精细时程积分法及其数值衍生格式应用评估

旋翼气动弹性耦合动力学方程本质上是一组刚性比较大的非线性偏微分方程。在有限元结构离散后，可改写为非齐次微分方程组，其中非齐次项是桨叶运动量（位移与速度）和气动载荷的函数。针对这类方程，本文尝试引入精细积分法及其衍生格式，借助数值方法计算Duhamel积分项。从积分精度与数值稳定性方面比较研究具有代表性的精细库塔法和高精度直接积分法。结合隐式积分算法，评估精细积分法应用于旋翼动力学方程的可行性。算例表明，精细积分法对矩形直桨叶动力学方程具有足够的求解精度。     

精细时程积分法及其数值衍生格式应用评估

旋翼气动弹性耦合动力学方程本质上是一组刚性比较大的非线性偏微分方程。在有限元结构离散后,可改写为非齐次微分方程组,其中非齐次项是桨叶运动量(位移与速度)和气动载荷的函数。针对这类方程,本文尝试引入精细积分法及其衍生格式,借助数值方法计算Duhamel积分项。从积分精度与数值稳定性方面比较研究具有代表性的精细库塔法和高精度直接积分法。结合隐式积分算法,评估精细积分法应用于旋翼动力学方程的可行性。算例表明,精细积分法对矩形直桨叶动力学方程具有足够的求解精度。     

基于精细积分技术的非线性动力学方程的同伦摄动法

将精细积分技术（PIM）和同伦摄动方法（HPM）相结合，给出了一种求解非线性动力学方程的新的渐近数值方法。采用精细积分法求解非线性问题时，需要将非线性项对时间参数按Taylor级数展开，在展开项少时，计算精度对时间步长敏感；随着展开项的增加，计算格式会变得越来越复杂。采用同伦摄动法，则具有相对筒单的计算格式，但计算精度较差，应用范围也限于低维非线性微分方程。将这两种方法相结合得到的新的渐近数值方法则同时具备了两者的优点，既使同伦摄动方法的应用范围推广到高维非线性动力学方程的求解，又使精细积分方法在求解非线性问题时具有较简单的计算格式。数值算例表明，该方法具有较高的数值精度和计算效率。     

Duhamel项的精细积分方法在非线性微分方程数值求解中的应用

基于Duhamel项的精细积分方法,构造了几种求解非线性微分方程的数值算法。首先将非线性微分方程在形式上划分为线性部分和非线性部分,对非线性部分进行多项式近似,利用Duhamel积分矩阵,导出了非线性方程求解的一般格式。然后结合传统的数值积分技术,例如Adams线性多步法等,构造了基于精细积分方法的相应算法。本文算法利用了精细积分方法对线性部分求解高度精确的优点,大大提高了传统算法的数值精度和稳定性,尤其是对于刚性问题。本文构造的算法不需要对线性系统矩阵求逆,可以方便的考察不同的线性系统矩阵对算法性能的影响。数值算例验证了本文算法的有效性,并表明非线性系统的线性化矩阵作为线性部分是比较合理的选择。     

子域精细积分及偏微分方程数值解

对于偏微分方程半解析法的方程，精细时程积分虽然能求出高度准确的解，但往往面临矩阵尺度太大的困难，另一方面差分法虽然有带宽小的优点，但有稳定性及精度方面的问题，本文提出子域精细积分法，既可利用精细积分的数值优点，又有带宽小的好处，数值例题表明了子域精细积分法的效能。     

子域精细积分及偏微分方程数值解

对于偏微分方程半解析法的方程，精细时程积分虽然能求出高度准确的解，但往往面临矩阵尺度太大的困难；另一方面差分法虽然有带宽小的优点，但有稳定性及精度方面的问题．本文提出子域精细积分法，既可利用精细积分的数值优点，又有带宽小的好处．数值例题表明了子域精细积分法的效能．     

Burgers方程的小波精细积分算法

求解偏微分方程的常用方法包括有限差分法、有限元法等。近年来,小波分析在偏微分方程数值求解中的应用已引起很多学者的关注,例如采用Daubechies小波或shannon小波构造的小波配置方法已经取得较好的结果。钟万勰院士提出的偏微分方程的子域精细积分方法是一种半解析方法,方法简单,精度高。将小波方法和精细积分方法相结合应用于偏微分方程的数值求解中将有利于提高算法的精度和稳定性,为此本文以Burgers方程为例,提出了一种求解一维非线性抛物型偏微分方程的小波精积分方法。该方法用拟小波配点法对空间域进行离散,建立起对时间的常微分方程组,然后采用精细时程积分方法对该方程组求解。数值计算结果表明,该方法同其它方法相比,具有计算格式简单,数值稳定性和精度较高的优点。     

