广义节点有限元法

应用流形方法思想,通过引入广义节点的概念,对传统有限元方法进行改进,建立了可具有任意高阶多项式托值函数的广义节点有限元方法,计算结果表明,广义节点有限元方法较之传统有限元方法有较高的精度。     

配点型广义节点无网格法的基本原理及其应用

借鉴流形方法思想,引入广义节点的概念,对传统的无网格法进行了改进,建立了可具有任意高阶多项式插值函数的广义节点无网格方法。同时采用径向插值函数构造具有插值特性的逼近函数;采用配点法建立系统的离散方程。在阐述了这种方法基本原理的同时,针对线弹性力学问题给出了这种方法的数值计算列式。与传统无网格方法相比,这种方法更具有一般性;同时由于采用了配点法而不需要背景积分网格,所以可以认为这种方法是某种真正意义上的无网格法。当选取0阶广义节点位移插值函数时便可得到传统的无网格法;在不增加支持域内节点数目的条件下,通过选取高阶广义节点位移插值函数可以提高计算精度。最后通过算例分析,对0阶、1阶及2阶广义节点无网格法与现有的有关解答进行了对比,论证了其合理性。     

节点梯度光滑有限元配点法

配点法构造简单、计算高效, 但需要用到数值离散形函数的高阶梯度,而传统有限元形函数的梯度在单元边界处通常仅具有C$^{0}$连续性,因此无法直接用于配点法分析. 本文通过引入有限元形函数的光滑梯度,提出了节点梯度光滑有限元配点法. 首先基于广义梯度光滑方法,定义了有限元形函数在节点处的一阶光滑梯度值,然后以有限元形函数为核函数构造了有限元形函数的一阶光滑梯度,进而对一阶光滑梯度直接求导并用一阶光滑梯度替换有限元形函数的标准梯度,即完成了有限元形函数二阶光滑梯度的构造.文中以线性有限元形函数为基础的理论分析表明,其光滑梯度不仅满足传统线性有限元形函数梯度对应的一阶一致性条件,而且在均布网格假定下满足更高一阶的二阶一致性条件.因此与传统线性有限元法相比,基于线性形函数的节点梯度光滑有限元法的$L_{2}$和$H_{1}$误差均具有二次精度,即其$H_{1}$误差收敛阶次比传统有限元法高一阶, 呈现超收敛特性.文中通过典型算例验证了节点梯度光滑有限元配点法的精度和收敛性,特别是其$H_{1}$或能量误差的精度和收敛率都明显高于传统有限元法.      

非均质材料动力分析的广义多尺度有限元法

自然界和工程中的大部分材料都具有多尺度特征,当考察尺度小到一定程度后,都将表现出非均质性.针对非均质材料的动力问题,提出了一种广义多尺度有限元方法,其基本思想是利用静态凝聚法以及罚函数法构造能够反映单元内部材料非均质特性的多尺度位移基函数.与传统扩展多尺度有限元法中的基函数构造方式不同,广义多尺度有限元法的基函数无需通过在子网格域上多次求解椭圆问题得到,而可直接通过矩阵运算获得.其主要步骤如下:利用数值基函数将一个非均质单胞等效为一个宏观单元,进而形成整个结构的等效刚度矩阵,并得到宏观网格的节点位移,最后再次利用数值基函数得到微观尺度上的位移结果.该广义多尺度有限元法是扩展多尺度有限元法的一种新的拓展,可模拟具有更加复杂几何的非均质单胞的力学行为.通过数值算例,模拟了非均质材料的静力问题、广义特征值问题以及瞬态响应问题,计算结果表明:在边界条件一样的情况下,广义多尺度有限元法的计算结果与传统有限元的计算结果保持高度一致.与传统有限元相比,该方法在保证计算精度的同时极大地提高了计算效率.研究结果表明,广义多尺度有限元法能够很好地模拟非均质单胞的力学行为,具有良好的工程应用潜力.     

一种新型的薄板弯曲单元

本文将薄板弯曲问题的4阶微分方程,化为两个2阶微分方程,并提出了一个与之相应的三变量广义变分原理,然后从这个原理出发,进行有限元求解。该方法不但成功地将C~1连续性条件降为C~0问题,而且降低了板单元的自由度数目,同时单元的精度也是令人满意的。     

广义有限差分法在含阻抗边界空腔声学分析中的应用

声学分析在噪声控制、室内隔音等工程计算中有着重要的作用. 由于现实生活中的声学模型往往伴随着吸声材料, 因此分析含阻抗边界条件的声学问题显得十分必要. 广义有限差分法是一种新型区域型无网格数值离散方法, 该方法基于多元函数泰勒级数展开式和加权最小二乘拟合, 将控制方程中未知参量的各阶偏导数表示为相邻节点函数值的线性组合. 本文首次将广义有限差分法应用于含阻抗边界条件空腔声学问题的分析中, 建立了空腔声场问题的广义有限差分法数值离散格式. 与传统算法相比, 所建立的数值模型具有无需网格剖分和数值积分、计算精度高、适用于大规模声学分析等优点. 通过具有解析解的经典算例, 研究了总节点数目和局部支撑点数目对数值结果的影响, 得到了最大计算频率与节点间距之间关系的经验公式. 此外, 将广义有限差分法应用于无解析解的二维和三维复杂声学模型, 并与COMSOL Multiphysics软件所得的有限元结果进行了比较分析. 数值实验表明, 该算法是一种高效、精确、稳定、收敛的数值模拟方法, 在含阻抗边界空腔声学分析中具有广阔的应用前景.      

