Postbuckling of angle-ply and anisotropic plates

Summary An analysis based on the von Kármán-type large-deflection equations of plates is presented for the postbuckling behavior of homogeneous and symmetrically laminated anisotropic rectangular plates. Boundary conditions for both simply supported and clamped edges are considered. A solution is obtained by expressing the force function and transverse deflection as double series involving the appropriate beam eigen-functions. Numerical results are presented for graphite-epoxy angle-ply laminates and homogeneous anisotropic plates. In the cases of buckling of anisotropic plates and postbuckling of isotropic and orthotropic plates, the present solution is in good agreement with existing solutions.

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Übersicht Es wird das Nachbeulverhalten von homogenen, symmetrisch geschichteten, anisotropen Rechteckplatten auf der Grundlage der von Kármán angegebenen Platten-Gleichungen für große Auslenkungen untersucht. Dabei werden sowohl einfach aufliegende, wie auch eingespannte Ränder als Randbedingungen berücksichtigt. Lösungen werden dadurch gewonnen, daß die Belastungsfunktion und die Querauslenkung als doppelte Reihen von geeigneten Balken-Eigenfunktionen angesetzt werden. Für Graphit-Epoxid-Schichtplatten und anisotrope homogene Platten werden numerische Ergebnisse mitgeteilt. Die erhaltenen Lösungen stimmen in den Fällen des Beulens von anisotropen Platten sowie des Nachbeulens von isotropen und orthotropen Platten gut mit bekannten Lösungen überein.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National Research Council of Canada.     

Nonlinear vibrations of an elastic disk rotating in a viscous fluid

Summary The von Kármán equations are extended to the dynamic case and to manifest the effects of the viscosity of fluid in which the motion takes place. The hydrodynamic aspect of the problem is analyzed and the flow pattern based on the von Kármán solution derived. The system of two nonlinear coupled differential equations is solved for weakened boundary conditions using the Galerkin procedure. A numerical example given for the mode of two nodal diameters and no nodal circles shows that: (a) the period of linear vibrations, T, is markedly increased by the presence of the viscous fluid; (b) the ratio T ^*/T(T ^* = period of nonlinear vibrations) decreases with an increasing amplitude, increases with an increasing speed of rotation, and increases with conversion to vacuum.

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Nichtlineare Schwingungen einer in einer viskosen Flüssigkeit rotierenden, elastischen Scheibe

Übersicht Die von Kármánschen Gleichungen werden auf den dynamischen Fall erweitert, und der Einfluß der Viskosität der Flüssigkeit, in der die Scheibe rotiert, wird in die Untersuchung einbezogen. Dabei werden sowohl der hydrodynamische als auch der elastodynamische Aspekt des Problems behandelt. Das System von zwei nichtlinearen, gekoppelten Differentialgleichungen wird mit Hilfe des Verfahrens von Galerkin für abgeschwächte Randbedingungen gelöst.Ein numerisches Beispiel für zwei Knotendurchmesser und keine Knotenkreise zeigt: a) die Schwingungsdauer T der linearen Schwingungen wird durch die viskose Flüssigkeit beträchtlich erhöht; b) das Verhältnis T ^*/T (T ^* = Periode der nichtlinearen Schwingungen) nimmt mit wachsender Amplitude ab, wächst mit steigender Drehzahl und wächst beim Übergang zu Vakuum.

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This work was partially supported by the University of Delaware     

Damped response of thin plates to step loads including geometric nonlinearity

Summary This paper presents an approximate solution of the large deflection damped response of thin isotropic circular and rectangular plates subjected to step loads. Simply-supported and clamped plates with movable and immovable inplane conditions are considered. Von Kármán-type equations are employed in terms of the transverse deflection and the stress function. The deflection is approximated by a one-term spatial shape function and Galerkin's method is used to obtain the differential equation for the central deflection. This equation is solved by the Newmark- scheme. Comparison with available results has demonstrated that satisfactory engineering accuracy is achieved by the present method.

