轴向受压螺旋杆的平衡稳定性

在Kirchhoff动力学比拟基础上讨论端部受轴向压力作用的圆截面弹性细杆的螺旋线平衡稳定性问题．弹性杆的平衡状态由Euler角描述的弹性杆平衡方程的特解确定．从Lyapunov或Euler的不同稳定性概念出发,对弹性杆的平衡稳定性的判断可得出不同的结果．根据一次近似扰动方程判断,弹性杆的螺旋线状态和圆环状态恒满足Lyapunov稳定性条件．但螺旋杆在轴向压力到达临界值时,圆环杆在扭转数到达临界值时将产生屈曲而丧失Euler稳定性．导出临界载荷和临界扭转数的计算公式．螺旋杆的临界载荷取决于螺旋线的高度和螺旋角：螺旋角趋近于π／2时螺旋杆转化为带扭率的直杆,其临界载荷的极限值与压杆的Euler载荷一致．文中对两类不同稳定性概念的区别和联系作出解释．     

弹性杆盘绕折叠的力学分析

以可伸展空间结构元件的盘绕折叠过程为工程背景,分析受圆柱面单面约束的弹性直杆变形为螺旋杆,最终压缩为叠放的平面圆环的变形过程.对此空间大变形的分析不允许利用小变形假设进行简化.由于约束力的存在,也不能直接利用忽略分布力的Kirchhoff弹性杆方程.本文以表述截面姿态的欧拉角为变量,建立受圆柱面约束弹性杆平衡的非线性方程.利用方程的初积分计算杆截面的内力和力矩.忽略盘绕过程的惯性效应,将参数连续改变的螺旋线状态作为杆盘绕过程中的准平衡状态.导出为实现盘绕过程需要施加的轴向压力和扭矩随螺旋角的变化规律.根据一次近似稳定性理论分析得出:两端铰支弹性杆当相对扭率为零时不能保证螺旋线平衡的稳定性.若杆端支承允许存在相对扭转,则轴向压力和扭矩按文中确定的规律变化时可以保证盘绕过程的稳定性.     

非圆截面弹性细杆的平衡稳定性与分岔

本文研究存在初始曲率或挠率的非圆截面弹性细杆的平衡及稳定性问题,在两端受力矩单儿作用的条件下,杆的平衡微分方程可转换为用欧拉角表述的一阶自治系统,并有可能利用相平面的奇点理论分析弹性细杆平衡状态的稳定性,文中对杆截面的对称性,以及杆的初始曲率和挠率对平衡状态性的影响进行了定性分析,导出了解析形式的稳定性判据,揭示了杆平衡状态的列态分岔现象。     

弹性细杆螺旋线平衡的动态稳定性

本文从动力学观点讨论具有初扭率的非圆截面弹性细杆的螺旋线平衡稳定性。弹性杆平衡的动态稳定性建立在以弧坐标s和时间坐标t为双自变量的离散系统的Lyapunov稳定性概念基础上。对于两端约束状况固定不变的弹性杆，若静态稳定性条件已满足，其与弧坐标对应的本征值可根据端部约束条件确定。则螺旋线平衡的动态稳定性由时间域的本征值判断。在缓慢受扰运动条件下，引入尺度缩小的时间变量T=εt，可将动力学过程视为对平衡状态的摄动。证明在ε^2计算精度范围内，当螺旋线平衡的一次近似静态稳定性条件得到满足时，考虑动力学因素的稳定性条件必也同时满足。     

Kovalevskaya弹性杆

应用Kirchhoff比拟讨论Kovalevskaya情况弹性细杆的平衡稳定性问题．导出Kirchhoff方程的解析积分．对于杆截面的主轴与Frenet坐标轴重合的无扭转杆的特殊情形作定性分析，讨论其平衡状态的稳定性与分岔．证明了判断受拉扭作用的圆截面直杆平衡稳定性的Greenhill公式也适用于Kovalevskaya情形的非圆截面杆．     

受圆柱面约束弹性杆的平衡与稳定性

讨论受圆柱面约束的圆截面弹性杆的平衡与稳定性。以描述截面姿态的欧拉角为变量,建立受约束弹性杆的平衡方程。利用方程的初积分导出约束力、截面内力及挠性线的解析表达式。作为特殊的平衡状态,讨论杆的螺旋线平衡的存在条件。用相平面法分析螺旋线平衡的稳定性,导出解析形式的稳定性条件。     

