The center of shear as a problem of the theory of plates of variable thickness

Summary The principal concern of this paper is to focus once again attention on the inherent difficulties which are associated with attempts to determine shear center locations for beams of given cross section on the basis of the classical St. Venant torsion-flexure analysis. The special case of this problem which is given when the beam may be treated as a thin plate of variable thickness is used to bring out the limited significance of the St. Venant formulas in relation to the higher-dimension mixed boundary value problem which has previously been shown to be at the root of the shear center problem.

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Der Schubmittelpunkt als ein Problem der Theorie von Platten veränderlicher Dicke

Übersicht Der Beitrag wendet sich nochmals den Schwierigkeiten zu, die bei der Bestimmung der Lage des Sehubmittelpunkts für gegebene Balkenquerschnitte auftreten, wenn man das Problem mit Hilfe der klassischen St. Venant-Biegetheorie behandelt. Der Sonderfall des Problems, bei dem der Balken als dünne Platte veränderlicher Dicke betrachtet wird, dient zur Aufdeckung der Bedeutung der St. Venant-Formeln im Verhältnis zu dem zweidimensionalen Randwertproblem, dessen für das Schubmittelpunktsproblem grundlegende Eigenschaft früher gezeigt worden war.

     

Untersuchungen zur Anwendung des Rotationsverfahrens in der Rheometrie der flüssigen Metalle

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird von Überlegungen und Modellversuchen berichtet, die zu einem scheibenförmigen Meßkörper für ein Rotationsviskosimeter führten, das in einer Versuchseinrichtung zur Bestimmung des Fließverhaltens und der Viskosität von Metallschmelzen verwendet wird. Auf Grund einer genauen mathematischen Beziehung für das Reibungsmoment der rotierenden Scheibe in der Flüssigkeit und einer zweckmäßigen Eichung des Viskosimeters kann die Auswertung der Messungen in Rheogrammen vorgenommen werden. Aus dem Rheogramm ist das Fließverhalten der Schmelze direkt zu ersehen und ihre Viskosität aus dem Verhältnis von Schubspannung zu Geschwindigkeitsgefälle einfach zu berechnen.

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Summary This paper reporsts on considerations and model experiments which have led to a disc-like measuring member for a rotation viscometer used in an experimental device for determining the flow properties and the viscosity of fused metals. Due to a precise mathematical relation for the friction torque of the rotating disc in the liquid and a suitable calibration of the viscometer, it is possible to evaluate the measurements in rheograms. The flow properties of the melt can be directly read from the rheogram, and its viscosity can be easily calculated from the ratio of the shear stress to the velocity gradient.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin-Dahlem vom 20.–21. Mai 1968.     

A refined bound on the error of Reissner's plate theory

Summary The accuracy of two versions of Reissner's plate theory as compared with three-dimensional elasticity is evaluated. The relative mean square error is shown to consist of two parts: one related to transverse normal rigidity and proportional to the plate thickness squared and the other related to transverse shear rigidity and proportional to the thickness cubed. This refines a previous estimate by Nordgren where both of those parts were proportional to the thickness squared.

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Verbesserte Fehlerschranke für die Reissnersche Plattentheorie

Übersicht Für zwei Varianten der Reissnerschen Plattentheorie werden im Vergleich mit dreidimensionaler Elastizitätstheorie globale Fehlerschranken erhalten. Es wird gezeigt, daß die L ₂-Norm des relativen Fehlers aus zwei Teilen besteht: Einem von der Dehnungssteifigkeit in Dickenrichtung bedingten und dem Quadrat der Plattendicke proportionalen und aus dem zweiten Teil, der von der Schubsteifigkeit der Querschnitte bedingt und der 3. Potenz der Plattendicke proportional ist. Dieses Ergebnis verbessert eine von Nordgren erhaltene Abschätzung in der beide Teile dem Quadrat der Dicke proportional sind.