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Die Antwort dünner Platten auf sprungförmige Lasten bei geometrischer Nichtlinearität und Dämpfung

Übersicht Eine Näherungslösung für große Durchsenkungen von dünnen, isotropen Kreisund Rechteckplatten wird hier beschrieben, wobei die Randbedingungen einer gelenkigen bzw. festen Lagerung mit Beweglichkeit oder Fesselung in der Plattenebene behandelt werden. Ausgedrückt durch die Durchsenkung und die Spannungsfunktion ergeben sich Grundgleichungen des von Kármán-Typs. Die Durchsenkung wird als Produktansatz einer Biegeform und Zeitfunktion approximiert und Galerkins Methode angewandt, um eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Durchsenkung der Plattenmitte zu erhalten. Diese Gleichung wird mit Hilfe von Newmarks -Methode gelöst. Vergleiche mit zugänglichen Ergebnissen zeigen, daß mit hiesigem Vorgehen eine ingenieurmäßig zufriedenstellende Genauigkeit erzielt wird.

     

Nonlinear vibration of generally laminated anisotropic thick plates

Summary Nonlinear equations of motion of generally laminated anisotropic plates are derived by use of Hamilton's principle. The effects of transverse shear and rotatory inertia are included in the analysis. The equations of motion so obtained readily reduce to those obtained in a recent nonlinear theory of anisotropic plates including transverse shear and rotatory inertia and to the dynamic von Kármán equations of plates. Based on the Galarkin procedure and principle of harmonic balance approximate solutions to the governing equations of generally laminated rectangular plates are formulated for various boundary conditions. Including the effects of transverse shear and rotatory inertia numerical results for the ratio of nonlinear frequency to linear frequency of symmetric angle-ply and cross-ply laminates, unsymmetric angle-ply and cross-ply laminates and an arbitrarily laminated plate are presented graphically for various values of elastic properties, fiber orientation angle, number of layers, thickness-to-span ratio and aspect ratio. Present results are also compared with the existing data.

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Nichtlineare Schwingungen von anisotropen, dicken Verbundplatten

übersicht Die nichtlinearen Bewegungsgleichungen anisotroper, dicker Verbundplatten werden mit Hilfe des Prinzips von Hamilton hergeleitet. Dabei werden die Einflüsse der Schubspannungen und der Drehträgheit berücksichtigt. Mit dem Verfahren von Galerkin und der Methode der harmonischen Balance werden Näherungslösungen für Rechteckplatten bei verschiedenen Randbedingungen gewonnen. Numerische Ergebnisse für verschiedene Materialparameter sind graphisch dargestellt und werden mit bereits bekannten Ergebnissen verglichen.

     

The derivation of dual extremum and complementary stationary principles in geometrical non-linear shell theory

Summary In non-linear elasticity dual extremum principles can be formulated for some class of elastic deformations, for which uniqueness of the solution is assured. These results are used in the present paper to derive extremal variational principles for geometrical non-linear shells with moderate rotations. Furthermore two complementary variational principles are considered, which are stationary principles without any extremum property. The proposed theorems are valid also for the special cases of linear plates and shells, for the non-linear von Kármán plate theory and for non-linear Donnell-Marguerre type shells.

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Übersicht In der nichtlinearen Elastizitätstheorie lassen sich duale Extremalprinzipe für solche elastische Verformungen herleiten, für die Eindeutigkeit der Lösung gewährleistet ist. Diese Resultate werden in der vorliegenden Arbeit benutzt, um für geometrisch-nichtlineare Schalen mit moderaten Rotationen Extremalprinzipe zu erhalten. Darüber hinaus werden zwei komplementäre Variationstheoreme angegeben, die Stationaritätsprinzipe ohne Extremaleigenschaft sind. Die vorgeschlagenen Verfahren gelten auch für die Sonderfälle der linearen Platten- und Schalentheorie, für die nichtlineare von Kármánsche Plattentheorie sowie für die nichtlineare Donnell-Marguerresche Schalentheorie.

     

Instationäre Grenzschichteffekte an Tragflügelprofilen

Übersicht Es wird ein Verfahren zur Berechnung von laminarer Ablösung sowie Stabilität und Transition von instationären, zweidimensionalen Grenzschichten angegeben. Die laminare Grenzschichtlösung erfolgt mit einem instationär modifizierten Kármán-Pohlhausen-Verfahren. Der Instabilitätspunkt wird mit einer instationären Stabilitätstheorie erhalten, wobei das zeitabhängige Eigenspektrum der Sommerfeld-Gleichung durch ein Galerkin-Verfahren approximiert wird. Der Umschlagspunkt wird durch eine Anfachungsrechnung, kombiniert mit empirischen Kriterien, erhalten. Die mit dem hier vorgestellten Verfahren vorhergesagten instationären Grenzschichteffekte stimmen qualitativ gut mit verfügbaren experimentellen Daten überein.

