A computer model of hole-pressure measurement in Poiseuille flow of visco-elastic liquids

Summary Liquid-filled holes used for pressure measurements of visco-elastic liquids give rise to systematic hole pressure errors.Tanner andPipkin have presented an analysis for flows of a second-order fluid in which they derive a simple relation between the first normal-stress difference and the hole pressure for flow situations where Reynolds numbers are very small. Implicit in the analysis is the assumption that the streamlines are symmetric about the hole center line. In this paper, using a numerical solution, we investigate the relationship between the hole pressure and the first normalstress difference for a range of Reynolds numbers where inertial effects are not negligible. The ratio of hole pressure to first normal-stress difference is found to vary from 0.25 to 0.16 as the Reynolds number is varied from 1 to 10. Streamline patterns are presented for Poiseuille flow of a second-order fluid over a slot cut into one wall of an otherwise straight channel. Various geometries are considered. The results naturally include those for an incompressible Newtonian liquid at non-zero Reynolds numbers.

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Zusammenfassung Flüssigkeitsgefüllte Bohrungen für Druckmessungen führen bei viskoelastischen Flüssigkeiten zu systematischen Fehlern (hole pressure errors).Tanner undPipkin haben für Strömungen von Flüssigkeiten zweiter Ordnung diesen Effekt analysiert und finden im Falle sehr kleiner Reynoldszahlen eine einfache Beziehung zwischen der ersten Normalspannungsdifferenz und dem Lochdruck (hole pressure). Bei dieser Untersuchung wird implizit von der Annahme Gebrauch gemacht, daß die Stromlinien symmetrisch zur Lochachse verlaufen. In der vorliegenden Arbeit wird unter Anwendung eines numerischen Verfahrens die Beziehung zwischen dem Lochdruck und der ersten Normalspannungsdifferenz für einen Bereich von Reynoldszahlen untersucht, bei dem Trägheitseffekte nicht mehr vernachlässigt werden können. Das Verhältnis von Lochdruck zu erster Normalspannungsdifferenz verkleinert sich von 0,25 auf 0,16, wenn die Reynoldszahl von 1 bis 10 ansteigt. Für die Poiseuille-Strömung einer Flüssigkeit zweiter Ordnung über einer in die Wand eines sonst geradlinigen Kanals eingeschnittene Nute werden Stromlinienbilder dargestellt, wobei unterschiedliche geometrische Verhältnisse betrachtet werden. Die Ergebnisse schließen natürlich den Fall der Strömung inkompressibler newtonscher Flüssigkeiten mit nicht-verschwindender Reynoldszahl ein.

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With 11 figures and 2 tables     

The measurement of normal stresses by means of liquid-filled holes in a surface

Summary This paper concerns the systematic errors that may arise when using pressure measurements, made by means of holes in the surfaces of a viscometer, to estimate the normal stresses in steady shear flows. The work is closely related to some recent measurements ofBroadbent et al. (1968) and ofKaye, Lodge &Vale (1968) who first proposed that such errors may be important in determining the normal-stress differences of fluids in steady shear flows. Some dimensional arguments are presented to show how our estimate of the normal stress at the surface may be affected by the measuring technique and by the particular kind of curvilinear shear flow in which the measurements are being made. An experimental investigation of the influence of some of the dimensionless parameters has been made in a cone-and-plate viscometer, the results of which suggest that the estimate of the normal stress at the surface is not greatly affected by geometric changes of the hole. On the other hand, some measurements made by Dr.J. M. Broadbent for shear flows generated between concentric cylinders suggest that the experimental estimate of the normal stresses on the walls of the cylinders are dependent upon the parameterR/d whereR is the radius of the cylinder andd is the diameter of the hole used to make the measurement. From the results of a calculation byTanner &Pipkin (1969) of the error that arises from this measuring technique when a second-order fluid flows past a two-dimensional slot in a plane wall, and with the possible extension to more complicated fluids it appears that this source of error could account for the inconsistencies in the measurements ofKaye, Lodge &Vale (1968).