     

Einfluß der Elastizität der Gase auf die Wirkung von Schaufelgittern

Zusammenfassung Der Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit läßt sich für verlustlose Vorgänge in einem bequem zu übersehenden Schaubild (5) darstellen. Der Übergang vom Zustand vor dem Gitter zum Zustand hinter dem Gitter erfolgt in dem Schaubild längs bestimmter Leitlinien. Verluste im Gitter können durch den Übergang von einer Leitlinie zu einer anderen berücksichtigt werden. Die-Änderung des Parameters v _a/a_o der Leitlinie hängt von der Größe des Verlustes p _o ^* und von der Normalkomponente v der Durchflußgeschwindigkeit ab und ist auf Grund der Gleichungen (22) und (23) und Abb. 7 zu ermitteln. Bemerkenswert ist, daß bei Überschallgeschwindigkeit der Normalkomponente der Energieverlust eine Drucksteigerung ergibt.Diese Arbeit war in der Festschrift der Deutschen Akademie der Luftfahrtforschung zum 70. Geburtstag von Professor Prandtl (4. Februar 1945) enthalten, die aber vor ihrer Ausgabe vollständig durch Feuer vernichtet wurde.     

Experimental evaluation of pneumatic atomizers by hot film

The spray characteristics of pneumatic atomizers are examined using hot film anemometry. Measurements of drop size distribution, concentration profile and drop frequency are carried out over wide ranges of relative position between air peripheral jet exit and the concentric water nozzle exit. The objective is to clarify the role of turbulence in producing a wide spectrum of particle sizes and numbers in the spray. The output signal from hot film contained multispikes with different amplitudes and thickness which has been correlated to the drop number density and the droplet size through the use of probability density function. Generally it is found that an increase of the guide relative position enhances the mixing process and produces finer spray. This is attributed to the utilization of high wave number eddies in shortening the liquid jet break up length.

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Versuchsauswertung eines pneumatischen Pulverisators durch einen Heißfilm

Zusammenfassung Die Spraykennzeichen eines pneumatischen Pulverisators sind mit der Heißfilmanemometrie untersucht worden. Es wurden Messungen über die Tropfengrößenverteilung, Konzentrationsprofile und Tropffrequenz über weite Bereiche der relativen Position von äußerem Luftstromausgang und dem konzentrischen Wasserdüsenausgang durchgeführt. Das Ziel ist die Funktionsklärung der Turbulenzen in der Produktion von einem weiten Spektrum der Teilchengrößen und Teilchenzahlen im Spray. Das Ausgangssignal vom Heißfilm beinhaltet mehrere Impulsspitzen mit verschiedenen Amplituden und Breiten. Diese wurden für die Tropfenzahldichte und Tröpfchengröße mit der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion berechnet. Im allgemeinen wurde herausgefunden, daß ein Erhöhen der relativen Position des Führungsrohres den Mischprozeß verbessert und einen feineren Spray ergibt. Dies ist darauf zurückzuführen, daß hochfrequente Wirbel die Abbruchlänge des Flüssigkeitsstroms verkürzen.

     

Approximate determinations of the center of shear by use of the St. Venant solution for the flexure problem of plates of variable thickness

Summary We extend a recent analysis of the shear center problem in the context of the linear theory of transverse bending of orthotropic elastic plates by an explicit comparison of results based on several differing definitions of the center of shear within the framework of the St. Venant flexure solution for the problem of orthotropic plates. We also consider transverse bending of anisotropic plates where we find a significant aspect ratio effect not present in the orthotropic, case, and the shear center problem for plates with combined midplane bending and stretching as a consequence of constitutive coupling.

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Näherungsweise Bestimmungen des Schubmittelpunks für Platten variabler Dicke im Rahmen der St. Venant'schen Querkraft-Biegungslösung

Übersicht Eine kürzliche Analyse des Schubmittelpunktproblems als ein Problem der linearen Theorie orthotroper elastischer Platten wird erweitert durch einen Vergleich von Resultaten auf Grund von verschiedenen Definitionen des Schubmittelpunkts im Rahmen des St. Venant'schen Ansatzes für das Querkraft-Biegeproblem. In Ergänzung dieser Betrachtungen wird eine Bestimmung des Schubmittelpunkts anisotroper Platten ausgeführt, welche, im Unterschied zum orthotropen Fall, einen ausgeprägten Einfluß der Plattenlänge zeigt. Weiterhin behandelt wird das Schubmittelpunktproblem für Platten, für welche Biegung und Streckung durch das Stoffgesetz gekoppelt sind.