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Unsteady boundary layer effects on airfoil sections

Summary A method is presented for the prediction of laminar separation, instability and transition of unsteady, two-dimensional boundary layers. The laminar boundary layer solution is obtained by a time dependent modification of the Kármán-Pohlhausen-method. The stability of the boundary layer is analyzed by a time dependent instability theory, where the time dependent Eigenspektrum of the Sommerfeld equation is approximated by a Galerkin method. The transition point is predicted from the Tollmien-Schlichting growth rates, combined with semiempirical criteria. The present predictions of the unsteady boundary layer effects are found to be in qualitative agreement with available experimental data.

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Verküzte Fassung der von der Universität Hamburg, Institut für Schiffbau, angenommenen Dissertation 1992. Vollst. Fassung Ber. Nr. 529. Inst. f. Schiffbau, Dez. 1992.     

Decaying states of plane strain in a semi-infinite strip and boundary conditions for plate theory

Friedrichs and Dressler and Gol'denveiser and Kolos have independently shown that the classical plate theory of Kirchhoff is the leading term of the outer expansion solution (in a small thickness parameter) for the linear elasto-statics of thin, flat, isotropic bodies. As expected, neither this leading term nor the full outer solution alone is able to satisfy arbitrarily prescribed edge conditions. On the other hand, the inner solution, which is significant only near the edge, is determined by a sequence of boundary value problems which are very difficult to solve, nearly as difficult as the original problem. For stress edge-data, St. Venant's principle may be invoked to generate a set of stress boundary conditions for the classical plate theory as well as for some higher order terms in the outer expansion without any reference to the inner solution. Attempts in the literature to derive the corresponding boundary conditions for displacement edge-data have not been successful.With the help of the Betti-Rayleigh reciprocity theorem, we have derived the correct set of boundary conditions for classical and higher order plate theories with arbitrary edge-data. In this paper, we work out these conditions for an infinite plate strip with edgewise uniform data. We show that the conditions for individual terms in the outer expansion may be summed to give a simple set of appropriate boundary conditions for the full outer solution at the mid-plane. The boundary conditions obtained for the semi-infinite plate case are rigorously correct and the result for the stress data case rigorously justifies the application of St. Venant's principle. Applications of the displacement boundary conditions obtained are illustrated by two simple problems: (i) The shearing of an infinitely long rectangular block, and (ii) A clamped infinite plate strip under uniform face pressure.

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Abklingende ebene Dehnungszustände in einem halb-unendlichen Streifen und Randbedingungen fur die Plattentheorie

Zusammenfassung Friedrichs und Dressler sowie Gol'denveiser und Kolos haben unabhängig voneinander gezeigt, dass das erste Glied der durch äussere Entwicklung (nach einem kleinen Dickeparamter) gewonnenen Lösung für die lineare Elastostatik dünner, ebener, isotroper Körper zur klassischen Kirchhoffschen Plattentheorie führt. Wie erwartet kann weder dieses erste Glied noch die vollständige äussere Lösung allein willkürlich vorgegebene Randwerte erfüllen. Andererseits ist die innere Lösung, die nur in Randnähe von Bedeutung ist, durch eine Folge von Randwertproblemen bestimmt, die sehr schwer zu lösen sind, nahezu ebenso schwer wie das ursprüngliche Problem. Im Fall von Randbedingungen für die Spannungen kann man das St. Venantsche Prinzip sowohl zur Erzeugung eines Systems von Spannungsrandbedingungen für die klassische Plattentheorie als auch für einige Glieder höherer Ordnung in der äusseren Entwicklung ohne jeden Bezug zur inneren Lösung heranziehen. In der Literatur dargestellte Versuche, die entsprechenden Bedingungen für das Verschiebungsrandwertproblem herzuleiten, waren nicht erfolgreich.Mit Hilfe des Betti-Rayleighschen Reziprozitätssatzes haben wir das korrekte System von Randbedingungen für die klassische Plattentheorie und auch für Plattentheorien höherer Ordnung mit willkürlichen Randwerten hergeleitet. In der vorliegenden Arbeit stellen wir diese Bedingungen für einen unendlichen Plattenstreifen mit gleichmässigen Randwerten auf. Wir zeigen, dass man durch Aufsummieren der Bedingungen für die einzelnen Glieder der äusseren entwicklung ein einfaches System angemessener Randbedingungen für die vollständige äussere Lösung an der Mittelebene erhalten kann. Die Randbedingungen, die man für den Fall einer half-unendlichen Platte erhält, sind streng gültig, und das Ergebnis für den Fall von vorgegebenen Spannungen rechtfertigt die Anwendung des St. Venantschen Prinzips vollkommen. Zwei einfache Probleme illustrieren die Anwendung der für das Verschiebungsproblem erhaltenen Randbedingungen: (i) Die Scherung eines unendlich langen rechteckigen Blocks und (ii) Ein eingespannter unendlicher Plattenstreifen unter gleichmässiger Belastung.