圆截面弹性细杆的平面振动

基于Kirchhoff理论讨论圆截面弹性细杆的平面振动．以杆中心线的Frenet坐标系为参考系建立动力学方程．杆作平面运动时，其扭转振动与弯曲振动解耦．讨论任意形状杆的扭转振动和轴向受压直杆在无扭转条件下的弯曲振动，证明直杆平衡的静态Lyapunov稳定性与欧拉稳定性条件为动态稳定性的必要条件．考虑轴向力和截面转动惯性效应的影响，导出弯曲振动的固有频率．     

复弯矩表示的非圆截面杆平衡的Schrǒdinger方程及其半解析解

弹性细杆的平衡和稳定性问题的研究在工程和分子生物学中有重要的应用背景。利用文中提出的复柔度概念，建立了用复弯矩表示的非圆截面杆平衡的Schrǒdinger方程。借助复曲率概念，导出以杆的曲率、挠率和截面相对Frenet坐标系的扭角为未知变量的2阶常微分方程，此方程与传统使用的Kirchhoff方程等价。文献中仅适用于圆截面杆平衡问题的Schrǒdinger方程为本文导出方程的特例。对于准对称截面杆，用小参数法分别建立了零次和一次近似方程，其中零次近似方程存在解析解。对于截面的主轴坐标轴与中心线的Frenet坐标轴重合的无扭转杆特殊情形，Schrǒdinger方程转化为Duffing方程，应用数值方法作出了Duffing杆变形后的三维几何图形。     

轴向受压螺旋杆的动态稳定性与振动

基于Kirchhoff理论讨论端部受轴向压力作用的圆截面弹性螺旋杆的动态稳定性问题。以杆中心线的Frenet坐标系为参考系,建立用欧拉角描述的弹性杆动力学方程。杆的螺旋线平衡状态由方程的特解确定。基于静力学分析的结论,在动力学范畴内继续讨论轴向受压螺旋杆平衡状态的稳定性。在一次近似意义下证明了螺旋杆在空间域内的欧拉稳定性条件为时域内的Lyapunov稳定性条件。从而进一步认识Lyapunov和欧拉两种不同稳定性概念之间的相互关系。导出轴向受压螺旋杆弯扭耦合振动固有频率的近似解析表达式。     

复弯矩表示的非圆截面杆平衡的Schrdinger方程及其半解析解

弹性细杆的平衡和稳定性问题的研究在工程和分子生物学中有重要的应用背景。利用文中提出的复柔度概念,建立了用复弯矩表示的非圆截面杆平衡的Schrdinger方程。借助复曲率概念,导出以杆的曲率、挠率和截面相对Frenet坐标系的扭角为未知变量的2阶常微分方程,此方程与传统使用的Kirchhoff方程等价。文献中仅适用于圆截面杆平衡问题的Schrdinger方程为本文导出方程的特例。对于准对称截面杆,用小参数法分别建立了零次和一次近似方程,其中零次近似方程存在解析解。对于截面的主轴坐标轴与中心线的Frenet坐标轴重合的无扭转杆特殊情形,Schrdinger方程转化为Duffing方程,应用数值方法作出了Duffing杆变形后的三维几何图形。     

Geometric effects of cross sections on equilibrium of helical and twisted ribbon

In the framework of elastic rod model, the Euler-Lagrange equations characterizing the equilibrium configuration of the polymer chain are derived from a free energy functional associated with the curvature, torsion, twisting angle, and its derivative with respect to the arc-length. The configurations of the helical ribbons with different crosssectional shapes are given. The effects of the elastic properties, the cross-sectional shapes,and the intrinsic twisting on the helical ribbons are discussed. The results show that the pitch angle of the helical ribbon decreases with the increase in the ratio of the twisting rigidity to the bending rigidity and approaches the intrinsic twisting. If the bending rigidity is much greater than the twisting rigidity, the bending and twisting of the helical ribbon always appear simultaneously.     