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Zusammenfassung Diese Arbeit behandelt die möglichen systematischen Fehler bei der Bestimmung der Normalspannungen in stationären Scherströmungen, wenn dazu Druckmessungen mittels Bohrungen in den Oberflächen eines Viskosimeters herangezogen werden. Sie schließt an einige neuere Messungen vonBroadbent und Mitarb. (1968) und vonKaye, Lodge, undVale (1968) an. Letztere wiesen erstmals darauf hin, daß solche Fehler bei der Ermittlung von Normalspannungs-Differenzen in stationären Scherströmungen bedeutsam sein können. Anhand einer Dimensionsbetrachtung wird gezeigt, inwieweit die Meßtechnik selbst und die besondere Art der Scherströmung mit gekrümmten Stromlinien einen Einfluß auf die Bestimmung der Normalspannung an der Oberfläche haben.Der Einfluß einiger dimensionsloser Parameter wurde in einem Platte-Kegel-Viskosimeter experimentell untersucht. Die gewonnenen Ergebnisse deuten darauf hin, daß Veränderungen in der Geometrie der Meßbohrungen die Bestimmung der Normalspannungen nur wenig beeinflussen. Andererseits lassenBroadbents Messungen in Scherströmungen zwischen zwei konzentrischen Zylindern erkennen, daß die experimentellen Werte der Normalspannungen in der Zylinderoberfläche vom ParameterR/d abhängen (R — Zylinderradius,d — Durchmesser der Meßbohrung).Aufgrund einer Fehlerberechnung für diese Meßtechnik, wobei eine Flüssigkeit 2. Ordnung entlang einer ebenen Wand mit zweidimensionaler Nut angenommen wurde (Tanner undPipkin, 1969), aufgrund der möglichen Erweiterung dieser Berechnung auf kompliziertere Flüssigkeiten, erscheint es möglich, daß die oben erwähnte Fehlerquelle der Grund für die Widersprüche in den Messungen vonKaye, Lodge undVale sind.

     

Ähnliche Grenzschichtlösungen zweiter Ordnung für Strömungs- und Temperaturgrenzschichten an longitudinal gekrümmten Wänden mit Grenzschichtbeeinflussung

Zusammenfassung Für die inkompressible, stationäre Strömungs- und Temperaturgrenzschicht an longitudinal gekrümmten Wänden mit Grenzschichtbeeinflussung werden unter Berücksichtigung der Glieder zweiter Ordnung, d. h. mit Berücksichtigung der Verdrängung und des metrischen Krümmungseinflusses ähnliche Lösungen angegeben. Die Lösungen erstrecken sich auf Wände, deren Krümmungk proportional zu einer Potenz der Bogenlängex ist. In dieser Familie von Wandkurven sind die Staupunktströmung an einem Zylinder und die Strömungen an Keilen mit gekrümmten Keilflanken eingeschlossen. Dabei ist der Öffnungswinkel des Keils mit dem Krümmungsverlauf der Keilflanken verknüpft.

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Similarity solutions are given for incompressible, steady hydrodynamic and thermal boundary layers on longitudinally curved walls with boundary layer interference considering second order terms i. e. allowing for displacement and metric curvature influence. The solution apply to walls with curvaturek proportional to a power of the arc lengthx. Involved in this family of wall-curves is the stagnation point flow on a cylinder and the flow along wedges with curved walls. Here, the angle of the wedge is connected to the curvature of the wedge-walls.

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Mit Unterstützung der Aerospace Research Laboratories durch das U. S. Air Force European Office of Aerospace Research.     

Interaction of two curved cracks in an infinite plate

Summary The system of the singular integral equations for the double crack problem is presented. Basic idea is the approximation of the displacement jump function along the crack by a polynomial multiplied by a weight function. The single-valuedness condition of displacements is satisfied automatically, and the Cauchy singular integrals in the resulting integral equations can be evaluated in a closed form. Letting the integral equations be satisfied at some discrete points, the undetermined coefficients in the assumed polynomial can be obtained immediately. Therefore, theK-factors at the crack tips are obtainable. The problem of multiple curved cracks can be solved in a similar way. Several examples demonstrate the interaction effect between two cracks with the curve configuration.

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Wechselwirkung zwischen zwei gekrümmten Rissen in einer unendiichen Scheibe

Übersicht Vorgestellt wird das System der singulären Integralgleichungen für das Problem zweier gekrümmter Risse. Der grundlegende Lösungsgedanke ist die Approximation der Verschiebungsunstetigkeit längs des Risses durch ein mit einer Gewichtsfunktion multipliziertes Polynom. Die Bedingung eindeutiger Verschiebungen ist automatisch erfüllt, und die singulären Cauchy-Integrale der sich ergebenden Integralgleichungen können geschlossen bestimmt werden. Die Erfüllung der Integralgleichungen an einigen diskreten Punkten legt die Polynomkoeffizienten fest. Dann können die Spannungskonzentrationsfaktoren an den Rißspitzen bestimmt werden. Auf ähnliche Weise kann das Problem mehrerer gekrümmter Risse gelöst werden. Verschiedene Beispiele verdeutlichen die Wechselwirkung zwischen zwei Rissen in Abhängigkeit von ihrer gekrümmten Konfiguration.