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The research is partly supported by NSERC Operating Grant No. A9259 and, in the case of the second author, also by a UBC Killam Senior Fellowship.     

Zur Berechnung der Potentialströmung um quergestellte Luftschiffkörper

Zusammenfassung Zunächst wird das v. Kármánsche Verfahren, die Potentialströmung um quergestellte Luftschiffkörper mit Hilfe einer streckenweise konstanten Dipolbelegung auf der Achse des Körpers zu berechnen, kurz skizziert und einige Überlegungen für Beginn und Ende der Belegung angestellt. Dann wird dieses Verfahren verbessert durch Annahme einer stetigen, stückweise linear veränderlichen Dipolbelegung auf der Achse. Der zweite Hauptteil der Arbeit bringt die Berechnung der Potentialströmung mit Hilfe von Quellen und Senken, die auf der Oberfläche des Luftschiffkörpers angeordnet sind. Die Integralgleichung, der diese Oberflächenbelegung genügen muß, wird angeschrieben, und der Kern auf Funktionen zurückgeführt, die sich aus vollständigen elliptischen Normalintegralen zusammensetzen lassen. Für diese Funktionen werden Diagramme gegeben. Die Integralgleichung ist durch Iteration lösbar. Die Konvergenz des Verfahrens ist gut. Zum Schluß werden die Formeln zur Berechnung der Geschwindigkeit auf der Oberfläche und des Potentials für einen beliebigen Punkt angegeben.Herrn Prof. Dr.Betz bin ich für die Anregung zu dieser Arbeit und für seine Ratschläge bei ihrer Abfassung zu besonderem Dank verpflichtet.     

The effects of viscous dissipation on laminar heat transfer to power law Ruids in tubes

This work is concerned with laminar heat transfer in circular tubes to power law fluids with temperature-dependent rheological properties. Basic equations governing the problem under consideration are derived including effects of viscous dissipation but neglecting internal heat generation. The derived equations are solved numerically by means of finite-difference scheme and for the boundary conditions of constant wall temperature. The results are presented in form of graphs and compared to the computations carried out by other authors. A very good agreement is stated. The present work is intended to be an extension of the paper which has been recently published by Krishnan and Sastri [5].

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Der Einfluß viskoser Dissipation auf die Wärmeübertragung bei laminarer Rohrströmung von Ostwald-de Waele Flüssigkeiten

Zusammenfassung In dem vorliegenden Beitrag wird die Wärmeübertragung bei laminarer Rohrströmung von denjenigen nicht-Newtonschen Flüssigkeiten untersucht, die dem Potenzansatz nach Ostwald-de Waele gehorchen. Es werden Grundgleichungen für den zu behandelnden Vorgang hergeleitet, unter besonderer Berücksichtigung viskoser Dissipation sowie der Temperaturabhängigkeit rheologischer Parameter des strömenden Mediums. Der Einfluß innerer Wärmequellen wird hingegen vernachlässigt. Zur numerischen Lösung der hergeleiteten Differentialgleichungen wird die Methode der finiten Differenzen eingesetzt, unter der Voraussetzung, daß die Temperatur der Rohrwand unverändert bleibt (Randbedingungen erster Art). Die gewonnenen Ergebnisse wurden graphisch dargestellt sowie mit den von anderen Autoren erarbeiteten Resultaten verglichen. Es wurde dabei eine recht gute Übereinstimmung festgestellt. Der hier vorliegende Beitrag soll als eine Verallgemeinerung des Aufsatzes [5] gehalten werden, der neulich in dieser Zeitschrift von Krishnan und Sastri veröffentlicht wurde.