螺旋细杆的均匀扭转振动

讨论螺旋细杆的特殊形式扭转振动，即均匀扭转振动．以非圆截面杆和有原始曲率的圆截面杆为研究对象．杆作均匀扭转振动时各截面有相同的扭角变化规律，且杆中心线的几何形状不受振动过程的影响．研究表明，扭振来源于杆截面的非对称性及杆的原始曲率．杆的扭振规律与单摆运动相似，其动力学方程存在精确解．圆环杆的均匀扭振为螺旋杆的倾角为零时的特例．     

Stability analysis of helical rod based on exact Cosserat model

Helical equilibrium of a thin elastic rod has practical backgrounds, such as DNA, fiber, sub-ocean cable, and oil-well drill string. Kirchhoff's kinetic analogy is an effective approach to the stability analysis of equilibrium of a thin elastic rod. The main hypotheses of Kirchhoff's theory without the extension of the centerline and the shear deformation of the cross section are not adoptable to real soft materials of biological fibers. In this paper, the dynamic equations of a rod with a circular cross section are established on the basis of the exact Cosserat model by considering the tension and the shear deformations. Euler's angles are applied as the attitude representation of the cross section. The deviation of the normal axis of the cross section from the tangent of the centerline is considered as the result of the shear deformation. Lyapunov's stability of the helical equilibrium is discussed in static category. Euler's critical values of axial force and torque are obtained. Lyapunov's and Euler's stability conditions in the space domain are the necessary conditions of Lyapunov's stability of the helical rod in the time domain.     

Helical traveling waves in elastic rods

We pose the problem on free harmonic bending vibrations of an infinite rotating tubular elastic rod with an internal fluid flow, prestressed by a torque and a longitudinal force. We show that these vibrations can only be realized as traveling circular helical waves. It is shown that, for any wavelength, there exist four waves, two having the form of a left-handed helix and the other two having the form of a right-handed helix. Each of these waves propagates in the positive and negative directions of the longitudinal rod axis at different velocities. These phenomena can manifest themselves in deep-hole drill columns.     

非保守功能梯度弹性组合曲梁的精确模型及其数值解

基于直法线假设,采用可伸长梁的几何非线性理论,建立了功能梯度材料弹性组合曲梁受切线均布随从力作用下的静态大变形数学模型。该模型不仅计及了轴线伸长,同时也精确地考虑了梁的初始曲率对变形的影响以及轴向变形与弯曲变形之间的耦合效应。用打靶法数值求解了由金属和陶瓷两相材料所构成的一种FGM组合曲梁在沿轴线均布切向随动载荷作用下的非线性平面弯曲问题,给出了不同梯度指标下FGM弹性曲梁随载荷参数大范围变化的平衡路径,并与金属和陶瓷两种单相材料曲梁的相应特性进行了比较。     

On Solutions to Euler-Lagrange Equations Governing Isotropic, Homogeneous, Naturally Curved Kirchhoff��s Elastic Rods

Motivated by the elastic rod model for DNA with intrinsic curvature, we study the solution space of the Euler-Lagrange equations governing isotropic, homogeneous, naturally curved Kirchhoff??s elastic thin rods. Our studies show that for each given total energy and twisting density, there are at most three solutions, aside from the case where the twisting density is some particular constant. We also propose in this paper a reasonable condition under which an improvement on the number of the solutions may be possible. Finally, numerical calculations are presented to support our conclusions.     

Kirchhoff弹性杆分析动力学的准坐标表达

作为DNA的力学模型,依据Kirchhoff动力学比拟思想建立的弹性细杆的分析力学方法已从静力学深入到动力学。由于静力学平衡微分方程与刚体动力学相当,因此,弹性细杆动力学的分析力学方程必是以弧坐标和时间为双自变量的偏微分方程。以横截面的形心速度以及弯扭度和角速度沿主轴的分量为准速度,定义了准坐标,导出了准坐标的微分和变分运算的交换关系。从Hamilton原理出发,利用准坐标的微分和变分运算的交换关系,导出了Kirchhoff弹性杆动力学准坐标下的Boltzmann-Hamel方程,并由此导出Lanrange方程。指出了Boltzmann-Hamel方程显式即为弹性杆动力学的Kirchhoff方程。定义关于弧坐标和时间的正则变量和Hamilton函数,导出Boltzmann-Hamel方程的正则形式。本文结果是以弹性杆静力学和刚性杆动力学为其特例。作为例子,建立了垂挂的在重力作用下作平面运动的弹性细杆的动力学微分方程以说明本文方法的应用。