     

Numerical study of equilibrium capillary surfaces under low gravitational conditions

Summary The shape of the equilibrium capillary surface of a liquid in a vessel of rotational symmetry is investigated numerically by transforming the governing equation (Young-Laplace-Gauss-equation) into a system of four first order differential equations. In addition a differential equation of first order concerning the liquid volume is taken into consideration. The problem under study is solved as an initial value problem. Essential for the numerical procedure is the horizontal section method which works for all tank geometries with monotone continuous curvature, i.e. the technically important cylindrical, conical and spheroidal tank configurations.

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Bestimmung der kapillaren gleichgewichtsoberflächen unter restschwere

Übersicht Die Gestalt der kapillaren Gleichgewichtsoberfläche einer Flüssigkeit in einem drehsymmetrischen Behälter wird numerisch bestimmt durch Transformation der Young-Laplace-Gauß-Gleichung in ein System von vier Differentialgleichungen erster Ordnung. Hinzu kommt eine weitere gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für das Flüssigkeitsvolumen. Das resultierende Problem wird als Anfangswertproblem gelöst. Als wesentlich für die numerische Lösung erweist sich das Horizontalschnittverfahren, das bei allen monoton stetig gekrümmten Tankberandungen angewandt werden kann. Das sind vor allem die technisch wichtigen Tankgeometrien Kreiszylinder, Kegel und Kugel.

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Dedicated to Professor Dr. W. Schnell on the occasion of his sixty-fifth anniversary     

Hydrodynamisch induzierte Eigenbewegung von idealisierten Teilchen in newtonschen Suspensionsmedien unter Berücksichtigung begrenzender Wände.

Zusammenfassung Die hydrodynamisch induzierte Bewegung starrer und elastischer Teilchen, die in einem newtonschen Medium suspendiert sind, wird unter Berücksichtigung gekrümmter Begrenzungen untersucht. Die Geometrie eines hyperbolischen Zylinders erlaubt die Simulation einer Strömung durch poröse Medien und in den Grenzfällen durch ein Rohr und ein kreisförmiges Loch. Der Einfluß des inhomogenen Strömungsfeldes verursacht eine Migrationsbewegung der suspendierten Teilchen quer zu den Stromlinien. Es wird gezeigt, daß eine inhomogene Suspension elastischer Teilchen nach Durchlauf eines konvergenten und eines divergenten Bereiches eine Entmischung erfährt. Die Konzentration der Teilchen nimmt sowohl im Kernbereich der Strömung als auch aufgrund des abstoßenden Wandeffektes in unmittelbarer Wandnähe ab.

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The flow-induced migration of rigid and elastic particles suspended in a Newtonian medium is studied. The flow situation investigated consists of pressuredriven flow through a hyperbolic cylinder. This permits the simulation of flow through a porous medium and in the limiting cases through a tube and through a circular hole. The influence of the nonhomogeneous flow field effects a migration of the suspended particles across the streamlines. It is deduced that nonhomogeneous suspensions of elastic particles receive a separation according to size after passing a converging and diverging section. The results imply that the particle concentration decreases in the centre of the flow as well as in the immediate neighbourhood of the walls.

Zweiter Teil einer vom Fachbereich Chemietechnik der Universität Dortmund genehmigten Dissertation     

Application of large elastic deformation theory to the calculation of liquid drop shapes of some polymers

Summary Considering the analogy of a liquid surface to a stretched membrane, the theory of large elastic deformations is used to calculate the deformed shapes of sessile and pendent liquid drops of some polymers. In particular, the liquid drops are treated as highly deformable liquid-filled membranes that follow a neo-Hookean constitutive equation. Since, with the advent of sophisticated pressure transducers, it is easier to measure pressure accurately than to determine the curvature of the liquid drop geometry, the problem is formulated in terms of the pressure prescribed at the tip of the liquid drop with a varying hydrostatic pressure. The governing equations consisting of a non-linear ordinary differential equation and aVolterra type integral equation are solved numerically on a digital computer.Based on the solution of the governing equations, a procedure to estimate the surface tension of a polymer from the shape factor versus pressure curves is illustrated. Also, by increasing the pressure and by balancing the vertical component of the surface tension against the weight of a pendent liquid drop the size of a drop separated from a liquid column is predicted.

