参变量变分原理的提出、发展与应用

参变量变分原理及其参数二次规划算法是由钟万勰院士1985年针对弹性接触边界非线性问题首次提出来的，经过将近40年的不断发展，目前参变量变分原理已经成功应用于各个领域，其中包括弹塑性分析、接触问题、润滑力学、岩土力学、变刚度杆系结构、先进材料性能分析、材料的蠕变与损伤、柔性结构力学和LQ最优控制等各个工程领域。本文首先回顾了参变量变分原理的起源，介绍了参变量变分原理的基本概念，然后以弹塑性分析问题为例，阐明建立参变量变分原理的理论模型以及实现数值参数二次规划求解原理，最后详细回顾了参变量变分原理的基本理论与相应数值算法在各个领域的发展及其工程应用，展示了参变量变分原理在求解各类非线性问题的特色与优势。     

一类铁电模型的参变量变分原理及其应用

将参变量变分原理引入铁电问题。对一类借用了经典弹塑性理论中的概念和方法的多轴铁电模型建立基于Helmholtz自由能的参变量变分原理,可以有效处理传统变分原理中由非关联流动法则或屈服面不考虑材料系数变化所引起的切线模量非对称困难。相应于参变量变分原理,引入参数二次规划算法,可获得具有可靠数值稳定性的一套铁电算法。将该算法应用于一个具体的铁电模型,数值计算结果表明本文方法的有效性。     

索网天线的参变量变分及非线性有限元方法

针对大型周边桁架式索网天线由拉索拉压模量不同引起的本构非线性和结构大变形引起的几何非线性问题,给出了基于参变量变分原理的几何非线性有限元方法.首先针对含预应力索单元拉压模量不同分段描述的本构关系,通过引入参变量,导出了基于参变量及其互补方程的统一描述形式,避免了传统算法需要根据当前变形对索单元张紧/松弛状态的预测,提高了算法收敛性.然后利用拉格朗日应变描述索网天线结构大变形问题,结合几何非线性有限元法,建立了基于参变量的非线性平衡方程和线性互补方程;并给出了牛顿--拉斐逊迭代法与莱姆算法相结合的求解算法.数值算例验证了本文提出的算法比传统算法具有更稳定的收敛性和更高的求解精度,特别适合于大型索网天线结构的高精度变形分析和预测.     

THE PARAMETRIC VARATIONAL PRINCIPLE AND NON-LINEAR FINITE ELEMENT METHOD FOR ANALYSIS OF ASTROMESH ANTENNA STRUCTURES

针对大型周边桁架式索网天线由拉索拉压模量不同引起的本构非线性和结构大变形引起的几何非线性问题,给出了基于参变量变分原理的几何非线性有限元方法. 首先针对含预应力索单元拉压模量不同分段描述的本构关系,通过引入参变量,导出了基于参变量及其互补方程的统一描述形式,避免了传统算法需要根据当前变形对索单元张紧/松弛状态的预测,提高了算法收敛性. 然后利用拉格朗日应变描述索网天线结构大变形问题,结合几何非线性有限元法,建立了基于参变量的非线性平衡方程和线性互补方程;并给出了牛顿-拉斐逊迭代法与莱姆算法相结合的求解算法. 数值算例验证了本文提出的算法比传统算法具有更稳定的收敛性和更高的求解精度,特别适合于大型索网天线结构的高精度变形分析和预测.     

基于参变量变分原理的非均质多边形微结构材料弹塑性分析

为了更好地模拟复合材料及含夹杂非均质材料等的宏观弹塑性力学性能,简化有限元建模时间和减少有限元模拟计算量。本文基于参变量变分原理,提出了一种采用任意多边形弹塑性单元进行结构非线性分析的参数二次规划算法,给出了参变量最小势能原理以及最终的二次规划模型,并在有限元分析与优化设计软件系统JIFEX上进行了程序实现。数值算例证明了本文方法的正确与可行性。     

基于参变量变分原理的直升机系留载荷高性能计算方法

为了保证直升机在舰船上的安全性,必须使用系留设备将直升机系留在舰船上。直升机的系留问题可简化为由机身刚体、索具和起落架组成的杆件系统,索具只承受拉力而不承受压力,起落架只承受压力而不承受拉力。因此,直升机系留问题为典型的强非线性问题,需要发展有效的求解算法。在考虑大变形的情况下,基于参变量变分原理建立了求解直升机系留载荷的高性能计算方法。 该方法利用参变量变分原理能够准确判断索具和起落架的拉压状态,并将材料非线性静力问题转换为线性静力互补问题求解,极大地提高了结果的收敛性。数值算例中,通过与有限元通用软件NASTRAN和ABAQUS计算结果比较,证实了该方法的精确性、收敛性及高效性。     

索网天线找形分析的参变量变分有限元法

针对柔性空间索网天线的非线性特点,建立了基于参变量变分描述索网拉压非线性和共旋列式描述几何非线性的有限元控制方程,应用Lernke与改进牛顿法进行求解.通过对索网预张力平衡计算,证明改进牛顿法比Newton-Raphson法具有更强的收敛能力.进一步将力密度法迭代原理与有限元法结合应用于索网天线的非线性找形分析中,获得了理想的索网构型.本文的索网找形方法可广泛应用于空间索网天线结构的设计.     

