裂纹问题的一致性高阶无网格法

一致性高阶无网格法能高效精确地求解连续体问题，尤其是能得到高精度的应力场。本文将该方法拓展到应力解析精度至关重要的裂纹问题（即非连续体问题）的数值分析。采用背景积分网格描述裂纹几何，基于无需增加节点额外自由度的虚拟节点法描述裂纹处位移场的间断，提出了虚拟节点的引入算法和断裂单元的数值积分方法。为进一步模拟裂纹扩展，采用相互作用积分方法计算应力强度因子，裂纹的扩展方向由最大周向应力准则确定。数值结果表明，本文发展方法能够精确地通过间断分片试验；相较于标准的高阶无网格法和低阶一致性无网格法，本文的一致性高阶无网格法显著改善了应力强度因子的计算精度，能够准确预测裂纹扩展路径。     

裂纹问题的一致性高阶无网格法

一致性高阶无网格法能高效精确地求解连续体问题,尤其是能得到高精度的应力场。本文将该方法拓展到应力解析精度至关重要的裂纹问题(即非连续体问题)的数值分析。采用背景积分网格描述裂纹几何,基于无需增加节点额外自由度的虚拟节点法描述裂纹处位移场的间断,提出了虚拟节点的引入算法和断裂单元的数值积分方法。为进一步模拟裂纹扩展,采用相互作用积分方法计算应力强度因子,裂纹的扩展方向由最大周向应力准则确定。数值结果表明,本文发展方法能够精确地通过间断分片试验;相较于标准的高阶无网格法和低阶一致性无网格法,本文的一致性高阶无网格法显著改善了应力强度因子的计算精度,能够准确预测裂纹扩展路径。     

瞬态热传导问题的无网格法快速求解算法研究

为了提高基于Galerkin弱积分形式的无网格方法求解瞬态热传导问题的计算效率,提出了两种方案:第一种方案在空间离散上采用基于任意凸多边形节点影响域的无网格形函数,并通过选取适当的节点影响半径因子,使背景网格内的积分点仅对该背景网格内的无网格节点有贡献,从而避免了节点搜索问题,减少了系统刚度矩阵的带宽,且当节点影响半径因子为1.01时,无网格方法的形函数近似具有插值特性;第二种方案在求解线性方程组时,引入质量矩阵集中技术,从而避免了系统方程组的求解.二维矩形区域、二维圆形区域的瞬态热传导数值算例结果表明:在保证计算精度的同时,采用任意多边形节点影响域的无网格方法比传统无网格方法的计算时间至少节省44.09%,采用质量矩阵集中技术的无网格方法比传统无网格方法的计算时间至少节省76.15%,且当节点影响半径因子为1.01时,其本质边界条件的施加和有限元方法一样简单;由于采用质量矩阵集中技术的无网格方法比采用任意多边形节点影响域的无网格方法精度较低,因此如仅从计算效率考虑,对精度要求不是很高(误差在5%以内),建议采用质量矩阵集中技术,如同时考虑计算精度和效率,建议采用多边形节点影响域的技术.     

基于单位分解法的无网格数值流形方法

在数值流形方法和单位分解法的基础上，提出了无网格数值流形方法. 无网格数值流形 方法在分析时采用了双重覆盖系统，即数学覆盖和物理覆盖. 数学覆盖提供的节点形成求解 域的有限覆盖和单位分解函数；而物理覆盖描述问题的几何区域及其域内不连续性. 与原有 的数值流形方法相比，无网格数值流形方法的数学覆盖形状更加灵活，可以用一系列节点的 影响域来建立数学覆盖和单位分解函数，具有无网格方法的特性，从而摆脱了传统的数值流 形方法中网格所带来的困难. 与无网格方法相比，由于采用了有限覆盖技术，试函数的构造 不受域内不连续的影响，克服了原有的无网格方法在处理不连续问题时所遇到的困难. 详细推导了无网格数值流形方法的试函数和求解方程，最后给出了算例，验证了该方法的正 确性.     

基于Delaunay三角化的无网格法计算结果后处理

最近新发展起来的无网格方法由于不需要显式网格，节省了网格生成所需的大量时间，并且避免了网格畸变问题，所以在处理一些特殊问题如移动边界、大变形、高梯度等方面显示出特殊的优越性。但另一方面也使得计算结果的全域后处理遇到困难。提出了一种基于Delaunay三角形背景网格的实用无网格计算结果后处理方法，以无网格离散节点为顶点生成Delaunay三角形，将无网格法计算得到的节点应力值映射插值得到三角形内的应力场云图颜色。给出的二维线弹性应力分析算例表明方法可靠实用。     