     

Der Einfluß von Druck und Temperatur auf die effektive Viskosität in geschmierten kontra-formen Kontakten

Zusammenfassung Die Viskosität von flüssigen Schmierstoffen wird von verschiedenen Parametern, z. B. von der Temperatur, dem Schergefälle und dem herrschenden Druck, beeinflußt. Für die Anwendung der elastohydrodynamischen Schmierungstheorie auf hochbelastete Kontakte, etwa auf Zahnradgetriebe, kommt neben der Viskositäts-Temperaturabhängigkeit der Viskosität-Druckabhängigkeit des Schmierstoffes besondere Bedeutung zu.Derzeitige Möglichkeiten, das Viskositäts-Druckverhalten von flüssigen Schmierstoffen darzustellen und zu messen, wurden aufgezeigt. Insbesondere die Messung des Viskositäts-Druckverhaltens ist bei flüssigen Schmierstoffen nur begrenzt bis ca. 2000 bar möglich.Bei Untersuchungen eines elastohydrodynamischen Linienkontaktes wurden die Verläufe des Druckes, der Temperatur und der Schmierspalthöhe gemessen. Dabei zeigten sich deutliche Einflüsse des Viskositäts-Druckverhaltens auf die untersuchten Parameter. Sowohl das zweite Druckmaximum des Druckverlaufes als auch die Einschnürung im Verlauf der Schmierspalthöhe erwiesen sich als deutlich vom Viskositäts-Druckverhalten des eingesetzten Versuchsöles — bei gleicher Eintrittsviskosität — beeinflußt. Daraus ergibt sich die Möglichkeit, aus solchen Meßergebnissen eines elastohydrodynamischen Kontaktes eine Bestimmung des Viskositäts-Druckverhaltens bis hin zu praxisnahen Drücken vorzunehmen.

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Summary The viscosity of fluid lubricants is influenced by different parameters. For example, viscosity depends on temperature, shear rate and pressure. Applicating the elastohydrodynamic theory of lubrication to high loaded contacts as e.g. realized in gear drives the viscosity pressure dependency also has to be taken into account. Actual possibilities to describe and to measure the viscosity-pressure behaviour of fluid lubricants are offered. In particular, the viscosity-pressure behaviour can be measured up to about 2000 bar.Our investigations of an elastohydrodynamic contact in a two-disk-apparatus with pressure, temperature and gap measurements for several standard oils show new possibilities to estimate the viscosity-pressure behaviour of fluid lubricants.

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Mit 10 Abbildungen und 1 Tabelle     

Das Digitale Beukenmodell mit nichtkonstanten Koeffizienten — eine Matrixmethode zur Lösung nichtlinearer Ausgleichsvorgänge

Zusammenfassung Mit Hilfe des Digitalen Beukenmodells mit nichtkonstanten Koeffizienten lassen sich ein- und mehrdimensionale Ausgleichsvorgänge berechnen. Besonders einfach ist das Verfahren, wenn nur die Wärmeleitfähigkeit von der Temperatur oder der Diffusionskoeffizient von der Konzentration abhängig ist. Der Hauptvorteil des Digitalen Beukenmodells liegt in der einfachen Handhabung. Für viele praktische Fälle kann die Rechenzeit gegenüber dem herkömmlichen reinen Differenzenverfahren entscheidend verkürzt werden. Das Digitale Beukenmodell mit nichtkonstanten Koeffizienten ist die genaueste Rechenmethode für nichtlineare Ausgleichsvorgänge.

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The digital Beuken-Model with non-constant coefficients — a matrix method for the solution of non-linear diffusion processes

By the help of the digital Beuken-Model with nonconstant coefficients it is possible to compute one- or multidimensional diffusion processes. Especially simple is that method, if only the thermal conductivity depends on the temperature or if the diffusion coefficient depends on the concentration. The main advantage of the digital Beuken-Model is its simple handling. In many practical cases the computing time can be shortened decisively to the traditional difference methods. The digital Beuken-Model with non-constant coefficients is the most exact computing-method for the solution of nonlinear diffusion processes.

     

Das Versagen von Polymeren unter Belastung mit konstanten Dehngeschwindigkeiten

Zusammenfassung Der Bruch oder das Erreichen der Streckgrenze eines Polymeren ist ein Versagensphänomen, das unter konstanten Umgebungsbedingungen von der Belastungsgeschichte abhängig ist. Versuche mit konstanten Dehngeschwindigkeiten ergeben bei zunehmenden Dehngeschwindigkeiten eine eindeutige Zunahme der dem Versagenspunkt entsprechenden Spannung und Dehnung. Der Vergleich experimenteller und rechnerischer Ergebnisse zeigt, daß die Hypothese der konstanten dissipierten Verformungsenergie, die schon früher erfolgreich für die Rißbildung unter Kriech- und Spannungsrelaxationsbelastung angewendet wurde, auch als Kriterium des Versagens von Polymeren unter Belastung mit konstanten Dehngeschwindigkeiten geeignet ist.