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Zusammenfassung Mit Rücksicht auf die Analogie zwischen einer flüssigen Oberfläche und einer gespannten Membrane wird die Theorie der großen elastischen Deformationen angewendet, um die deformierte Gestalt von sitzenden und hängenden flüssigen Tropfen einiger Polymere zu kalkulieren. Im besonderen werden die flüssigen Tropfen als sehr deformierbare liquid gefüllte Membranen behandelt, die einer neo-Hookeschen konstitutiven Gleichung folgen. Das Problem ist so formuliert, daß der Druck an der Spitze eines flüssigen Tropfens als ein veränderlicher hydrostatischer Druck ausgedrückt wird, weil mit den neuen hochentwickelten Druckvermittlern es leichter ist, den Druck direkt zu messen, als die Krümmung eines flüssigen Tropfens von seiner Geometrie zu bestimmen. Die Gleichungen, von denen die Geometrie eines Tropfens bestimmt werden, bestehen aus einer nichtlinearen Differentialgleichung und einerVolterra-Integralgleichung. Diese Gleichungen werden mit Hilfe eines Computers gelöst.Aufgrund der Lösung dieser Gleichungen wird ein Verfahren entwickelt, das die Bestimmung der Oberflächenspannung eines Polymers von dem Formfaktor Gegendruckkurven ermöglicht. Die Größe eines von der flüssigen Säule getrennten Tropfens kann mit Hilfe von erhöhtem Druck durch Kräfteausgleich vorherbestimmt werden.

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This work is an extension of the work performed under the National Science Foundation Grant No. GK-4842.

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With 8 figures     

Blasenbildung beim Sieden verschiedener Flüssigkeiten an einer rauhen Heizfläche

Zusammenfassung Die Blasenbildung beim Sieden verschiedener Flüssigkeiten an einer horizontalen, geschmirgelten Heizfläche aus Kupfer wird mit einer Hochgeschwindigkeitskamera gefilmt. Durch Auswertung einer genügend großen Zahl von Blasenbildungsvorgängen an verschiedenen Keimstellen werden die Größenverteilungen des Blasenabreißdurchmessers, der Warte- und der Bildungszeit sowie der Blasenfrequenz ermittelt. Die Medianwerte und die Vertrauensbereiche dieser Größen werden für verschiedene Kältemittel sowie für n-Butan und i-Pentan in Abhängigkeit vom normierten Siededruck bestimmt. Die gemittelten Wachstumskurven lassen sich für verschiedene Versuchsstoffe und verschiedene Siededrücke in normierter Form einheitlich darstellen.

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Bubble formation at nucleate boiling of different liquids on a rough surface

The bubble formation of nucleate boiling of different liquids is investigated by high-speed photography. A horizontal copper surface, grinded with emery paper, is used as heating element. By evaluating a sufficient number of bubble formation cycles the size distributions of the departure diameter, of the period of nucleation and of bubble formation and of the bubble frequency are determined. The median values and the confidence intervals of these quantities are determined as a function of the normalized saturation pressure for some refrigerants and forn-butane andi-pentane. The bubble growth is described in a unified form for different liquids and different pressures.

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Herrn Prof. Dr.-Ing. K. Stephan zum 60. Geburtstag gewidmet     

Flow of a viscoelastic fluid between eccentric rotating cylinders and related problems

Summary Results obtained in a previous paper byBallal andRivlin on the forces associated with the slow flow of an incompressible non-Newtonian fluid, contained in the annular region between two infinite eccentric rotating cylinders, are applied to the calculation of the forces associated with the planetary motion of the inner cylinder about the axis of the outer cylinder. Either, neither, or both of the cylinders may rotate about their axes with constant angular velocities. As a limiting case the motion of an infinite cylinder is considered, in a half-space of incompressible non-Newtonian fluid bounded by a rigid plane, when the cylinder moves with constant velocity perpendicular to its length and parallel to the plane.

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Zusammenfassung Die in einer früheren Veröffentlichung vonBallal undRivlin erhaltenen Ergebnisse bezüglich der Kräfte, die beim langsamen Strömen einer inkompressiblen nicht-newtonschen Flüssigkeit im Ringspalt zwischen zwei unendlich langen exzentrisch rotierenden Zylindern auftreten, werden für die Berechnung der Kräfte angewendet, die bei der Planetenbewegung des inneren Zylinders um die Achse des äußeren Zylinders auftreten. Dabei dürfen beide Zylinder entwedet ruhen oder mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um ihre Achsen rotieren. Als Grenzfall wird die Bewegung eines unendlich langen Zylinders in einem Halbraum betrachtet, der durch eine feste Ebene begrenzt wird, wobei der Zylinder eine konstante Geschwindigkeit senkrecht zur Achse und parallel zur Ebene besitzt.