基于修正权函数的多裂纹无网格模拟

本文采用了一种基于不连续场修正权函数的无网格方法来处理二维平面多裂纹问题。相较于传统的无网格断裂不连续场和奇异场模拟方法,修正权函数法算法简便易实现。采用修正权函数处理多裂纹时,只需要对每一段裂纹周围节点的权函数进行修正,就能同时模拟多裂纹不连续位移场和多裂尖奇异场。本文采用基于不连续场修正权函数的无单元Galerkin方法（EFGM）,对Y型裂纹板、十字型裂纹板和孔边双裂纹板进行了分析。数值结果表明,在不引入扩展基函数情况下,通过修正权函数法能够得到精度较高的应力强度因子解,能较好地拟合多裂纹的裂尖奇异场。     

力电耦合扩展无网格伽辽金法在压电柔性臂断裂分析中的研究

为提高含裂纹压电柔性臂在断裂分析中的求解精度,基于压电材料断裂力学理论,建立了压电柔性臂的力学分析模型。将描述裂纹尖端奇异性的位移场函数和电场函数引入到传统无网格伽辽金法中,提出了力电耦合扩展无网格伽辽金法。与传统无网格伽辽金法相比,本方法只需要较小的影响域来描述裂尖奇异场,并且节点影响域不会被裂纹线影响,不要可视准则和衍射准则,提高了计算精度。由虚拟裂纹闭合法推导了压电材料能量释放率,讨论了不同高斯点密度对强计算结果的影响。与解析解、有限元法的计算结果进行了比较,在高斯点个数为6×6时,扩展无网格伽辽金法的计算误差为1.88%,明显好于有限元的计算误差2.5%。数值算例结果表明本方法具有较高的计算精度。     

基于不连续场修正权的无网格断裂分析

本文采用了一种基于不连续场修正权函数的无网格方法来处理二维平面问题中的有限长裂纹。相较于目前常用的无网格裂纹不连续性处理方案，采用修正权函数处理裂纹附近不连续场时只需要对原权函数进行修正，算法简便易实现。本文采用基于不连续场修正权函数的无单元Galerkin方法（EFGM），对在边界上施加I-II混合型裂纹位移场的斜裂纹板进行了数值分析。并与可视性准则、衍射法和透射法等不连续准则对比了裂尖位移场、应力场和应力强度因子解的数值精度。另外，本文还对这四种不连续准则形函数的计算效率进行了分析和比较。     

复杂裂纹问题的多边形数值流形方法求解

数值流形方法是一种能统一处理连续和不连续问题的有效数值方法。该方法采用的数学覆盖系统可完全独立于物理域，能很好地求解各类裂纹问题，而n边形单元（n>4）则具有网格划分灵活，求解精度高等优点。本文基于数值流形方法，采用正六边形数学单元求解线弹性复杂裂纹问题。在导出相关方程的基础上对典型裂纹问题进行了分析，通过互能积分法得到了裂尖的应力强度因子，计算结果与参考解吻合得较好。除此之外，文中还对不同单元上的求解精度进行了比较，结果表明采用正六边形单元的求解精度较正四边形单元和正三角形单元上的精度均更高。     

无网格伽辽金法求解平面偶应力问题

提出采用无网格伽辽金法(EFGM)求解偶应力问题,以避免有限元求解中因C¹连续要求可能引起的不便。推导了基于二次基和移动最小二乘技术的EFGM计算公式,通过计算受轴向均匀拉伸的带中心小孔无限大板和细长杆的偶应力问题,对所提方法进行了数值验证,与解析解相比结果令人满意,此外还讨论了节点密度和权函数对计算结果的影响。数值结果表明,所提算法可有效地求解平面偶应力问题。     

无单元Galerkin法和边界元耦合法

无网格方法与有限元法或边界元法耦合是无网格方法处理边界条件的方法之一,在无网格方法中研究无网格方法与有限元法或边界元法耦合的研究显得非常重要.本文在无单元Galerkin法和边界元法的基础上,基于无单元Galerkin法子域和边界元法子域的界面上位移连续和面力平衡条件,提出了一种新的无单元Galerkin法和边界元法的直接耦合方法,对弹性力学问题详细推导了在整个求解域上的耦合公式.与以往的耦合法相比,这种方法简单直观,不需要增加新的耦合区域,也不需要建立新的逼近函数来保证界面位移的连续性.算例结果表明,该方法具有较好的计算精度.     

壳结构的无网格局部Petrov-Galerkin方法

无网格近似函数具有高度光滑性,能够很好的逼近曲壳表面及其位移场。无网格局部Petrov-Galerkin方法不论插值还是离散都不需要单元,是一种真正的无网格方法。本文基于无网格局部Petrov-Galerkin方法的基本原理,采用移动最小二乘插值,利用控制微分方程弱形式,建立了Mindlin壳结构的无网格局部Petrov-Galerkin分析方法,用屋顶壳、受夹圆柱壳、几何非线性圆柱壳作为计算实例分析了求解精度、收敛性和稳定性,并与精确解和有限元计算结果进行了对比,表明该方法计算精度高及收敛性好。     