     

Stability and secondary bifurcation for von Kármán plates

Summary The Movchan-Liapunov theorem is used to establish a sufficiency criterion for stability of equilibrium configurations of the von Kármán plate under edge loads and displacements. This criterion is used to characterize the possible occurrence of secondary bifurcation from the first buckled state of the perfect plate. A Koiter-Fitch post-bifurcation analysis of the secondary solution leads to a tentative explanation of the mode-jumping phenomenon that is observed experimentally. A numerical study of the rectangular plate for various aspect ratios is given. For this example, the base solution is represented as a perturbation power series in an appropriate load parameter.

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Zusammenfassung Der Movchan-Liapunov Lehrsatz wird benutzt, um ein Zulänglichkeitskriterion für die Stabilität von Gleichgewichtskonfigurationen der von Kármán Platte bei Randbelastungen und Verschiebungen herzustellen. Dieses Kriterion wird benutzt, um den möglichen Eintritt sekundärer Gabelung vom ersten verbogenen Zustand der perfekten Platte zu charakterisieren. Eine Koiter-Fitch Nachgabelungsanalyse der Sekundärlösung führt zu einer tentativen Erklärung des sprunghaften Konfigurationswechsels, den man experimentell beobachtet. Eine numerische Untersuchung der rechteckigen Platte für verschiedene Längenverhältnisse ist gegeben. Für diese Beispiele wird die Primärlösung als Störungspotenzreihe im angemessenen Belastungsparameter gegeben.

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This paper is based in part upon the thesis submitted by the first author to the University of Minnesota in partial fulfillment of the requirements for the Ph. D. degree. Support given by a NASA traineeship is gratefully acknowledged.     

Inhomogeneous inverse problem in finite elasticity

For a class of materials for which the principal strain directions always coincide with the principal stress directions one can determine the stress field in an inhomogeneously deformed body from given boundary conditions and a known strain field without knowing the constitutive equations. Each point of the inhomogeneously deformed body contains information such as that derived from an individual homogeneous identification test. The practically important two-dimensional case leads to a problem of solving a linear hyperbolic system where two differential equations describe the principal stress components. The problem can be reduced to that of integration along characteristics.Under a certain globality condition the existence, uniqueness, and correctness of the solution are guaranteed in the whole test piece. It is shown that the globality condition is closely related to whether or not the test piece is isotropic and elastic. The influence of experimental error on the correctness of problem formulation is discussed.

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Abstrakte Für die Klasse der Materialen, für welche die Grundspannungsrichtungen und die Grundverformungsrichtungen gleich sind, kann man das Spannungsfeld in einem inhomogen deformierten Körper für gegebene Randbedingungen und einem bekannten Verformungsfeld ohne Kenntnis der detailierten Form der Dehnungs-Spannungsgleichung bestimmen. Jeder Punkt des inhomogen deformierten Körpers liefert dieselbe Information wie ein individueller homogener Test. Der praktisch wichtige zweidimensionale Fall führt zu einem Problem der Lösung eines linear hyperbolischen Systems von zwei Differentialgleichungen für die Grundspannungskomponenten. Das Problem kann auf die Integration entlang der Charakteristik des Systems reduziert werden.Unter einer Bedingung der Globalität das die Existent, Eindeutigkeit und Richtigkeit der Lösung in der ganzen Testprobe gewährleistet sind. Es wird gezeigt, dass diese Globalitätsbedingung damit zusammenhängt eng, ob die Testprobe isotrop und elastisch ist. Der Einfluss der experimentellen Fehler auf die Richtigkeit der Formulation des Problems wird auch analysiert.

     

Stabilität einer elliptischen Zylinderschale unter Torsion

Übersicht Die vorliegende Arbeit behandelt die statische Stabilität einer elliptischen, dünnwandigen, isotropen, elastischen Zylinderschale unter Torsion bei vier verschiedenen Arten von Randbedingungen. Die Lösung wird mit Hilfe des Bubnow-Galerkin-Verfahrens gesucht. Manche Ergebnisse der numerischen Lösung sind graphisch dargestellt. Sie zeigen, daß sich die minimale kritische Last bei wachsender Exzentrizität reduziert.