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With 21 figures and 1 table     

Secondary flow induced by the rotation of a wavy rod

Summary The flow induced by the rotation of a wavy rod is studied using the method of domain perturbations. Of particular interest is the motion in axial planes which enters at second order. These secondary motions are sensitive to changes in the geometric and material parameters. For some values of the parameters the flow is entirely dominated by inertia; for other values, by normal stresses. For still other values of the parameters the competition between inertia and normal stresses causes the flow field to split into two distinct regions with normal stresses dominant near the rod and inertia dominant far away from the rod. The problem treated may be regarded as a model for the flow induced by agitators and stirring rods. The predictions of the analysis are in qualitative agreement with the experiments ofWhite, Chankraiphon andIde (6).

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Zusammenfassung Die Strömung, die durch Rotation eines welligen Stabes verursacht wird, wird mit Hilfe der Domänen-Störungsmethode untersucht. Von besonderem Interesse ist dabei die Strömung in axialen Ebenen, die in zweiter Ordnung auftritt. Diese Sekundärströmungen reagieren empfindlich auf eine Änderung der geometrischen und der Materialparameter. Für bestimmte Werte dieser Parameter ist die Strömung ausschließlich durch Trägheitseffekte bestimmt, während für andere Werte Normalspannungen ausschlaggebend sind. Schließlich führt in einem bestimmten Parameterbereich der Wettbewerb zwischen Trägheit und Normalspannungen zu einer Aufspaltung des Strömungsfeldes in zwei verschiedene Gebiete, wobei die Normalspannungen in Stabnähe und die Trägheitseffekte in großer Entfernung vom Stab vorherrschen. Das hier behandelte Problem kann als Modell für Strömungsfelder betrachtet werden, die durch Rührwerke und Rührstäbe hervorgerufen werden. Die analytischen Voraussagen sind in qualitativer Übereinstimmung mit Experimenten vonWhite, Chankraiphon andIde (6).

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With 4 figures and 1 table     

Unsteady elastico-viscous flow in a curved pipe

Summary An analysis is presented of the flow of an elasticoviscous liquid in a pipe of circular cross-section, coiled in a circle oflarge radiusR, under the influence of a pressure gradient oscillating (about a zero mean) with frequencyn. Of particular interest is the secondary flow set up in the cross-section of the pipe due to centrifugal effects. For sufficiently small values ofn, it is found that the flow pattern approaches that which would be produced by a steady pressure gradient having the same instantaneous value (Thomas andWalters 1963), and of the type that one would be led to expect by centrifugal effects. For large values ofn, the flow in the interior of the pipe, away from the wall, is spectacularly reversed, flow now being directed towards the centre of curvature, elasticity having the effect of reducing the critical (high) frequencyn = n _c which onsets flow reversal.

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Zusammenfassung Eine Analyse der Strömung einer elasto-viskosen Flüssigkeit in einer Röhre von rundem Querschnitt, die in einem Kreis mit einemgroßen RadiusR gewunden ist, wird unter dem Einfluß eines Druckgradienten, der mit der Frequenzn oszilliert (um einen Nulldurchschnitt), dargestellt. Von besonderem Interesse ist die Sekundärströmung, die in dem Querschnitt der Röhre unter dem Einfluß der Zentrifugalwirkungen entsteht. Für genügend kleine Werte vonn wird herausgefunden, daß das Strömungsbild sich demjenigen annähert, das von einem stationären Druckgradienten erzeugt werden würde, der denselben augenblicklichen Wert besitzt (Thomas andWalters 1963) und dem Typus angehört, den man aufgrund der Zentrifugalwirkungen erwarten würde. Für große Werte vonn wird die Strömung im Inneren der Röhre, d. h. von den Rändern entfernt, in spektakulärer Weise umgekehrt; jetzt wird die Strömung zum Krümmungsmittelpunkt hin gerichtet, und die Elastizität hat die Wirkung, die kritische (hohe) Frequenzn = n _c zu reduzieren, bei der die Strömungsumkehr beginnt.