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Summary Fracture or yielding are failure phenomena which, at constant environmental conditions, depend upon the loading history of the considered polymer. Experiments with different constant strain rates have shown that the increase of the strain rate leads to an increase of both strain and stress of the failure point. A comparison of experimental and computational data shows that the hypothesis of constant dissipated energie, which has been applied earlier with success for the crazing of polymers in creep and stress relaxation, is also suitable as a criterion of the failure of polymers under loading with constant strain rates.

Mit 7 Abbildungen und 1 Tabelle     

Messungen des Wärmeübergangs bei der Verdampfung binärer Gemische

Zusammenfassung Es wurde der Wärmeübergang von der Außenfläche eines horizontalen Rohres an siedende Zweistoffgemische experimentell untersucht. Die Messungen erstreckten sich über den Bereich der Blasenverdampfung bei freier Konvektion und wurden bei Drücken von 1 bis 16 ata ausgeführt. Der mittlere relative Fehler des gemessenen Wärmeübergangskoeffizienten betrug ±7%. Es wurden acht Gemische untersucht, die so ausgewählt wurden, daß starke Oberflächenspannungs-und Mischungseffekte nicht auftraten. Alle Messungen zeigten übereinstimmend, daß der Wärmeübergang bei der Verdampfung des Gemisches gegenüber dem bei der Verdampfung der reinen Komponenten vermindert ist. Anhand von Diagrammen wurden die Meßergebnisse und das Siedeverhalten eines jeden Gemisches einander gegenübergestellt. Dadurch wird deutlich, daß das besondere Verhalten verdampfender Zweistoffgemische im wesentlichen vom Unterschied der Zusammensetzungen der im Gleichgewicht zueinander stehenden Dampf- und Flüssigkeitsphasen abhängt.

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Measurement of heat transfer in the evaporation of binary mixtures

The heat transfer from the outer surface of a horizontal tube to a boiling binary mixture was experimentally investigated. The measurements covered the complete range of pool boiling with free convection and were performed at pressures ranging from 1 to 16 ata. The average relative error of heat transfer coefficients thus obtained was ±7%. The eight mixtures investigated were selected with the intent to have minimum effects by surface tension and mixing phenomena. All measurements were consistent in the observation that heat transfer in the boiling mixture is reduced compared with boiling of the pure components. The measured data and the boiling characteristics of each mixture were plotted in diagrams and compared. This illustrated that the specific boiling behavior of binary mixtures is essentially governed by the difference in composition of the vapor and liquid which are in equilibrium.

     

Upper-bound approach to plane strain strip rolling with free deformation zones

Summary A recently developed extension of the upper-bound theorem is applied to the problem of rigid/plastic deformation in case where the surface configuration of the concerned body is previously unknown. By assuming a simple velocity field the strip rolling process is analysed by considering the free deformation zones in front of, and behind the roll gap. The results so obtained show that the transitional plastic deformation zone exists only in front of the roll gap without any bulge. Furthermore, we find that this zone becomes larger with increase of the strain sensitivity as well as the strain rate sensitivity of material.

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Obere-Schranken-Abschätzung zum ebenen Bandwalzen mit freien Umformzonen

Übersicht Eine vor kurzem entwickelte Erweiterung des Satzes von der oberen Schranke für starr-plastische Umformvorgänge wird auf ein Problem angewendet, bei dem die Gestalt der Materialoberfläche im voraus unbekannt ist. Und zwar wird mittels eines elementaren Geschwindigkeitsansatzes der ebene Walzvorgang unter Berücksichtigung der freien Umformzonen vor und hinter dem Walzspalt ermittelt. Die berechneten Ergebnisse zeigen, daß nur vor dem Walzspalt eine Übergangszone der plastischen Umformung ohne Wulstbildung existiert und daß diese Zone größer wird mit anwachsender Verfestigungs- und Geschwindigkeitsabhängigkeit des Materials.

     

Experimental study of mass transfer during single drop formation,release and fall

Mass transfer from a single drop during formation, release and fall has been measured using radiotracer technique. The transfer during release is of the order of magnitude of that during formation. Results indicate that drop circulation, present during the entire life of the drop, intensifies abruptly at a short distance from the nozzle.