瞬态热传导问题的精细积分-双重互易边界元法

采用双重互易边界元法结合精细积分法求解二维含热源的瞬态热传导问题。针对边界积分方程中热源项和温度关于时间导数项引起的域积分,采用双重互易法处理,将域积分转换为边界积分。采用边界元法将边界积分方程离散后,得到关于时间的微分方程组,并利用精细积分法处理其中的指数型矩阵;对于微分方程组中由边界条件和热源项引起的非齐次项,采用解析的方法计算。为了比较精细积分-双重互易边界元法的计算效果,同时使用有限差分法计算温度对时间的导数项。通过数值算例验证了本文方法的有效性和精确性。计算结果表明:时间步长对于精细积分-双重互易边界元法的结果影响较小,而有限差分法对时间步长比较敏感且只在时间步长选取较小时有效;当选取较大时间步长时,精细积分-双重互易边界元法依然具有良好的计算精度。     

基于Fourier级数的时变周期系数Riccati微分方程精细积分

结合Fourier级数展开方法,本文提出了基于精细积分的时变周期系数Riccati微分方程求解高效算法.首先,利用Fourier级数展开方法将周期系统表示成三角级数形式,在一个积分步内使用精细积分方法得到对应Hamilton系统状态转移矩阵的表达式.然后,通过Riccati变换的方法,得到含有状态转移矩阵的时变周期系数Riccati微分方程解的递推格式.本文方法充分利用了方程本身的周期性特点,文中的数值算例表明算法具有计算效率高、结果可靠等优势.     

非线性度对修正双步长显式法及常用逐步积分法的影响

为了掌握非线性度对逐步积分法的影响,研究了几种积分算法在不同非线性度振动系统中的响应。通过3个典型非线性算例,对修正双步长显式法、蛙跳式中心差分法、Newmark法、广义α法和精细积分法的计算精度和稳定性能等进行了比较。结果表明:非线性度对广义α法、精细积分法和Newmark法的稳定性有影响;高非线性度对Newmark法的计算稳定性影响最大;时间步长越小,算法精度和计算量越高;相同小步长情况下,精细积分法的精度最高,而修正双步长显式法的计算量最小;在时间步长较大时,低非线性度会引起精细积分法不稳定,修正双步长显式法的精度最高,修正双步长显式法在非线性系统中具有很强的鲁棒性。     

无条件稳定的更新精细积分方法

提出将Pade逼近与精细积分方法中的指数矩阵运算技巧结合起来,建立了精细积分法的更新形式及计算过程,对该更新精细积分方法的稳定性进行了论证与探讨.结果表明,该更新精细积分方法是无条件稳定的,整个积分方法的精度取决于所取Pade逼近的阶数与高斯积分点的数量.数值例题也显示了该方法的高效率及其可行性.     

在哈密顿体系下分析非线性动力学问题

首先将ｎ维未知向量ｑ的二阶非线性力系统Ｍｑ＋Ｇｑ＋Ｋｑ＝Ｆ（ｑ,ｑ,ｔ）转化为与其等价的２ｎ维未知向量ｖ的一阶微分方程ｖ＝Ｈｖ＋ｆ（ｖ,ｔ）,其中非线性部分ｊｉ（ｖ,ｔ）＝０（ｉ＝１,．．．ｎ）,ｆｉ（ｖ,ｔ）＝Ｆｉ－ｎ（ｑ,ｑ,ｔ）（ｉ＝ｎ＋１,．．．２ｎ）;然后给出一种求解ｖ的逐步积分公式,从而将精细积分法进一步推广应用到非线性动力学问题。算例表明本方法的计算量较小且结果合理可靠。     

A combined parametric quadratic programming and precise integration method based dynamic analysis of elastic-plastic hardening/softening problems