广义有限元方法──一类新的逼近空间

本文提出了一类新的有限元空间，它把每个节点只有一个广义位移的Ｌａｇｒａｎｇｅ型插值空间推广为每个节点具有任意多个广义位移的任何级数展开式。它包括了解析法和Ｂａｂｕｓｋａ的Ｐ－ｖｅｒｓｉｏｎ方法。由于它保持了空间的协调性，并且全部自由度都定义在节点上，故程序实现简单，易被传统的有限元软件接纳。本文还给出了这一新空间的误差估计。     

非节点连接有限元及其在加筋结构中的应用

针对现有加筋结构有限元模型的不足,提出了自由度层次的非节点连接方法.加筋单元的各节点可位于一个或多个其它单元内部,内节点的自由度无需全部与母单元的位移场一致;通过在节点坐标系下对内节点设置独立自由度,可模拟加筋构件与基体材料之间的粘结滑移、无粘结和体外布置等位移不连续性.节点为内节点的单元的刚度矩阵和荷载向量利用虚功原理变换到对应于其广义自由度向量的形式,按照广义自由度的位置向结构整体刚度矩阵和荷载向量组装,以此实现单元问非节点位置的连接.利用开发的有限元软件计算了多个算例,验证了非节点连接方法用于加筋结构有限元建模的正确性和便利性.     

无额外自由度广义有限元非线性分析

将无额外自由度的广义有限元法由线弹性分析扩展到弹塑性大变形分析.局部强化函数的构建依赖于已有节点,不引入额外自由度,避免了线性相关性问题.在更新拉格朗日框架下,通过控制方程弱形式的线性化推导得到了节点内力的率形式,并分为材料和几何两部分.考虑超弹性和亚弹-塑性两种材料模型,采用Newton-Raphson迭代求解,给出了相关的一致切线刚度阵.三个典型算例的数值结果表明,本文发展的非线性无额外自由度广义有限元方法不仅能够准确求解超弹性和弹塑性大变形问题,同时相比于传统的线性有限元方法具有更高的精度.本文工作进一步拓宽了无额外自由度广义有限元方法的应用领域.     

基于Cosserat理论的广义协调元法

首次将广义协调元理论与Cosserat理论相结合,构造了一个基于Cosserat理论的平面四节点广义协调等参元。依据常应力与线性应力下的广义协调条件,推导了广义协调位移,进而得到有限元列式。利用广义协调元,一方面克服了协调元过于刚硬的缺点,另一方面消除了非协调元不一定收敛的弱点。分析了带有圆孔的应力集中问题,可以看出,...     

多边形有限元研究进展

有限元法是数值求解偏微分方程边值问题的重要方法, 采用 不规则多边形单元网格, 可以方便有效地模拟材料的力学性能, 又使得区域网格剖分变得灵 活方便. 特别是对于复杂的几何形状, 多边形单元网格具有更大的优势. 本文对国内外有关 多边形有限元法的最新进展作了初步的总结和评述, 主要以基于位移法的多边形有限元为主. 论述了多边形有限元的发展历史, 给出了多边形单元上的Wachspress插值、Laplace插值和 重心坐标的一些最新研究成果. 与经典有限元法形函数为多项式形式不同, 多边形单元的形 函数为有理函数或者无理函数形式. 多边形单元插值形函数满足线性完备性, 可以再现线性 位移场, 像经典有限元法一样直接施加本质边界条件; 插值函数在多边形的边界上是线性的, 确保不同单元间的自动协调. 不同单元的插值形函数表达公式形式统一, 方便混合单元网格 计算的程序编写. 提出了多边形有限元法今后需要研究的问题.     