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Zusammenfassung Stoff übergang während der Bildung, der Ablösung und dem Fall eines Tropfens wurde durch eine Radioisotopen-Meßteehnik bestimmt. Der Austausch während der Ablösung des Tropfens ist von derselben Größenordnung wie der während der Bildungsperiode. Die Ergebnisse zeigen, daß innere Tropfenzirkulation während der ganzen Lebensdauer des Tropfens vorhanden ist, insbesondere kurz nach der Ablösung.

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Rheological properties of road bitumens

Summary The rheological behaviour of eight specimens of bitumens which can be used in asphalt cements has been studied. These are oxidized bitumens of different group composition and degree of oxidation, as well as a specimen of residual bitumen. They were investigated over a wide range of shear rates, frequencies, deformation amplitudes, and temperatures.The bitumen flow may be attended by accumulation of elastic (recoverable) deformations. In the region of low shear stresses the relationship between recoverable deformation and stress corresponds to the Hooke law in shear, and its value depends on the asphaltene content. In the high-stress region the recoverable deformations of the bitumens investigated may reach 0.6 relative unit.Oxidized and residual bitumens of identical group composition show a practically identical viscoelastic behaviour. Depending on the asphaltene content, the rheological behaviour of bitumens may vary from one typical of polymer systems to one typical of disperse systems. It has been established experimentally that for bitumens with a weakly developed structural skeleton the shear stress in stationary flow coincides with the loss modulus in small-amplitude cyclic deformation provided the shear rate and frequency are numerically equal. For structurized bitumens, no correlation of this kind is observed.Bitumens are systems sensitive to the amplitude and frequency of oscillatory shear. The viscosity and dynamic characteristics of bitumens change substantially under the effect of large-amplitude oscillatory shear. The scope of these changes is essentially determined by the asphaltene content. The frequency dependence of the dynamic characteristic enables one to isolate two characteristic regions of viscoelastic behaviour of bitumens: the flow region and that of transition to the storage modulus plateau. The intensity of the change in the dynamic characteristics in the flow region strongly depends on the group composition of the bitumens.The initial values of the relaxation time of bitumens corresponding to their initial undeformed state have been determined from dynamic measurements at low frequencies by extrapolating to the zero frequency. This is one of the most structure-sensitive parameters of the bitumens. The use of this relaxation time makes it possible to plot a generalized relaxation characteristic of the bitumens, which is invariant to the structure and type of the bitumen, the manufacturing process, the nature, the depth of oxidation, the temperature and frequency of coercion.A generalized temperature dependence of the reduction coefficient described by an equation of the type of Williams-Landell-Ferry has been obtained. The softening point of the bitumen was adopted as the reduction temperature. A method for evaluating the viscoelastic behaviour of bitumens on the basis of the known flow curve at a single temperature, the softening point, and the relaxation time at a single frequency is proposed.