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With 2 figures     

Nonlinear analysis of doubly curved symmetrically laminated shallow shells with rectangular planform

Summary A multi-mode solution to the dynamic Marguerre-type nonlinear equations is presented for the nonlinear free vibration of doubly curved, symmetrically laminated, imperfect shallow shells of rectangular planform on a Winkler-Pasternak elastic foundation. The shell edges are assumed to be transversely supported and the variation of rotational stiffness is identical along opposite edges. Generalized double Fourier series with time-dependent coefficients and the method of harmonic balance are used in the solution. The boundary condition for the varying rotational stiffness is fulfilled by replacement of bending moments along the four edges by an equivalent lateral pressure. Based on a single-mode approximation numerical results for the amplitude-frequency response of doubly curved isotropic, orthotropic, cross-ply and angle-ply shallow shells with square planform are presented for various boundary conditions, material properties, curvature ratios, initial imperfections, edge tensions, and moduli of the elastic foundation. Graphical results for postbuckling behavior of an imperfect angle-ply cylindrical panel are also presented as a special case.

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Nichtlineares Verhalten zweifach gekrümmter, symmetrisch geschichteter dünner Schalen mit rechteckigem Grundriß

Übersicht Vorgestellt wird eine Mehrfachwellenform-Lösung der dynamischen Gleichungen vom Marguerre-Typ für die nichtlinearen Eigenschwingungen zweifach gekrümmter dünner Schalen aus symmetrischen Schichtungen, die geometrisch imperfekt sind und über einen rechteckigen Grundriß auf einer elastischen Winkler-Pasternak-Bettung lagern. Angenommen wird eine gelenkige Lagerung der Plattenränder mit einer veränderlichen Drehbehinderung, die auf gegenüberliegenden Rändern gleich ist. Zur Lösung werden verallgemeinerte zweifache Fourier-Reihen mit zeitabhängigen Koeffizienten und die Methode der harmonischen Balance benutzt. Die Randbedingung für die veränderliche Drehbehinderung wird dadurch erfüllt, daß die Randmomente durch einen äquivalenten Vertikaldruck ersetzt werden. Mit der Näherung nur einer Wellenform werden numerische Ergebnisse für die Beziehung zwischen Amplitude und Frequenz angegeben; variiert werden dabei die Randbedingungen, die anfänglichen Imperf ektionen, die Krümmungsverhältnisse, die Bettungszahlen und die Materialkonstanten, wobei die Platte entweder isotrop oder bei recht- und schiefwinkliger Schichtung orthotrop ist. Als Sonderfall wird auch das Nachbeulverhalten einer imperfekten, schiefwinklig geschichteten Zylinderschale graphisch dargestellt.

     

Entry flow in weakly curved ducts

Summary The properties of steady incompressible flow in the entry region of curved ducts are studied theoretically for large Reynolds numbers. Under the assumption that the inviscid core flow may be approximated sufficiently well by a potential vortex the boundary layer equations are solved by means of integral methods. In order to improve the accuracy momentum as well as energy relationships are used.

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Einlaufströmung in schwach gekrümmten Rohren

Übersicht Die Eigenschaften einer stationären, inkompressiblen Strömung im Einlaufbereich gekrümmter Rohre werden für große Reynoldszahlen theoretisch untersucht. Unter der Voraussetzung, daß die reibungsfreie Kernströmung hinreichend genau durch einen Potentialwirbel angenähert werden kann, werden die Grenzschichtgleichungen mit Integralmethoden gelöst. Um die Genauigkeit zu erhöhen, werden sowohl Impuls- als auch Energiebeziehungen verwendet.

     

Three-dimensional compressible potential flow in a curved duct

Summary The three-dimensional problem of compressible potential flow in a bend of a circular duct is studied by means of a perturbation method. As perturbation parameter is used the quotient between the radius of the duct and the radius of curvature of the duct, and the solution includes terms of the first and second order of this parameter. Numerical calculations have been performed for the values 0.2 and 0.1 of the perturbation parameter, and the plotted result shows how the axial velocity distribution changes from the straight to the curved region of the duct.

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Übersicht Mit Hilfe einer Störungsmethode wird die dreidimensionale Strömung einer kompressiblen Flüssigkeit in einer gekrümmten kreisförmigen Rohrleitung untersucht. Als Störungsparameter wird das Verhältnis von Querschnittradius zum Krümmungsradius des Leitungsbogens verwendet. Die Lösung wird bis zu Gliedern von zweiter Ordnung angegeben. Numerische Berechnungen werden für die Werte 0,1 und 0,2 des Störungsparameters durchgeführt. In Diagrammen wird gezeigt, wie sich die axiale Geschwindigkeitsverteilung beim Übergang vom geraden zum gekrümmten Teil der Leitung verändert.