非匹配结点的有限单元等参插值方法及其应用研究

针对两零件的异构网格单元结点在接触界面不能相互匹配导致结点属性不能连续过渡和传递的问题,提出非匹配结点的有限单元等参插值方法,通过构建非匹配结点的形函数和修正原结点的形函数,将结点属性值的影响范围限制在可控的局部区域,从而实现两异构网格结点属性在接触界面的连续过渡和传递。通过两个异构的四边形单元网格的结点属性在接触界面的过渡实例和啮合齿轮的接触分析应用,验证了该方法的正确性和有效性。     

自由单元法及其在结构分析中的应用

通过吸收有限元与无网格法的优点,提出了一种新的数值方法------自由单元法.此方法在离散方面,采用有限元法中的等参单元,表征几何形状和进行物理量的插值;在算法方面,采用单元配点技术,逐点产生系统方程.主要特点是,在每个配置点只需要一个和周围自由选择的节点而形成的一个独立的等参单元,因而不需要考虑物理量在单元之间的相互连接关系与导数连续性问题. 本文介绍强形式与弱形式两种自由单元法,前者直接由控制方程和边界条件直接产生系统方程,后者通过在自由单元上建立控制方程的加权余量式产生弱形式积分式,并通过像传统有限元法中的积分过程建立系统方程组.本文提出的方法是一种单元配点法,对于域内点为了获得较高的导数精度,需要采用至少具有一个内部点的等参单元,为此除了可使用各阶次的拉格朗日四边形单元外, 还 给出了七节点三角形等参单元,用于模拟较为复杂的几何形状问题.      

非网格重剖分模拟宏观裂纹体的扩展有限单元法(Ⅰ:基础理论)

基于有限元计算网格,扩展有限单元法通过建立特殊的广义节点插值形式来描述含裂缝体的不连续位移场,避免了有限元法模拟裂缝时需要的网格重划分。进而,本文从虚功原理出发,在有限元法框架内完整地推导了能模拟宏观裂纹力学场的扩展有限元法实现公式,在理论上更全面地考虑了内部裂纹面上分布外载荷及缝内粘连材料刚度的影响,并提出了构建统一的扩展有限单元刚度阵形成模式,保证了与传统有限单元方式的协调一致。文中对方法的实现过程也做了详细阐述,给出了通用的计算公式,确保了算法的可行性。     

NODAL DISPLACEMENT ACCURACY OF ONE-DIMENSIONAL FINITE ELEMENTS

研究高次杆单元和梁单元的节点位移精度问题.首先求出一端固支均匀杆和悬臂梁在任意次多项式形式分布载荷作用下的位移精确解,然后用二次杆单元、五次欧拉梁单元和三次铁木辛柯梁单元求得了节点位移.通过比较有限元解与精确解以及利用静力凝聚方法,发现一次以上杆单元、三次以上欧拉梁单元以及三次以上铁木辛柯梁单元都可以给出精确的端点位移.     

基于等几何分析的比例边界有限元方法

提出了一种具有比例边界有限元的半解析特性和等几何分析的几何特性的新方法。该新方法是在比例边界有限元框架中用NURBS曲线或曲面精确描述域边界几何形状,同时域边界位移场采用描述几何形状的NURBS形函数等参构造。这种新方法具有比例边界有限元固有的径向解析特性和NURBS的高阶连续性的优点。数值算例显示,与传统的比例边界有限元相比,基于等几何分析的比例边界有限元方法提高了域边界单元和域内应力场的连续性,减少了计算自由度。应用此方法可以用较少的计算自由度获得更高连续阶和更高精度的位移、应力和应变场。     

二阶非自伴两点边值问题Garlerkin有限元的超收敛算法

提出了基于改进位移模式的二阶非自伴两点边值问题Garlerkin有限元的超收敛算法. 用常规有限元解的位移模式与高阶有限元解的位移模式之和构造新的位移模式,基于Garlerkin 方法,采用积分形式推导了单元平衡方程. 对于线性单元,本文给出了有代表性的算例,结点和单元的位移、导数都达到了h⁴阶的超收敛精度.     

A novel twice-interpolation finite element method for solid mechanics problems

Formulation and numerical evaluation of a novel twice-interpolation finite element method （TFEM） is presented for solid mechanics problems. In this method, the trial function for Galerkin weak form is constructed through two stages of consecutive interpolation. The primary interpolation follows exactly the same procedure of standard FEM and is further reproduced according to both nodal values and averaged nodal gradients obtained from primary interpolation. The trial functions thus constructed have continuous nodal gradients and contain higher order polynomial without increasing total freedoms. Several benchmark examples and a real dam problem are used to examine the TFEM in terms of accuracy and convergence. Compared with standard FEM, TFEM can achieve significantly better accuracy and higher convergence rate, and the continuous nodal stress can be obtained without any smoothing operation. It is also found that TFEM is insensitive to the quality of the elemental mesh. In addition, the present TFEM can treat the incompressible material without any modification.     

12结点三维等参奇异单元的构造和应用

通过改变三维8结点六面体等参单元的结点位置、结点数目和形函数,构造了一种12结点三维等参奇异单元,该单元的应力场具有1/(√r)奇异性,可以模拟裂缝前沿的奇异应力场;该单元的位移模式在其中两个坐标方向是线性变化的,因此,该单元与线性单元连接时不需要过渡单元,仍能保证交界面位移协调,克服了20结点三维等参奇异单元不能与线性单元协调连接的缺陷;文章最后将该奇异单元布置在裂缝前沿,应用有限元法计算了三点弯曲梁预制裂缝前沿的应力强度因子,该结果与规范公式计算值基本一致.