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Summary The paper deals with the static instability of an elliptic, thin-walled, isotropic, elastic cylindrical shell under torsion for four different sets of boundary conditions. The solution is based on the method of Bubnov-Galerkin. Some numerical results are presented on diagrams. They show that the smallest critical loading diminishes when the eccentricity of the cross-section increases.

     

The static drag on bodies in Bingham plastics

Summary A good indication of the static drag force experienced by a body immersed in a Bingham plastic can be obtained by summing the static yield stress over the cross-sectional area of the body normal to the direction of movement of the plastic and multiplying the result by 16.7. The actual drag may be slightly higher in the case of a disc or a sphere than for a cylinder or a rectangular plate, and an additional factor may be required if the length of the body parallel to the flow exceeds its width. The mechanism of transmission of the force from the Bingham plastic to the immersed body is not understood at present.

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Zusammenfassung Einen guten Hinweis auf den Fließwiderstand eines in einer fließenden Bingham-Substanz eingetauchten Körpers erhält man, indem man die statische Fließspannung über die Querschnittsfläche des Körpers senkrecht zur Bewegungsrichtung der Bingham-Substanz summiert und das Ergebnis mit 16,7 multipliziert. Der tatsächliche Fließwiderstand mag im Falle einer Scheibe oder einer Kugel etwas höher sein als für einen Zylinder oder eine rechteckige Platte, und möglicherweise ist ein zusätzlicher Faktor erforderlich, wenn die Länge des Körpers parallel zur Strömung größer ist als seine Breite. Der Mechanismus der Kräfteübertragung von der Bingham-Substanz auf den eingetauchten Körper ist zur Zeit noch nicht erkannt.

     

The physical nature of elastic layers

This paper gives an interpretation of the layers of elastic potentials, which are used to solve elastic boundary value problems of bodies and plates (extensional case). The layers appear as physical quantities on the boundary of the complement of the original body. The insight into the physical nature of the layers allows qualitative estimates to be made for the layers near critical points on the boundary of the body or plate.

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Zusammenfassung Der Aufsatz gibt eine physikalische Interpretation der Belegungen elastischer Potentiale, wie sie zur Lösung elastischer Randwertprobleme benutzt werden. Die Belegungen erscheinen als physikalische Größen auf dem Rand des Komplements des ursprünglichen Körpers. Die Einsicht in die physikalische Natur der Belegungen gestattet qualitative Abschätzungen für die Belegungen nahe kritischen Punkten auf dem Rand des Körpers oder der Platte.

     

Simulation of heat transfer and stress analysis of continuous casting

Summary Due to high productivity and the ability to cast to a form which could be rolled directly to a final product, continuous casting was selected for analysis and simulation. Three-dimensional finite element was used because of its capability to analyze any type of ingot with arbitrary section. Various types of boundary conditions which occur during the solidification process, as well as temperature dependent material properties were discussed. Two generalized models for heat transfer and stress analysis were developed. The first model, based on variation of heat transfer boundary conditions, was used to predict temperature distribution and solid shell formation. The second model, by considering applied thermal and mechanical loads and enforced displacements on the ingot, was used to calculate the stress distribution within the solid shell.These models provided design engineers with a reliable method of optimizing the casting processes and parameters. The computer results of the temperature distribution compared favorably with the other literature. Application of the temperature history along with other boundary loads and displacements into analysis, determined that the maximum stress occurs at the mold exit, the pinch and bending rolls, and the complete solidification areas. To predict the places with higher chance of crack formation a ratio of calculated stress to von Mises stress was used. The maximum stress ratio was detected at the location of the bending rolls.

