二维定常不可压缩粘性流动N-S方程的数值流形方法

将流形方法应用于定常不可压缩粘性流动N-S方程的直接数值求解,建立基于Galerkin加权余量法的N-S方程数值流形格式,有限覆盖系统采用混合覆盖形式,即速度分量取1阶和压力取0阶多项式覆盖函数,非线性流形方程组采用直接线性化交替迭代方法和Nowton-Raphson迭代方法进行求解.将混合覆盖的四节点矩形流形单元用于阶梯流和方腔驱动流动的数值算例,以较少单元获得的数值解与经典数值解十分吻合.数值实验证明,流形方法是求解定常不可压缩粘性流动N-S方程有效的高精度数值方法.     

数值流形方法的对象设计

研究了数值流形方法的对象设计方法和组织方式,为流形方法的理论研究和向三维问题的扩展打下良好的基础,研究发现数值流形方法具有编程和前后处理简单的特点,且仅用三角形流形单元和一阶近似的覆盖位移函数就可达到有限元多结点等参元的求解精度,具有深远的工程意义,计算结果表明,数值解与理论解吻合。     

基于单位分解法的无网格数值流形方法

在数值流形方法和单位分解法的基础上，提出了无网格数值流形方法. 无网格数值流形 方法在分析时采用了双重覆盖系统，即数学覆盖和物理覆盖. 数学覆盖提供的节点形成求解 域的有限覆盖和单位分解函数；而物理覆盖描述问题的几何区域及其域内不连续性. 与原有 的数值流形方法相比，无网格数值流形方法的数学覆盖形状更加灵活，可以用一系列节点的 影响域来建立数学覆盖和单位分解函数，具有无网格方法的特性，从而摆脱了传统的数值流 形方法中网格所带来的困难. 与无网格方法相比，由于采用了有限覆盖技术，试函数的构造 不受域内不连续的影响，克服了原有的无网格方法在处理不连续问题时所遇到的困难. 详细推导了无网格数值流形方法的试函数和求解方程，最后给出了算例，验证了该方法的正 确性.     

弹性力学的复变量数值流形方法

数值流形方法通过引入数学和物理双重网格，将插值域和积分域分别定义在两个不同的覆盖 上来完成系统能量泛函积分运算. 当采用高阶函数构造位移函数时，广义节点自由度将大大 增加. 在求解系统的平衡方程中，运算量是与自由度的三次方成正比的，因此数值流形方法 的计算量是较大的. 为此，在复变量理论的基础上，采用一维基函数建立二维问题的逼 近试函数，然后将其应用于弹性力学的数值流形方法，提出了复变量数值流形方法，推导了 弹性力学的复变量数值流形方法的公式. 与传统的数值流形方法相比，复变量数值流形方法 具有计算量小、精度高的优点.     

数值流形方法在流固耦合谐振分析中的应用

数值流形方法(流形法)是石根华博士利用现代数学中流形分析的有限覆盖技术建立起来的新的数值分析方法,统一解决了连续和非连续变形的力学问题,具有广阔的应用前景。本文将流形法应用于交界面耦合的流固振动分析,采用平面矩形数学网格,针对无粘、无旋、不可压缩流体和无阻尼的固体结构,提出分析流固耦合系统简谐振动的高阶流形法公式,其中,采用拉格朗日乘子法引入流场的已知边界条件。本文还初步研究了在特殊的无限远流场中采用解析解覆盖函数的实现技术。文中算例体现了流形法网格划分的方便性和计算的高精度,显示出流形法在数值解和解析解联合运用上的优势。     

数值流形方法中线性相关性问题的研究

数值流形方法的形函数由覆盖函数和局部近似函数组成，形函数之间往往存在线性相关性。在现有研究成果的基础上对形函数线性相关性进行了分析，指出线性相关性的根源在于覆盖函数具有单位分解特性，并与单元形状有关。研究了线性相关性与整体刚度矩阵奇异性以及求解收敛性之间的关系，指出形函数线性相关不一定导致整体刚度矩阵奇异。对8结点六面体高阶流形单元的局部近似函数及单元形状与线性相关性之间的关系进行了分析，构造出一种完全线性独立的流形单元。通过算例分析了8结点六面体流形单元局部近似函数中一次完全多项式对求解精度和收敛性的影响，发现采用一次完全多项式局部近似函数的形函数虽然线性相关，但求解仍然收敛，且精度高于线性无关的单元。     