     

Analysis of the behavior of a bubble in a viscous incompressible liquid by finite element method

Summary The finite element method is used for the analysis of the behavior of a nonspherical bubble in a viscous incompressible liquid under axial conditions. The finite element approximations of the Navier Stokes equations are formulated by taking velocity and pressure as unknown variables. The flow field is discretized by triangular elements, and the bubble surface is represented by isoparametric elements with curved sides. This numerical technique is applied to the simulation of an initially spherical vapor bubble collapsing near a plane solid wall. It is made clear that a jet formed on the bubble is decelerated by the effect of liquid viscosity.

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Übersicht Mit dem Verfahren der Finiten Elemente wird das Verhalten einer nichtkugelförmigen Blase in einer zähen inkompressiblen Flüssigkeit bei rotationssymmetrischen Bedingungen untersucht. Die Navier-Stokesschen Gleichungen werden mit der Methode der Finiten Elemente näherungsweise gelöst. Das Strömungsfeld um die Blase wird in kleine dreieckige Elemente zerlegt, wobei die Oberfläche der Blase durch isoparametrische Elemente mit gekrümmten Seiten ersetzt wird. Die numerischen Rechnungen werden für den Zusammenbruch einer Blase, die anfangs kugelförmig war, in der Nähe einer ebenen festen Wand durchgeführt. Das Ergebnis zeigt, daß sich die Geschwindigkeit des in der Blase entstehenden Flüssigkeitsstrahls wegen des Einflusses der Zähigkeit vermindert.

     

Umströmung beschleunigter und verzögerter Partikeln

Zusammenfassung In diesem Teil 2 des Berichtes werden die Ergebnisse der theoretischen Untersuchung über die Umströmung verzögerter Partikeln diskutiert. Die berechneten Stromlinienfelder vermitteln einen umfassenden Einblick in die Umströmung und in die damit verbundene Entwicklung der zunächst auf der Kugelrückseite entstehenden Wirbel. Es zeigt sich, daß nach einer vorausgehenden stationären Bewegung der Partikeln mit Wirbelbildung auf der Partikelrückseite eine Verzögerung sowohl ein Verschwinden der Wirbel als auch ein starkes Anwachsen der Wirbel auslösen kann. Setzt ein Wachstum der Wirbel ein, so hüllen die Wirbel schließlich die Partikeln vollkommen ein.Sowohl die Länge der Wirbel als auch der Ablösepunkt der Strömung von der Partikeloberfläche werden in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt.In einem besonderen Abschnitt werden die Widerstandsbeiwerte bestimmt. Sie zeigen bei verzögerter Bewegung eine sehr bemerkenswerte Abhängigkeit von der momentanen Reynolds-ZahlRe _t , die physikalisch erklärt wird.

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Fluid flow around accelerated and decelerated particles. Part 2

This report on theoretical-numerical investigation on fluid flow around accelerated and decelerated particles is presented in two parts. The preceding first part includes the physical fundamentals of unsteady state motion of particles, the numerical methods applied for the solution of the differential equations, and a discussion of results for the case of accelerated particles.The second part of this report is devoted to the discussion of results for fluid flow around decelerated particles. Special attention is given to formation and development of the vortex and detachment of the streamlines from the particle surface.

     

Zur dynamischen Stabilität des schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes

Übersicht Die folgende Untersuchung befaßt sich mit der Stabilität eines schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes unter einer statischen und unter einer periodischen Druckkraft in Richtung der Erzeugenden. Sie geht von geometrisch nichtlinearen Bewegungsgleichungen aus. Ein einfacher Näherungsansatz für den Verlauf der Verschiebungen führt über das Galerkinsche Verfahren auf die Bewegungsgleichung eines nichtlinearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad. Seine Phasenporträts für verschiedene Größen der statischen Druckkraft veranschaulichen die bekannten Aussagen über die Stabilität der Schale. Die Schwingungen unter der periodischen Druckkraft ergeben sich mit Hilfe der Störungsrechnung. Die Größenordnung der dabei auftretenden nichtlinearen Glieder wird verglichen.

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Summary The paper deals with the stability of a cylindrical panel of small curvature loaded by static or periodically variable aixal pressure forces. It starts from the geometrically nonlinear equations of motion. By use of Galerkin's approximation a simple function for the deformations leads to the equation of motion of a nonlinear vibrator with one degree of freedom. The phaseportraits for several values of the static pressure force illustrate the known results concerning the stability of shells. The vibrations produced by periodical pressure forces are calculated by means of the method of small parameters. The magnitudes of the most important nonlinear expressions are compared.

