望了流形方法理论及实现方法的研究方向、及其在计算流体力学、金属成形等大变形问题、多物理场分析等领域的应用前景.     

一种建筑材料细观力学数值模拟的新方法

数值流形方法通过数学和物理双重网格,分析连续和非连续问题,已应用于模拟节理岩体裂隙的开裂与闭合问题.但对于裂纹尖端的局部化问题,数值流形方法需要像有限元那样在裂纹尖端设置细密单元.本文利用裂纹尖端解析解将数值流形方法的基函数进行扩展,推导了相应的试函数.从最小势能原理出发提出了断裂力学的数值流形方法,推导了相应的求解方程,将其应用于建筑材料细观力学数值模拟.最后给出两个数值算例,将计算结果与解析解对比,说明该方法的正确性和可行性.     

有限覆盖径向点插值方法理论及其应用

数值流形方法能够统一地处理连续与非连续变形问题,有限覆盖技术是这种方法的核心。无网格方法前处理过程比较简单,径向点插值法是其中的一种计算格式。本文将有限覆盖技术与径向点插值方法相结合发展了有限覆盖径向点插值无网格方法,综合了数值流形方法与点插值方法的各自优点,能够有效地处理连续与非连续性问题,由此所构造的形函数具有Kronecker δ-函数属性,能够有效地处理位移边界条件。本文在阐述了这种方法基本原理的基础上,通过算例分析与数值计算论证了本文所建议方法的可靠性及其有效性。     

四节点四边形数值流形方法及其改进

本文对四节点四边形流形元提出了改进措施,将覆盖位移函数用自然坐标表示,使得在一般非规则有限数学覆盖网格下,数值积分变得比较容易,克服了现有四节点四边形流形单元数值积分困难的缺点。数值算例将其应用于复合材料数值模拟,计算结果表明,当覆盖位移函数采用完全一阶等参多项式时,计算精度较传统有限元法有很大改进。在力应集中或应力突变的区域,无需网格加密,只需提高覆盖位移函数的阶次即可。     

数值流形单元法数学网格自适应

基于数值流形方法和有限覆盖技术,将有限元法的后验误差估计理论及h型网格自适应技术推广应用到数值流形单元法中,提出了数值流形单元法的后验误差估计方法和数学网格自适应技术,并编制了相应的程序。数值算例表明,经过网格自适应,可以在粗糙的初始网格基础上得到质量比较理想的网格,计算结果可达到用户要求的精度。     

高阶数值流形方法的初应力公式

高阶数值流形方法和高阶DDA方法可以显著提高结构变形的计算精度,但目前涉及几何非线性问题的研究成果大都计算精度差甚至不收敛,这是由高阶初应力公式的不准确或不正确引起的。本文介绍数值流形方法的大变形计算格式,基于平面三角形数学网格和多项式覆盖函数,提出高阶流形法的两种初应力处理方法,首次导出了高阶初应力的准确公式。该公式在分步计算的初应力累加中考虑了大变形结构的构形变化,并将初应力表示成多项式函数形式以满足单纯形积分的要求。文中给出的悬臂梁大变形数值算例与理论解的对比结果证明了方法的正确性。本文的方法和公式也适用于三维四面体数学网格,稍加修改后将可应用于高阶DDA方法和常规的有限元方法。     

复杂裂纹问题的多边形数值流形方法求解

数值流形方法是一种能统一处理连续和不连续问题的有效数值方法。该方法采用的数学覆盖系统可完全独立于物理域,能很好地求解各类裂纹问题,而n边形单元（n>4）则具有网格划分灵活,求解精度高等优点。本文基于数值流形方法,采用正六边形数学单元求解线弹性复杂裂纹问题。在导出相关方程的基础上对典型裂纹问题进行了分析,通过互能积分法得到了裂尖的应力强度因子,计算结果与参考解吻合得较好。除此之外,文中还对不同单元上的求解精度进行了比较,结果表明采用正六边形单元的求解精度较正四边形单元和正三角形单元上的精度均更高。     

热传导问题的非协调数值流形方法

数值流形方法通过引入数学与物理双重网格，将插值域与积分域分别定义在两个不同的覆盖上，其优点是网格划分随意，不受复杂边界形状和材料界面的限制，是较之于有限元方法更一般化的数值模拟方法。在计算精度方面，数值流形方法远远高于有限元法。但它的精度还是不够理想。为此本文在单元总体位移场上附加非协调位移基本项，使单元位移函数趋于完全，构造了非协调流形单元来改善流形单元的计算精度和计算效率，并将其应用于热传导问题，推导了势问题的非协调数值流形方法。     

基于适合分析T样条的高阶数值流形方法

数值流形方法是一种非常灵活的数值计算方法,连续体的有限单元方法和块体系统的非连续变形分析方法只是这一数值方法的特例.数值流形方法中高阶位移函数的构造可通过提高权函数的阶次来实现,这种方法往往需要沿单元边界配置适当的边内节点,这些结点的出现增加了前处理的复杂性,特别是对于大型复杂的空间问题.另一方面,在数值流形方法中可通过缩小单元尺寸(h加密)来提高求解精度.当模拟裂纹扩展时,这种细化策略可用来克服裂纹尖端的奇异性.一个传统的解决方案是细化整个网格,但这会导致计算效率的显著降低.将适合分析的T样条(analysis-suitable T-spline,AST)引入数值流形方法中来建立高阶数值流形方法的分析格式,有效的避免了该问题的出现.AST样条基函数具有线性无关,单位分解,局部加密等许多重要性质,使得其非常适合用于工程设计及分析.在引入AST样条后,可通过改变数学覆盖的构造形式建立不同阶次的数值流形方法分析格式;AST样条自身的局部加密性质也使得数值流形方法中的数学网格局部加密更容易实现.算例结果表明:随着AST样条基函数阶次的提高,数值流形方法的计算结果有了明显的改善;基于AST样条基函数的数值流形方法在保持计算精度的前提下降低了自由度的数量.     