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Zusammenfassung Das rheologische Verhalten von acht Bitumenproben, die für Asphalt-Zemente Verwendung finden, wird untersucht. Es handelt sich dabei um oxidierte Bitumina verschiedener Zusammensetzung und mit verschiedenem Oxidationsgrad, sowie um eine Probe Rückstands-Bitumen. Diese werden über einen weiten Bereich von Schergeschwindigkeiten, Frequenzen, Deformationsamplituden und Temperaturen untersucht.Das Fließen der Bitumina kann von elastischen Deformationen überlagert werden. Im Bereich niedriger Schubspannungen entspricht die Beziehung zwischen rückstellbarer Deformation und Spannung dem Hookeschen Gesetz für Scherung, mit einem vom Asphalten-Gehalt abhängigen Wert des Moduls. Im Bereich hoher Spannungen erreicht die rückstellbare Deformation der Bitumina etwa 60%.Oxidierte und Rückstands-Bitumina von übereinstimmender Zusammensetzung zeigen ein praktisch übereinstimmendes viskoelastisches Verhalten. Je nach dem Asphaltengehalt variiert das rheologische Verhalten der Bitumina vom typischen Verhalten eines Polymersystems bis zu dem eines dispersen Systems. Es wird experimentell nachgewiesen, daß für Bitumina mit einem schwach entwickelten Struktur-Skelett die Schubspannung bei der stationären Scherung mit dem Verlustmodul einer periodischen Deformation bei kleiner Amplitude übereinstimmt, wenn man die Schergeschwindigkeit mit der Frequenz gleichsetzt. Dagegen ist für strukturierte Bitumina kein derartiger Zusammenhang feststellbar.Die Bitumina sind empfindlich gegenüber Amplitude und Frequenz einer periodischen Deformation. Sowohl die Viskosität als auch die dynamischen Moduln ändern sich unter dem Einfluß von Scherschwingungen großer Amplitude erheblich, wobei wiederum der Asphaltengehalt von Bedeutung ist. Die Frequenzabhängigkeit der dynamischen Moduln ermöglicht eine Abgrenzung zweier charakteristischer Bereiche des viskoelastischen Verhaltens, nämlich des Fließbereichs und des Übergangsbereichs zum Plateau des Speichermoduls. Die Intensität der Veränderung in den dynamischen Moduln hängt in ausgeprägter Weise von der Gruppenzusammensetzung der Bitumina ab.Die Anfangswerte der Relaxationszeit, welche dem undeformierten Zustand korrespondieren, werden aus dynamischen Messungen bei niedrigen Frequenzen extrapoliert. Es handelt sich dabei um einen besonders strukturempfindlichen Parameter. Die Verwendung dieser Relaxationszeit ermöglicht die Herstellung einer verallgemeinerten Relaxationscharakteristik der Bitumina, welche bezüglich der Struktur, dem Verarbeitungsprozeß, der Natur, dem Oxidationsgrad, der Temperatur sowie der Frequenz der Zwangsbean-spruchung invariant ist.Eine verallgemeinerte Temperaturabhängigkeit des Reduktionskoeffizienten in einer Gleichung vom WLF-Typ wird erhalten, wobei als Reduktionstemperatur die Erweichungstemperatur gewählt wird. Es wird eine Methode zur Bestimmung des viskoelastischen Verhaltens der Bitumina vorgeschlagen, wobei außer der für eine einzige Temperatur bekannten Fließkurve nur noch der Erweichungspunkt sowie die Relaxationszeit bei einer einzigen Frequenz benötigt werden.

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With 15 figures and 2 tables     

Tangentiale Steifigkeitsmatrizen bei Anwendung von Projektionsverfahren in der Elastoplastizitätstheorie

übersicht Die klassische PlastizitÄtstheorie mit einer Flie\bedingung nach v. Mises und assoziierter Flie\regel erfordert die Zeitintegration der plastischen Verzerrungsraten. Die hier verwendete Radial-return-Methode ist ein Projektionsverfahren zur Berechnung der inelastischen Spannungen und kann als implizite Integration der Flie\regel angesehen werden. Die Anwendung der Finite-Element-Methode zur numerischen Lösung nichtlinearer Probleme geht von der schwachen Form des Gleichgewichts aus (Prinzip der virtuellen Arbeit). Die entstehenden nichtlinearen Gleichungssysteme können mit dem Newton-Raphson-Verfahren iterativ gelöst werden. Um die quadratische Konvergenz zu sichern, mu\ ein Tangentenoperator berechnet werden, der mit dem verwendeten Projektionsverfahren konsistent ist.

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Tangent stiffness matrices for projection methods in elasto-plasticity

Summary In classical elastoplasticity with v. Mises yield condition and associate flow rule it is necessary to integrate the plastic strain rate. The radial return integration algorithm is employed to calculate elastoplastic stresses. In the context of the finite element method, the formulation and numerical solution of nonlinear problems in continuum mechanics is based on the weak form of the momentum balance equation (principle of virtual work). The solution of the nonlinear equations is achieved by the Newton-Raphson method in which a sequence of linear problems is solved. If the linear problem is obtained by consistent linearization one gets a quadratic rate of convergence.

     

The influence of vibration on Poiseuille flow of a non-Newtonian fluid. II

Summary An incompressible, isotropic, non-Newtonian fluid undergoes plane Poiseuille flow between two parallel plates, or through a pipe of circular cross-section, as a result of a uniform time-independent pressure gradient. The effect is studied of superposed vibrations of the boundaries, which are not necessarily purely sinusoidal, on the mean rate of discharge of the fluid. The calculations are carried out in detail for a particular constitutive equation of the Rivlin-Ericksen type, with the assumption that the fluid is slightly non-Newtonian. It is seen that in addition to a change in the mean rate of discharge which arises as an interaction of the vibration with the pressure gradient, there may also occur a change in the mean rate of discharge which arises from the interaction of the harmonic components of the vibration and may be independent of the pressure gradient.