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Auszug aus einer von der Fakultät für Bauwesen der Technischen Hochschule München genehmigten Habilitationsschrift; Berichter: Prof. Dr.-Ing. G. Knittel, Mitberichter: Prof. Dr. rer. nat. habil. H. Stefaniak, Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. A. Pflüger.     

Stokes problem for elastico-viscous fluid

Summary An approximate solution to the flow past an impulsively started infinite plate in an elastico-viscous fluid is derived for the velocity and shearing stress. It is observed that the velocity increases with increasing the elastic parameterk and the shearing stress decreases with increasingk.

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Zusammenfassung Für den Fall der Strömung längs einer ruckartig in Bewegung gesetzten unendlichen Platte in einer viscoelastischen Flüssigkeit ist eine Näherungslösung für Geschwindigkeit und Scherspannungabgeleitet. Dabeiwurde beobachtet, daß die Geschwindigkeit mit Zunahme des Elastizitätsparametersk ansteigt und die Scherspannung mit zunehmendemk abnimmt.

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With 1 figure and 1 table     

Influence of surface roughness on the flow through a staggered tube bank

The influence of surface roughness on the cross-flow through a staggered tube bank is investigated in the range of Reynolds numbers 4 ×10⁴ <Re, < 10⁷. At two roughness conditions the total pressure drop, the static pressure distribution and the local skin friction were measured. In the subcritical flow régime no effect of surface roughness on the pressure drop could be observed. Exceeding a critical Reynolds number, which itself is depending on surface roughness, the curve splits in terms of surface roughness parameterk _s/D. In the transcritical range the flow becomes independent of the tube diameterD, while the roughness heightk _s is the new characteristic length. By means of the local pressure and skin friction distribution the boundary layer behaviour was studied. Particularly the boundary layer separation and the friction forces were considered. The experiments are completed by investigations on the flow past a single row of tubes.

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Zusammenfassung Im Bereich der Reynolds-Zahlen 4 × 10⁴ < Re < 10⁷ wurde der Einfluß der Oberflächenrauhigkeit auf die Umströmung eines versetzten Rohrbündels untersucht. Unter zwei verschiedenen Rauhigkeitsbedingungen wurden der Gesamtdruckverlust sowie die örtliche Druck- und Wandschubspannungsverteilung gemessen. Im unterkritischen Strömungsbereich konnte kein Einfluß der Oberflächenrauhigkeit auf die Strömung beobachtet werden. Erst beim Überschreiten einer sogenannten kritischen Reynolds-Zahl, die ihrerseits wieder von der Oberflächenrauhgikeit abhängig ist, teilt sich die Kurve für den Druckverlust nach Maßgabe des Rauhigkeitsparametersk _s/D auf. Im transkritischen Strömungsbereich wird die Durchströmung des Bündels vom RohrdurchmesserD unabhängig. Als neue charakteristische Länge ist die Rauhigkeitshöhek _s anzusehen. Anhand der lokalen Druck- und Wandschubspannungsverteilung wurde das Grenzschichtverhalten studiert. Im einzelnen wurden Aussagen über die Grenzschichtablösung sowie über den Anteil der Reibungskräfte am Gesamtdruckverlust gewonnen. Ergänzend wird über Versuche an einer einzelnen Rohrreihe berichtet.

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Bending of a partially clamped rectangular plate

Summary The present study deals with the bending of a rectangular plate with two opposite simply-supported edges and other two free edges having any portion, clamped in such a way that the slope is zero. The solution is obtained by means of a superposition proposed by Kurata and Hatano [3]. The case of a square plate under a uniform load or a point load has been studied in detail.

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Übersicht Es wird die Biegung einer rechteckigen Platte untersucht, von der zwei Ränder einfach unterstützt sind, während die anderen Ränder zum Teil frei sind, zum Teil so eingespannt, daß die Neigung verschwindet. Die Lösung wird mit Hilfe einer Superposition erhalten, die von Kurata und Hatano [3] vorgeschlagen wurde. Für den Fall einer quadratischen Platte unter einer gleichförmigen Last oder einer Einzellast werden die Berechnungen weiter ausgeführt.

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This paper is a part of author's Ph. D. thesis submitted to the Indian Institute of Technology, Kharagpur in 1965.