弹性力学中的一种非协调数值流形方法

通过引入数学和物理双重网格，将插值域与 积分域分别定义在不同的覆盖上，即在数学网格上进行插值函数的构造，物理网格上完成 系统能量泛函积分运算，最后通过覆盖权函数将二者联结在一起. 它的优点是单元网格划 分随意，不受复杂边界形状和二相材料界面的限制，单元可以是任意形状，是较之于有限 元方法更一般的数值模拟方法. 在4节点四边形数值流形方法中，由于单元总体位移函数 包含的完全多项式不完全，使得计算精度不够精确，为此，在单元总体位移函数上附 加非协调位移基本项，使之趋于完全，提出了弹性力学问题的一种改进的数值流形 方法------非协调数值流形方法. 通过内部自由度静力凝聚处理，导出了消除内参后的单元应变矩阵 和单元刚度矩阵，使得在不增加广义节点自由度的前提下，大大提高了数值流形方法的计 算精度和计算效率. 同时对非协调项进行了显式处理，可以对工程实践起到更切实的帮助. 数值试验表明，它们能够保证收敛，有较高的精度，对畸变不敏感，从而证明了该方法的 可行性.     

GENERAL ANALYTIC SOLUTION FOR ELASTIC BENDING OF REISSNER PLATES

I.GeneralAnalyticSolutionforThickRectangularPlates1.1BasicequationsandboundaryconditionsTheoryofthewidelyusedReissuerplatesisquiteaccurateforengineeringcomputationand,asisshowninFig.l,ithasthefollowingassumDtionsfa)AthickrectangularplatewithmaterialpropertiesofelasticmodulusE,Poisson'sratiop,shearmodulusGanddimensionsofainlength,binw.idth.hinheightisconsiderd.anditsstrainsandstressescanbedescribledinthedeflectionofthemid-planeWandrotationsaroundx-axisandJ.-axisAandac,respectively.b)Thepl…     

弹性力学的复变量数值流形方法

数值流形方法通过引入数学和物理双重网格，将插值域和积分域分别定义在两个不同的覆盖 上来完成系统能量泛函积分运算. 当采用高阶函数构造位移函数时，广义节点自由度将大大 增加. 在求解系统的平衡方程中，运算量是与自由度的三次方成正比的，因此数值流形方法 的计算量是较大的. 为此，在复变量理论的基础上，采用一维基函数建立二维问题的逼 近试函数，然后将其应用于弹性力学的数值流形方法，提出了复变量数值流形方法，推导了 弹性力学的复变量数值流形方法的公式. 与传统的数值流形方法相比，复变量数值流形方法 具有计算量小、精度高的优点.     

爆炸荷载下岩石破坏的数值流形方法模拟

为了更好地利用数值流形方法对动力学问题进行分析,在对原数值流形方法中的动力学问题求解思想进行分析的基础上,采用动力有限元方法中的Newmark法对该算法进行了改进。改进后的数值流形方法与原来相比具有三个明显的优势:（1）当选择合适的参数后,该方法能够保证解的无条件收敛;（2）可以采用比原算法大得多的时间步长;（3）充分考虑了动力学问题中的阻尼效应。最后通过一个算例说明了改进后的数值流形方法能够很好地模拟岩石在冲击载荷作用下破坏的全过程,克服了有限元法不能模拟岩石破坏后块体运动情况的不足。     

非均匀介质中流动和传热问题的有限分析法

数值求解非均匀介质中的输运问题广泛应用于科学计算和工程领域．介质的强非均匀性给相关问题的准确求解带来极大的困难．近年来，本课题组将有限分析法拓展到该领域，建立了非均匀介质中输运问题的有限分析法．该算法基于网格奇点邻域内类拉普拉斯方程局部解析解构建，算法具有很高的精度，且不依赖于介质的非均匀性强度．不管相邻网格传导率差异如何，仅需对原始网格进行很少地细分就可以获得非常准确的计算结果，因此与其他传统数值算法相比，可以大幅提高计算精度和效率．该算法可广泛应用于求解非均匀多孔介质中的渗流、复合材料中的热传导及电场分布等问题．     

A study of properties of adaptive quadratic grids for three-dimensional near-surface field computations

Curved geometries and the corresponding near-surface fields typically require a large number of linear computational elements. High-order numerical solvers have been primarily used with low-order meshes. There is a need for curved, high-order computational elements. Typical near-surface meshes consist of hexahedral and/or prismatic elements. The present work studies the employment of quadratic meshes that are relatively coarse for field simulations. Directionally quadratic high-order elements are proposed for the near-surface field regions. The quadratic meshes are compared with the conventional low-order ones in terms of accuracy and efficiency. The cases considered include closed surface volume calculations, as well as computation of gradients of several analytic fields. A special method of adaptive local quadratic meshes is proposed and evaluated. Truncation error analysis for quadratic grids yields comparison with the conventional linear hexahedral/prismatic meshes, which are subject to typical distortions such as stretching, skewness, and torsion.     

在椭圆截面管道中的磁流体动力学管流

对于在外加横向均匀磁场下,不可压缩、粘滞、导电液体流经椭圆截面管道的一维定常流动问题,本文第一次给出其解析解,文中假设流体在绝缘管壁上没有滑动。