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Zusammenfassung Gegenstand der Untersuchung ist eine inkompressible, isotrope, nicht-newtonsche Flüssigkeit entweder in einer ebenen Poiseuille-Strömung zwischen zwei parallelen Platten oder einer solchen durch ein kreiszylindrisches Rohr unter dem Einfluß eines zeitunabhängigen Druckgradienten. Es wird der Einfluß von überlagerten Vibrationen der Wände, die nicht rein sinusförmig zu sein brauchen, auf den mittleren Flüssigkeitsdurchsatz untersucht. Die Rechnungen werden im einzelnen für eine spezielle Stoffgleichung vom Rivlin-Ericksen-Typ durchgeführt, wobei die Flüssigkeit als nur schwach nicht-newtonisch angenommen wird. Man findet, daß außer der Änderung des mittleren Durchsatzes als Folge der Wechselwirkung von Vibration und Druckgradient eine solche Änderung auch als Folge der Wechselwirkung der harmonischen Komponenten der Vibration auftreten kann, die u. U. vom Druckgradienten unabhängig ist.

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With 1 figure     

Die Integralgleichungen der Kippung gerader Träger mit dünnwandigen,offenen und doppeltsymmetrischen Profilen

Zusammenfassung Es werden die Integralgleichungen des Kipp-Problems des geraden TrÄgers mit dünnwandigem, doppeltsymmetrischem und offenem Profil aufgestellt. Man verwendet hierfür die Methode der Variation der Konstanten von Lagrange. Einfache FÄlle, bei denen die exakten Lösungen teils vorliegen, teils berechnet wurden, zeigen die Güte der NÄherungen, welche die Erhard-Schmidtsche Ungleichung und 4- bzw. 9-reihige Matrizen liefern. Eine schÄrfere und allgemeinere Untersuchung, sowie die Berechnung der noch nicht vorliegenden, praktisch interessierenden FÄlle erfolgt demnÄchst. Hierbei werden auch die Integralgleichungen des KipptrÄgers mit einfach-symmetrischem Profil mitgeteilt und insbesondere der KragtrÄger behandelt. Weiterhin ist die Bestimmung der Biegedrillknick- und KippstabilitÄt von DurchlauftrÄgern mit doppeltsymmetrischen Profilen Gegenstand einer weiteren Arbeit.Es ist dem Verfasser eine angenehme Pflicht, seinem verehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr.-Ing. K. Karas ferner Herrn Dr. W. Börsch-Supan vom Institut für Praktische Mathematik für ihre Unterstützung zu danken.     

Zur praktischen Berechnung linear-viskoelastischer Probleme

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß bei Verwendung integraler Materialgesetze für das linear-viskoelastische Material Strukturen auftreten, die für eine direkte Angabe der viskoelastischen Lösung aus der elastischen Lösung genutzt werden können. Bei einfachen Problemen können die Kombinationen von Materialkonstanten in der elastischen Lösung durch Kombinationen von Kriech- oder Relaxationsfunktionen ersetzt werden. Im allgemeinen müssen sehr einfache Integralgleichungen vom Typ eines Faltungsintegrals gelöst werden. Damit ist ein Weg angegeben, der auch bei beliebiger Form der Kriechfunktion gangbar ist und als eine Verallgemeinerung des ersten Korrespondenzprinzips angesehen werden kann.

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Summary It is shown that using integral type constitutive laws of linear-viscoelastic materials there are structures to be seen which allow the direct solution of viscoelastic problems from elastic solutions. For simple problems the combinations of material constants in the elastic solution can be replaced by creep or relaxation functions, but in general very simply integral equations of convolution type have to be solved. The described method gives an elastic-viscoelastic analogy applicable also to creep functions which can not be described by rheological methods.

Mit 2 Abbildungen und 3 Tabellen     

Testing of a constitutive equation with free volume dependent relaxation spectrum

Summary A model of non-linear viscoelasticity with relaxation times dependent upon free volume is here proposed. The free volume is related to the isotropic part of the stress tensor by means of a simple differential equation.The model predictions are compared with a large amount of experimental results taken on polymeric melts or concentrated solutions and reported in the literature. The single parameter of the model is determined, within each set of data, by fitting of the viscosity curve. A satisfactory agreement is obtained with data taken under both elongation and shear for which also the relaxation behavior after single and double strain steps is considered.