流形元法固定边界约束处理研究

在数值流形方法中,对于材料的固定边界,一般采用罚函数的方法进行处理,即在固定边界上设置刚性弹簧约束其位移来实现固定约束条件的近似满足。罚函数法在理论上不是严格的固定约束处理方法,罚弹簧的布置与弹簧刚度的大小对模拟的效果都会产生影响。基于流形单元上位移函数的组成提出了流形方法固定边界约束处理的新方法,在组成流形单元的物理覆盖上,通过取消相应的覆盖函数在流形单元位移函数中的组成来实现双向固定的约束条件,通过使用只包含单方向位移的覆盖函数使x向固定约束条件和y向固定约束条件得到实现,推导了相应固定约束条件下的流形单元刚度矩阵的数值计算格式。该方法严格满足固定约束的物理意义,简化了固定边界的处理,并经算例证明是有效和准确的,有利于数值流形方法的程序实现和工程应用。     

数值流形方法及其在岩石力学中的应用

数值流形方法是目前岩石力学分析的主要方法之一.该方法起源于不连续变形分析,主要用于统一求解连续和非连续问题,其核心技术是在分析时采用了双重网格:数学网格提供的节点形成求解域的有限覆盖和权函数;而物理网格为求解的积分域.数学网格被用来建立数学覆盖,数学覆盖与物理网格的交集定义为物理覆盖,由物理覆盖的交集形成流形单元.流形方法的优点在于它使用了独立的数学和物理网格,具有和有限元明显不同的定义形式,且数学网格对于同一问题不同的求解精度的需求可以很方便地细化.由于该方法考虑了块体运动学,可以模拟节理岩体裂隙的开裂和闭合过程,因而在岩石力学中得到了广泛应用,近年来许多学者对该方法进行了研究.本文简要叙述了节理岩体的数值方法从连续到非连续的发展过程,详细地介绍了数值流形方法的组成和数值流形方法在岩石力学及其相关领域的研究和发展概况,最后就作者所关心的一些问题,如三维问题的数值流形方法、数值流形方法在物理非线性问题和裂纹扩展问题中的应用、相关的耦合方法等进行了探讨.     

数值流形方法在连续体数值分析中的应用

在平面连续作的数值计算中使用数值流形方法的各阶覆盖位移函数和统一的三节点三角形流形单元,能够得到高精度的数值结果,且具有编程和前后处理简单等优点,克服了有限元法复杂理论的不足．文中还引入了三角形单元Ｈａｍｍｅｒ数值积分,使流形方法的程序编制通用化．     

一种建筑材料细观力学数值模拟的新方法

数值流形方法通过数学和物理双重网格,分析连续和非连续问题,已应用于模拟节理岩体裂隙的开裂与闭合问题.但对于裂纹尖端的局部化问题,数值流形方法需要像有限元那样在裂纹尖端设置细密单元.本文利用裂纹尖端解析解将数值流形方法的基函数进行扩展,推导了相应的试函数.从最小势能原理出发提出了断裂力学的数值流形方法,推导了相应的求解方程,将其应用于建筑材料细观力学数值模拟.最后给出两个数值算例,将计算结果与解析解对比,说明该方法的正确性和可行性.     

瞬态热传导问题的精细积分数值流形方法研究

数值流形方法（NMM）因其特有的双覆盖系统（数学覆盖和物理覆盖）在域离散方面具有独特的优势，而精细时间积分法则具有精度高、无条件稳定、无振荡以及计算结果不依赖于时间步长等特点。发展了用于研究二维瞬态热传导问题的精细积分NMM。结合待求问题的控制方程和边界条件，并基于修正变分原理导出了NMM的总体方程，给出了求解此类时间相依方程的精细时间积分及空间积分策略，选取了两个典型算例对方法的有效性进行了验证，结果表明本文方法可以高效高精度地求解瞬态热传导问题。     

基于适合分析T样条的高阶数值流形方法

数值流形方法是一种非常灵活的数值计算方法,连续体的有限单元方法和块体系统的非连续变形分析方法只是这一数值方法的特例.数值流形方法中高阶位移函数的构造可通过提高权函数的阶次来实现,这种方法往往需要沿单元边界配置适当的边内节点,这些结点的出现增加了前处理的复杂性,特别是对于大型复杂的空间问题.另一方面,在数值流形方法中可通过缩小单元尺寸(h加密)来提高求解精度.当模拟裂纹扩展时,这种细化策略可用来克服裂纹尖端的奇异性.一个传统的解决方案是细化整个网格,但这会导致计算效率的显著降低.将适合分析的T样条(analysis-suitable T-spline,AST)引入数值流形方法中来建立高阶数值流形方法的分析格式,有效的避免了该问题的出现.AST样条基函数具有线性无关,单位分解,局部加密等许多重要性质,使得其非常适合用于工程设计及分析.在引入AST样条后,可通过改变数学覆盖的构造形式建立不同阶次的数值流形方法分析格式;AST样条自身的局部加密性质也使得数值流形方法中的数学网格局部加密更容易实现.算例结果表明:随着AST样条基函数阶次的提高,数值流形方法的计算结果有了明显的改善;基于AST样条基函数的数值流形方法在保持计算精度的前提下降低了自由度的数量.     