基于平面偶应力-Reissner/Mindlin板比拟的偶应力有限元

偶应力理论的有限元列式面临本质性的C1连续性困难. 平面偶应力理论和Reissner/Mindlin板弯曲理论之间的比拟关系表明这两个理论系统的有 限元的同一性，而R/M板有限元并不存在C1连续性困难. 因此，研究将R/M板单元转化为具有一般位移自由度的平面偶应力单元的一般方法. 根据这一方法，将典型的8节点Serendipity型R/M板单元Q8S转化为一个4节点12 自由度的四边形平面偶应力单元，数值结果表明该单元具有良好的精度和收敛性     

基于整体位移模式的平面孔洞结构数值模拟方法

针对平面孔洞问题提出了一种新的数值模拟方法.论文通过水平集方法引入孔洞边界、力边界和位移边界水平集函数,利用边界水平集函数来构造边界试探项,将试探空间表示为二元幂级数与边界试探项的线性组合;同时提出一种基于水平集方法的位移边界条件施加方法,利用位移边界水平集函数来构造满足位移边界条件的近似位移场,并给出了相应的刚度矩阵和载荷矩阵表达式.与FEM、XFEM、无网格法等方法相比,该方法无需将求解域离散,具有较低的计算成本、特性良好的刚度矩阵和较为广泛的适用性.数值算例验证了该方法的有效性.     

基于等几何分析的比例边界有限元方法

提出了一种具有比例边界有限元的半解析特性和等几何分析的几何特性的新方法。该新方法是在比例边界有限元框架中用NURBS曲线或曲面精确描述域边界几何形状,同时域边界位移场采用描述几何形状的NURBS形函数等参构造。这种新方法具有比例边界有限元固有的径向解析特性和NURBS的高阶连续性的优点。数值算例显示,与传统的比例边界有限元相比,基于等几何分析的比例边界有限元方法提高了域边界单元和域内应力场的连续性,减少了计算自由度。应用此方法可以用较少的计算自由度获得更高连续阶和更高精度的位移、应力和应变场。     

应力函数及其对偶理论在有限元中的应用

借助于Cosserat连续介质模型，探讨了应力函数和位移对避免有限元C$^{1}$ 连续性困难的互补性作用. 通过对应力函数对偶理论的深入分析，为将应力函数列式得到的 余能单元转化为具有一般位移自由度的势能单元提供了严格的理论基础，在此基础上， 给出应用应力函数构造有限元的一般方法.     

模拟裂纹扩展的单位分解扩展无网格法

单位分解扩展无网格法(PUEM)是一种求解不连续问题的新型无网格方法.其基于单位分解思想,通过在传统无网格法的近似函数中加入扩展项来反映由裂纹所产生的不连续位移场.详细描述了水平集方法,PUEM不连续近似函数的构造及控制方程的离散.针对裂纹扩展问题,提出了一种十分简单的水平集更新算法;讨论了不同的节点数、高斯积分阶次以及围线积分区域对应力强度因子计算结果的影响,并给出了合理的参数;模拟了边裂纹和中心裂纹的扩展问题,并与XFEM的数值结果进行了比较.数值算例表明,本文方法具有较高的计算精度,是模拟裂纹扩展非常有效的方法,具有广阔的应用前景.     

平面裂纹问题的h, p, hp型自适应无网格方法的研究

无网格方法以其独特的优点：不需“网格”（即节点间的连接信息）划分,特别适合自适应的分析,在分析中只需要高梯度域简单地插入离散点（ｈ型）或保持模型节点数、分布、覆盖大小均不变,中增加高误差覆盖上的函数的多项式阶次（ｐ型）,便可以得到更高精度的数值模型。针对平面弹性问题发展和推导一种显式后验误差指示公式,对平面裂纹实例进行了ｈ型,ｐ型,ｈｐ型三种不同类型的无网格自适应分析,数值分析结果表明了这种自适应     

Analysis of piezoelectric ceramic multilayer actuators based on an electro-mechanical coupled meshless method

This paper presents an efficient meshless method for analyzing cracked piezoelectric structures subjected to mechanical and electrical loading. In this method, an element free Galerkin (EFG) formulation, an enriched basic function and some special shape functions that contain discontinuous derivatives are employed. Based on the moving least squares (MLS) interpolation approach, the EFG method is one of the promising methods for dealing with problems involving progressive crack growth. Since the method is meshless and no element connectivity data are needed, the burdensome remeshing procedure required in the conventional finite element method (FEM) is avoided. The numerical results show that the proposed method can yield an accurate near-tip stress field in an infinite piezoelectric plate containing an interior hole. In another example studying a ceramic multilayer actuator, the proposed model was found to be accurate in the simulation of stress and electric field concentrations arround the abrupt end of an internal electrode. The project supported by the National Natural Science Foundation of China (10025209, 10132010, and 90208002), and the Research Grants Council of the Hong Kong Special Administrative Region, China (HKU 7203/03E). The English text was polished by Yunming Chen.