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Zusammenfassung Es wird das Modell einer nicht-linear viskoelastischen Flüssigkeit vorgeschlagen, bei dem die Relaxationszeiten vom freien Volumen abhängen. Das freie Volumen wird dabei durch eine einfache Differentialgleichung mit dem isotropen Teil des Spannungstensors verknüpft.Die Voraussagen des Modells werden mit einer großen Anzahl von experimentellen Ergebnissen an Polymerschmelzen und konzentrierten Lösungen verglichen, die in der Literatur mitgeteilt sind. Der einzige Parameter des Modells wird für jeden Datensatz durch Anpassung der Viskositätskurve bestimmt. Man erhält eine befriedigende Übereinstimmung für die Meßwerte sowohl von Dehn- als auch von Scherversuchen, wobei ebenfalls das Relaxationsverhalten nach dem Aufprägen einfacher und doppelter Dehnungsstufen betrachtet wird.

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With 16 figures and 1 table     

Lateral post-buckling analysis of beams

Summary The nonlinear lateral buckling response of perfect stocky beams in the vicinity of the critical bifurcational state is discussed. Attention is focused on the initial post-buckling response. This depends on the nature of the critical branching point which is explored by using a nonlinear (lateral) bending-curvature relationship. It is found that the plane of loading (associated with the major moment of inertia) looses its stability through a stable symmetric bifurcation point. Hence, the above beams are not sensitive to imperfections, exhibiting post-buckling strength. However, the post-buckling equilibrium path is quite shallow, so that the load-carrying capacity of such beams above the critical state is rather limited. The analysis is supplemented by illustrative examples forI-beams for which the effect of various parameters on the initial postbuckling path is also discussed.

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Analyse des lateralen nachkritischen Knickverhaltens von Balken

Übersicht Das nichtlineare Knickverhalten von perfekten gedrungenen Balken in der Nachbarschaft des kritischen Verzweigungspunktes wird untersucht, wobei sich die Aufmerksamkeit insbesondere auf den Beginn der nachkritischen Phase richtet. Diese hängt vom Charakter des kritischen Verzweigungspunktes ab, der seinerseits mit Hilfe einer nichtlinearen (lateralen) Biegemoment-und Krümmungs-Beziehung analysiert wird. Es zeigt sich, daß die Stabilität in der Belastungsebene-verbunden mit dem maximalen Flächenmoment zweiter Ordnung-über einen stabilen symmetrischen Verzweigungspunkt verlorengeht. Daher sind solche Balken unempfindlch gegenüber Imperfektionen, sie zeigen nachkritische Belastbarkeit. Der nachkritische Gleichgewichtspfad ist jedoch sehr flach, so daß die Tragfähigkeit dieser Balken oberhalb des kritischen Zustandes recht begrenzt ist. Die Untersuchung ist durch illustrative Beispiele für I-Balken untermauert, für welche der Einfluß der verschiedenen Parameter auf den anfänglichen nachkritischen Pfad herausgearbeitet wird.

     

On two methods of determining the ellipses and ellipsoids of positioning accuracy of robot manipulators

Summary When analysing the problem of the positioning accuracy of robot manipulators it is important to know how far random deviations of the hand may be from the desired position if the joint positioning errors possess a normal distribution. Two methods of determining the ellipses and ellipsoids of probability concentration are compared. The first of them is based on the standard procedure of the probability calculus. The second approximate method consists in finding at first the polygon or polyhedron of the positioning accuracy, and then in finding the ellipse or ellipsoid with principal axes and second order moments coinciding with those of the polygon or polyhedron, respectively. Examples of application demonstrate that these two methods give very close results.

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Zwei Methoden zur Bestimmung der Ellipsen und Ellipsoide der Positioniergenauigkeit von Handhabungsrobotern

Übersicht Bei der Untersuchung der Positioniergenauigkeit von Handhabungsrobotern ist es wichtig, die Größe zufälliger Abweichungen des Greifers von der erstrebten Position zu kennen, wenn die Lagefehler der Verbindungen eine Normalverteilung besitzen. Es werden zwei Methoden zur Bestimmung der Ellipsen bzw. Ellipsoide der Wahrscheinlichkeitsdichte verglichen. Die erste beruht auf dem Standardverfahren der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die zweite Näherungsmethode besteht darin, daß zunächst das Polygon bzw. Polyeder der Positioniergenauigkeit bestimmt wird und danach die Ellipse bzw. das Ellipsoid mit den Hauptachsen und Momenten zweiter Ordnung wie das Polygon oder Polyeder. Beispiele zeigen, daß beide Methoden zu sehr ähnlichen Ergebnissen führen.