弹塑性问题的边界元—流动因子线性互补解

1.前言尽管求解弹塑性问题已有许多方法,但一般来说,如不采用迭代法则不可避免地会产生有效应力偏离屈服面的“漂移”现象.从近代发展起来的变分不等式和参变量变分原理出发所建立起来的有限元方程,较成功地把数学规划理论应用到非线性本构关系的应力分析中.本文方法与以往方法的最大区别在于,将边界元方程与弹塑性屈服准则联立,导出了按增量求解的线性互补方程.因此对任一荷载增量步,通过求解一次线性互补方程,将使边界元方程和屈服准则同时满足,从而既无须迭代又避免了有效应力的漂移.并且也适用于非法向的屈服流动、随机强化模型及Drucker-Prager 模型等.与文献[1-4]的     

解Drucker-Prager塑性问题的二阶锥互补法

基于经典弹塑性理论中多数屈服准则具有凸锥数学结构的事实,将在大规模计算中更具潜力的锥规划法引入弹塑性分析。考虑到弹塑性流动理论有关联与非关联之分,本文提出利用锥型互补法求解弹塑性问题。具体以Drucker-Prager弹塑性模型为例,首先利用最大塑性功耗散原理和圆锥对偶理论等工具,建立了弹塑性本构方程的等价二阶锥互补模型;然后,基于参变量变分原理和有限元技术,建立了弹塑性增量分析的二阶锥线性互补模型;最后,利用一类半光滑Newton算法求解。数值算例表明了本文方法的有效性。     

输入受限LQ控制的参变量变分原理和算法

在最优控制理论中根据模拟理论思想发展了塑性力学和接触力学中的参变量 变分原理, 并建立了控制输入受限的线性二次(linear quadratic, LQ)最优控制问题的求解新方程---耦合的Hamilton正则 方程与线性互补方程. 通过将连续时间离散成一系列等间距时间区段, 在离散时域内采用参 数二次规划方法给出数值求解输入受限的LQ最优控制问题的新算法. 数值仿真验证 了该算法在求解控制输入受限的LQ最优控制问题中的有效性, 并且该算法具有较快 的收敛性, 在大步长下具有较高的计算精度.     

弹塑性体脆断相场模型的一致性无单元伽辽金法

采用无单元伽辽金法（EFG）对弹塑性体脆性断裂的相场模型进行了数值实现。利用无单元法便于构建高阶近似函数的优势，位移和相场均采用二阶移动最小二乘（MLS）近似。刚度阵的数值积分采用更为高效的二阶一致三点积分格式QC3（Quadratically Consistent 3-point integration scheme）。本构算法采用Newton-Raphson迭代和弹塑性一致性切线模量。数值结果表明了本文方法模拟弹塑性体脆性断裂的有效性。     

基于线性互补模型的梯度塑性连续体无网格方法

对梯度塑性连续体提出了一个归结为线性互补问题的数值分析方法. 塑性乘子与位移均 为主要未知变量，并采用基于移动最小二乘的无网格方法分别在积分点与节点上插值. 联立 弱形式下的平衡方程与积分点上逐点满足的非局部本构方程和屈服准则可以导出一个线性互 补问题，并通过Lexico-Lemke算法求解. 构造了一个基于N-R方法的迭代方案，使得不需要 形成一致性切线刚度矩阵而仍保持二阶收敛性. 一维和二维的数值算例证明了所提出的方 法处理由应变软化引起的应变局部化问题的有效性.     

Geometrical nonlinear elasto-plastic analysis of tensegrity systems via the co-rotational method

An efficient finite element formulation is presented for geometrical nonlinear elasto-plastic analyses of tensegrity systems based on the co-rotational method. Large displacement of a space rod element is decomposed into a rigid body motion in the global coordinate system and a pure small deformation in the local coordinate system. A new form of tangent stiffness matrix, including elastic and elasto-plastic stages is derived based on the proposed approach. An incremental-iterative solution strategy in conjunction with the Newton-Raphson method is employed to obtain the geometrical nonlinear elasto-plastic behavior of tensegrities. Several numerical examples are given to illustrate the validity and efficiency of the proposed algorithm for geometrical nonlinear elasto-plastic analyses of tensegrity structures.     