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Simulation von Wärmeübergang und Spannungszustand beim Stranggießen

Übersicht Das Stranggießen wird mit dreidimensionalen finiten Elementen, die beliebige Barrenformen zulassen, simuliert. Berücksichtigt werden die sich bei der Erstarrung ändernden Randbedingungen und die Temperaturabhängigkeit der Materialeigenschaften. Mit Hilfe eines ersten Simulationsmodells wird unter Berücksichtigung des ortsabhängigen Wärmeübergangs die Temperaturverteilung und die Bildung der festen Schale berechnet. Mit einem zweiten Modell wird dann die Spannungsverteilung in der Schale unter der gegebenen thermischen und mechanischen Belastung sowie der erzwungenen Barrenbewegung berechnet.Die Simulationsmodelle stellen eine zuverlässige Methode zur Optimierung des Stranggießens und seiner Parameter dar. Die Rechenergebnisse für die Temperature stimmen gut mit Referenzresultaten überein. Einsetzen des Temperaturverlaufs und der Randbedingungen in die weitere Berechnung ergeben, daß Maximalspannungen am Austritt der Gußform, bei den Antriebs- und Umlenkrollen sowie den Erstarrungsfronten auftreten. Als Vorhersagekriterium stärker rißgefährdeter Stellen wird das Verhältnis der von Misesschen Vergleichsspannung zur Fließspannung herangezogen. Das maximale Spannungsverhältnis tritt an den Biegerollen auf.

     

On the impossibility of linear Cauchy and Piola-Kirchhoff constitutive theories for stress in solids

We investigate the possibility of linear elasticity as an infinitesimal theory based on a genuinely linear response function which retains its validity even for finite deformations. Careful consideration of the domain of definition of the stress response function, the definition of linearity and the notion of material frame-indifference leads to our main result that an exact linear constitutive theory for elastic solids is impossible. We then generalize our result to viscoelasticity theory where the stress response is dependent on deformation gradient histories.

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Zusammenfassung Verf. betrachten die Möglichkeit linearer Elastizität als infinitesimale Theorie begründet auf einer echt linearen Reaktionsfunktion die ihre Gültigkeit sogar für endliche Deformationen behält. Genaue Betrachtung des Definitionsbereiches der Spannungsreaktionsfunktion, der Definition von Linearität, und des Objektivitätsbegriffes führen zum Hauptresultat dass eine echt lineare Theorie für elastische Körper unmöglich ist. Das Resultat wird dann auf viskoelastische Theorie verallgemeinert, wobei die Spannungsreaktion von der Vorgeschichte des Deformationsgradienten abhängt.

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Department of Aerospace Engineering and Mechanics

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Department of Mathematics     

Zur Abschätzung des Tragverhaltens von Translationsschalen im Übergangsbereich von positiver zu negativer Gaußscher Krümmung

Übersicht Um bereits im Entwurfsstadium von Schalenkonstruktionen das spezifische Tragverhalten des gewählten Typs möglichst wirklichkeitsnah erfassen zu können, wird nachfolgend ein neues Abschätzungskriterium vorgestellt. Zur Verdeutlichung seiner Anwendungsbreite wird an numerischen Ergebnissen für Translationsschalen im Übergangsbereich von positiver zu negativer Gaußscher Krümmung eine Beurteilung des Tragvermögens für unterschiedliche Randbedingungen durchgeführt. Die zugehörige Berechnung erfolgt auf der Basis numerischer Integration eines Differentialgleichungssystems 1. Ordnung für eine vollständige lineare Schalentheorie erster Näherung mit der Methode finiter Differenzen.

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Summary Since exact calculations of arbitrary shells are very tedious a novel means of describing load carrying characteristics is introduced. This enables the designer to get a quite realistic estimation of any chosen type of shell already during precalculation. To demonstrate the applicability the criterion is used to evaluate the numerical results of various shallow translational shells with different boundary conditions while changing the Gaussian curvature from positive to negative values. The computation of the stress resultants and deformations is based on the numerical integration of a set of first order differential equations corresponding to a linear bending theory by finite differences.

     

Frictionless contact between an elastic stamp and an elastic foundation

Summary Starting from the statical and kinematical basic equations and inequalities resp. we derive a (material independent) mixed principle of virtual work which includes the rigid body displacements of the stamp, the contact pressure and the surface displacements of the contacting bodies. For an elastic material a saddle functional of the Hellinger-Reißner type occurs from which complementary extremum principles are generated. Especially the force principle is well suited for the discretization of the originally continuous contact problem and is therefore used as a basis for the numerical realization as a mathematical optimization problem. As examples we consider rigid stamps (rectangle, sphere, cone) on a layered halfspace and a rectangular plate on an elastic halfspace. The modification for a beam on a nonlinear Winkler foundation is also discussed.