The objective of the paper is to develop a new algorithm for numerical solution of dynamic elastic-plastic strain hardening/softening problems. The gradient dependent model is adopted in the numerical model to overcome the result mesh-sensitivity problem in the dynamic strain softening or strain localization analysis. The equations for the dynamic elastic-plastic problems are derived in terms of the parametric variational principle, which is valid for associated, non-associated and strain softening plastic constitutive models in the finite element analysis. The precise integration method, which has been widely used for discretization in time domain of the linear problems, is introduced for the solution of dynamic nonlinear equations. The new algorithm proposed is based on the combination of the parametric quadratic programming method and the precise integration method and has all the advantages in both of the algorithms. Results of numerical examples demonstrate not only the validity, but also the advantages of the algorithm proposed for the numerical solution of nonlinear dynamic problems. The project supported by the National Key Basic Research Special Foundation (G1999032805), the National Natural Science Foundation of China (19872016, 50178016, 19832010) and the Foundation for University Key Teacher by the Ministry of Education of China     

关于动力分析精细积分算法精度的讨论

对动力问题分析的精细积分算法的精度问题进行深入研究,并在此基础上提出对原有的算法的改进策略,改进后的算法可以较好地克服算法精度对积分时间步长的依赖性问题。     

结构动力方程的更新精细积分方法

将高斯积分方法与精细积分方法中的指数矩阵运算技巧结合起来,建立了精细积分法的更新形式及计算过程,对该更新精细积分方法的稳定性进行了论证与探讨。在实施精细积分过程中不必进行矩阵求逆,整个积分方法的精度取决于所选高斯积分点的数量。这种方法理论上可实现任意高精度,计算效率较高,其稳定性条件极易满足。数值例题也显示了这种方法的有效性。     

Vibration transmission through an impacting mass-in-mass unit,an analytical investigation

Impacting events are discontinuous and non-smooth in nature; thus, resulting in various forms of complex nonlinear dynamics. A numerical algorithm has been developed based on the analytical solution to distinguish different classes of impacting responses. The main advantages of the solver are that it can either stop the integration process after automatically identifying the steady state solution or continue until the maximum time is reached in case of the chaotic type response. To identify the frequency of higher periodic response, a periodicity coefficient has been defined as the frequency ratio of excitation and the system's response. The effect of coefficient of restitution on the different dynamic responses is also discussed within the scope of the paper. The amplitude of the vibration of the main mass is reduced due to the presence of the multi-periodic and chaotic impacting responses for a wide range of excitation frequencies. These characteristics make impact dampers ideal for applications in wideband vibration insulation and a unit of wideband nonlinear metamaterial.     

An adaptive algorithm of precise integration for transient analysis

This paper presents an improved precise integration algorithm for transient analysis of heat transfer and some other problems. The original precise integration method is improved by means of the inverse accuracy analysis so that the parameterN, which has been taken as a constant and an independent parameter without consideration of the problems in the original method, can be generated automatically by the algorithm itself. Thus, the improved algorithm is adaptive and the accuracy of the algorithm is not dependent on the length of the time step in the integration process. It is shown that the numerical results obtained by the method proposed are more accurate than those obtained by the conventional time integration methods such as the difference method and others. Four examples are given to demonstrate the validity, accuracy and efficiency of the new method. Project supported by the National Natural Science Foundation of China (No. 19872016, 19872017), the National Key Basic Research Special Foundation (G1999032805) and the Foundation for University Key Teachers by the Ministry of Education of China.     

波动方程的精细逐步积分法

应用现有的波动方程求解方法解决工程实际问题尚存在一定的局限性。本文在结构动力方程精细逐步积分的基础上,提出了波动方程初边值问题的精细逐步积分法,并分别给出了不同边界条件下的精细逐步积分格式。此数值方法虽然是显式积分方法,却是无条件稳定的。分别用精细逐步积分法和其它已有的方法对两个算例进行了计算,一个是有解析解的例子,该例验证了此方法的准确性,另一个例子是求解由波动方程及初始条件和边界条件组成的有杆抽油系统预测模型,此例验证了精细逐步积分法的高效性。     

非线性Schrdinger方程的保辛数值求解

首先将非线性Schrdinger方程化为Hamilton正则方程形式,而后建立Hamilton体系下的变分原理。再用有限元法离散空间坐标,同时对时间坐标进行精细积分,最后运用混合能变分原理,提出非线性Schrdinger方程保辛数值解法。这种解法在保辛的同时,可以让能量和质量在积分格点上亦全部达到守恒。数值算例验证了该方法的有效性。