THE NMM-BASED EFG METHOD AND SIMULATION OF CRACK PROPAGATION

数值流形方法（numerucal manifold method,NMM）通过引入数学覆盖和物理覆盖两套系统来统一处理连续和非连续问题. 通过用移动最小二乘插值（moving least squares interpolation,MLS）中的节点影响域构造数学覆盖,得到了基于数值流形方法的无网格伽辽金法（element free Galerkin,EFG）. 该方法在保证前处理简单的同时,又能方便处理如裂纹等不连续问题. 建立了适用于小变形和大变形的裂纹扩展计算格式,并通过对曲折裂纹（kinked crack）的处理,在不加密的情况下实现了任意小步长的裂纹扩展,大大提高了在固定网格中模拟裂纹扩展的实用性. 大小变形的结果对比表明,按照不考虑构型变化的小变形计算,结果可能偏于危险.     

基于有限变形理论的数值流形方法研究简

原有数值流形方法通过积累每一时步的小变形而得到结构最终的大变形,然而,当结构发生大变形、大转动时往往产生较大计算误差. 针对该问题,从动量守恒方程以及应力边界条件的积分弱形式出发,引入流形方法的插值函数,建立了基于有限变形理论的数值流形方法. 通过对比改进前后流形方法的计算迭代格式,指出了原有流形方法计算大变形问题时的误差来源. 最后,通过大变形悬臂梁和旋转块体算例对有限变形流形方法进行了验证. 数值结果表明,改进后的流形方法能够很好地处理大变形大转动问题,消除了转动所带来的计算误差,其计算结果与解析解及ABAQUS 软件求得的数值解相吻合.     

基于数值流形方法的特殊孔缘单元构造及开孔板求解

采用有限元法对具有典型的开孔结构进行分析时,常常难以保证良好的单元形态,同时也难以兼顾计算效率和精度.本文采用具有两套覆盖系统的数值流形方法对此类结构开展分析,参考无限大板圆孔应力问题的理论解答,通过扩展局部逼近的基,构造了一种适用于平面圆孔问题的特殊流形单元,基于数值流形理论采用程序实现,并对不同载荷条件和几何尺寸下的平面圆孔问题进行了计算.结果 表明,相较于有限元法,本文方法在计算精度和收敛速度上均具有显著优势.上述结果也充分体现了数值流形方法在处理具有复杂几何构型的结构时的优越性,在工程结构领域具有的广阔应用前景.     

基于最佳质量网格的薄板问题的非协调流形方法

对于大部分非协调板单元，使用规则网格能得到很好的效果。但是，当网格不规则时，非协调元的数值特性将变得很差，甚至收敛性得不到保证。为解决网格依赖性问题，许多专家学者提出了改造单元，如拟协调元法和广义协调元法，这些方法能解决收敛性问题，但是数值实践证明没有一种单元能在所有情况下都具有良好的数值特性。考虑到流形方法采用两套完全独立的覆盖系统，可以用规则的数学网格来作为数学覆盖进行插值，取得最佳的插值效果，单元收敛性便能得到保证。再结合适用于流形方法的变分提法，建立起流形方法处理非规则物理边界非协调板单元的一般格式。以ACM薄板单元为例，与ANSYS、拟协调元法和广义协调元法进行了对比，证明本文方法在处理具有曲线边界的薄板弯曲问题时具有收敛快和精度高等优势。     

2D numerical manifold method based on quartic uniform B-spline interpolation and its application in thin plate bending

A new numerical manifold （NMM） method is derived on the basis of quartic uniform B-spline interpolation. The analysis shows that the new interpolation function possesses higher-order continuity and polynomial consistency compared with the conven- tional NMM. The stiffness matrix of the new element is well-conditioned. The proposed method is applied for the numerical example of thin plate bending. Based on the prin- ciple of minimum potential energy, the manifold matrices and equilibrium equation are deduced. Numerical results reveal that the NMM has high interpolation accuracy and rapid convergence for the global cover function and its higher-order partial derivatives.