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Reibungsfreier Kontakt zwischen einem elastischen Körper und einer elastischen Unterlage

Übersicht Ausgehend von den statischen und kinematischen Grundgleichungen und Ungleichungen wird ein (materialunabhängiges) gemischtes Prinzip der virtuellen Arbeiten hergeleitet, das die Starrkörperverschiebungen des Stempels, den Kontaktdruck und die Oberflächenverschiebungen der sich beröhrenden Körper enthält. Für elastisches Material läßt sich ein Sattelfunktional vom Hellinger-Reißner-Typ angeben, aus dem komplementäre Extremumsprinzipien erzeugt werden. Insbesondere ist das Kraftprinzip für eine Diskretisierung gut geeignet und wird daher für die numerische Lösung als mathematisches Optimierungsproblem verwendet. Als Beispiele dienen starre Stempel (Würfel, Kugel, Kegel) auf einem geschichteten Halbraum, eine Rechteckplatte auf einem elastischen Halbraum sowie ein Balken auf einer nichtlinearen Winkler-Bettung.

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Dedicated to Prof. Dr. phil. Dr.-Ing. E. h. U. Wegner on the occasion of his 80th birthday     

Eine numerische Methode zur Lösung der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale,inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte

Übersicht Es wird eine Differenzenmethode zur numerischen Integration der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale, inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte beschrieben. Zur Verringerung des Rechenaufwandes wird angenommen, daß die Platte Symmetrieebene der Strömung ist. Die Ergebnisse einiger Testrechnungen für die Strömung längs einer endlich langen sowie einer unendlich langen Platte werden mit den Näherungslösungen von Blasius für die Plattengrenzschicht und von Goldstein für die Nachlaufströmung verglichen. Dabei zeigt sich deutlich die Stromaufwärtswirkung der Plattenvorderkante auf die ankommende Strömung und der Plattenhinterkante auf die Grenzschicht kurz vor dem Plattenende.

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Summary A difference method will be described for the numerical integration of the Navier-Stokes equations for the two-dimensional, incompressible, steady flow along a flat thin plate. To reduce the computation time the plate is assumed to be the symmetry plane of the flow. The results of some computation tests for the flow along a plate of finite and infinite length, are compared with the approximate solutions of Blasius for the boundary-layer flow and of Goldstein for the wake behind the plate. The upstream effect of the leading edge on the incoming flow and of the trailing edge on the boundary layer shortly before the end of the plate becomes visible.

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Auszug aus dem Bericht UW 62/70-ö der Messerschmitt-Bölkow-Blohm GmbH, Ottobrunn. Die Arbeit ist Teil des Forschungsauftrages T 01-830-I-205 des Bundesministeriums der Verteidigung.     

Zur Theorie der Verzweigungen nicht-isothermer elastoplastischer Deformationen

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird eine allgemeine Theorie nicht-isothermer Verzweigungen für kompressible elasto-plastische Körper entwickelt. Im Bereich plastischer Deformationen wird dabei ausgegangen von einer gekoppelten Plastizitätstheorie mit Normalenregel und einer Fließbedingung nach von Mises. Zur Bestimmung der Verzweigungslast wird ein inkrementelles Randwertproblem formuliert, dessen Lösungen auf Eindeutigkeit untersucht werden. Zur Veranschaulichung wird diese Theorie angewendet auf die Lösung des Einschnürproblems für zylindrische Zugproben.

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Summary The paper presents a theory of non-isothermal bifurcation of deformations for compressible elasticplastic bodies. The constitutive relations introduced are based on a coupled thermoplasticity with J ₂-flow theory and von Mises yield criterion in the plastic range. To determine the critical load a rate boundary value problem is formulated and tested for nonunique modes of deformation. The general analysis is applied to the necking process in cylindrical specimens.

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Die vorliegende Arbeit entstand während eines Studienaufenthaltes des zweitgenannten Autors am Institut für Mechanik der Ruhr-Universität Bochum. Herrn Prof. Dr.-Ing. Th. Lehmann sowie der Alexander von Humboldt-Stiftung, die diesen Aufenthalt ermöglichten, sei dafür an dieser Stelle gedankt.