正交各向异性稳态热传导问题的ICVEFG方法

本文将改进的复变量无单元Galerkin方法（Improved Complex Variable Element-free Galerkin method，ICVEFG）应用于求解正交各向异性介质中的稳态热传导问题，提出了正交各向异性稳态热传导问题的ICVEFG方法。采用罚函数法引入本质边界条件，推导了正交各向异性介质中的稳态热传导问题的Galerkin积分弱形式。采用改进的复变量移动最小二乘近似（Improved Complex Variable Moving least-squares approximation，ICVMLS）建立二维温度场问题的逼近函数，推导了相应的计算公式。编制了计算程序，对三个正交各向异性介质中的热传导问题进行了分析，说明了本文方法的有效性。     

DESIGN OPTIMIZATION FOR TRUSS STRUCTURES UNDER ELASTO-PLASTIC LOADING CONDITION

In this paper, a method for the design optimization of elasto-plastic truss structures is proposed based on parametric variational principles (PVPs). The optimization aims to find the minimum weight/volume solution under the constraints of allowable node displacements. The design optimization is a formulation of mathematical programming with equilibrium constraints (MPECs). To overcome the numerical difficulties of the complementary constraints in optimization, an iteration process, comprising a quadratic programming (QP) and an updating process, is employed as the optimization method. Furthermore, the elasto-plastic buckling of truss members is considered as a constraint in design optimization. A combinational optimization strategy is proposed for the displacement constraints and the buckling constraint, which comprises the method mentioned above and an optimal criterion. Three numerical examples are presented to show the validity of the methods proposed.     

非均质饱和多孔介质弹塑性动力分析的广义耦合扩展多尺度有限元法

针对非均质饱和多孔介质弹塑性动力问题分析提出了一种广义耦合扩展多尺度有限元方法。首先,提出了基于细尺度等效刚度阵的粗尺度单元数值基函数构造方法,并给出了构造数值基函数的一般公式,所构造的耦合数值基函数有效考虑了动力相关效应与固液之间的耦合效应。其次,针对弹塑性非线性问题迭代求解,给出了基于摄动方法的位移与孔隙压强降尺度计算修正方案。最后,针对材料的强非均质特征,利用多节点粗单元技术来提高多尺度有限元方法的计算精度。通过与基于精细网格的传统有限元分析结果对比,验证了本文所提出方法的有效性与高效性。     

摩擦接触弹塑性分析的数学规划法

本文提出摩擦接触弹塑性分析的数学规划法,是弹性接触问题解法的推广,使之能处理比例加载时的塑性效应。利用所导出接触问题总刚度阵的逆,结合参变量线性互补公式,仍可消去由接触单元而引入的惩罚因子。于是,可以获得一个弹塑性问题、弹性接触和弹塑性接触问题的有限元参数二次规划法模型。所选的几个实例说明了方法的实用性。     

A new immersed boundary method for compressible Navier–Stokes equations

This paper presents an immersed boundary method for compressible Navier–Stokes equations in irregular domains, based on a local radial basis function approximation. This approach allows one to define a reconstruction of the radial basis functions on each irregular interface cell to treat both the Dirichlet and Neumann boundary conditions accurately on the immersed interfaces. Several numerical examples, including problems with available analytical solutions and the well-documented flow past an airfoil, are presented to test the proposed method. The numerical results demonstrate that the proposed method provides accurate solutions for viscous compressible flows.     

有限变形弹塑性理论及一致性算法

通过对对数应变的引用，成功地将小变形弹塑性理论移植到有限变形之中，形成了一套完整的有限变形弹塑性理论，进一步发展了具有一阶精度的一致性弹塑性算法。最后，给出几个算例以证明此理论的正确性及算法的有效性。     

Effective numerical methods for elasto-plastic contact problems with friction

Several effective numerical methods for solving the elasto-plastic contact problems with friction are presented. First, a direct substitution method is employed to impose the contact constraint conditions on condensed finite element equations, thus resulting in a reduction by half in the dimension of final governing equations. Second, an algorithm composed of contact condition probes and elasto-plastic iterations is utilized to solve the governing equation, which distinguishes two kinds of nonlinearities, and makes the solution unique. In addition, Positive-Negative Sequence Modification Method is used to condense the finite element equations of each substructure and an analytical integration is introduced to determine the elasto-plastic status after each time step or each iteration, hence the computational efficiency is enhanced to a great extent. Finally, several test and practical examples are presented showing the validity and versatility of these methods and algorithms. The Project Supported by National Natural Science Foundation of China.