子域精细积分及偏微分方程数值解

对于偏微分方程半解析法的方程，精细时程积分虽然能求出高度准确的解，但往往面临矩阵尺度太大的困难；另一方面差分法虽然有带宽小的优点，但有稳定性及精度方面的问题．本文提出子域精细积分法，既可利用精细积分的数值优点，又有带宽小的好处．数值例题表明了子域精细积分法的效能．     

瞬态热传导方程精细积分方法中对称性的利用

采用精细积分法求解瞬态热传导方程时,对指数矩阵进行变换后使其具有对称性,利用这一特性可使存贮量和计算量降低一半。变换后指数矩阵的带宽特性不变,采用子域精细积分可进一步提高算法的计算与存储效率。     

基于Householder方法的子域精细积分

有限元法生成的矩阵通常具有尺度和带宽很大的特点,应用子域精细积分面临着选择子域的困难。本文采用Householder方法将矩阵三对角化,从而使子域精细积分可用于大型有限元系统。通过在子域精细积分中引入预估-校正格式,可以在不需要迭代的情况下得到比蛙跳格式更高的精度。     

波动方程的精细逐步积分法

应用现有的波动方程求解方法解决工程实际问题尚存在一定的局限性。本文在结构动力方程精细逐步积分的基础上,提出了波动方程初边值问题的精细逐步积分法,并分别给出了不同边界条件下的精细逐步积分格式。此数值方法虽然是显式积分方法,却是无条件稳定的。分别用精细逐步积分法和其它已有的方法对两个算例进行了计算,一个是有解析解的例子,该例验证了此方法的准确性,另一个例子是求解由波动方程及初始条件和边界条件组成的有杆抽油系统预测模型,此例验证了精细逐步积分法的高效性。     

精细时程积分法及其数值衍生格式应用评估

旋翼气动弹性耦合动力学方程本质上是一组刚性比较大的非线性偏微分方程。在有限元结构离散后，可改写为非齐次微分方程组，其中非齐次项是桨叶运动量（位移与速度）和气动载荷的函数。针对这类方程，本文尝试引入精细积分法及其衍生格式，借助数值方法计算Duhamel积分项。从积分精度与数值稳定性方面比较研究具有代表性的精细库塔法和高精度直接积分法。结合隐式积分算法，评估精细积分法应用于旋翼动力学方程的可行性。算例表明，精细积分法对矩形直桨叶动力学方程具有足够的求解精度。     

非齐次动力学方程的一种精细积分单步方法

针对非齐次动力学方程■,结合精细积分法和微分求积法,利用同阶的显式龙格-库塔法对计算过程中待求的v_(k+i/s)(i=1,2,…,s)进行预估,提出了一种避免状态矩阵求逆的高效精细积分单步方法。该方法采用精细积分法计算e~(Ht),而Duhamel积分项采用s级s阶的时域微分求积法,计算格式统一且易于编程,可灵活实现变阶变步长。仿真结果表明,与其他单步法及预估校正-辛时间子域法进行数值比较,该方法具有高精度、高效率及良好的稳定性,在求解大规模动力系统时间响应问题中具有较大的优势。     

扩散方程单内点精细积分法与差分法比较研究

一维扩散方程初值问题可以用全域或子域精细积分求解。子域积分可以采用不同数量的内点，单内点是其最简单的情况。当单内点精细积分中的传递函数即指数函数用其泰勒展开式的一阶近似来替代时，精细积分转化为差分方程。本文研究了这一对应关系。各种常见差分格式均找到了对应的单点精细积分格式，并在单点精细积分一般公式中得到了统一表达形式     

精细时程积分法及其数值衍生格式应用评估

旋翼气动弹性耦合动力学方程本质上是一组刚性比较大的非线性偏微分方程。在有限元结构离散后,可改写为非齐次微分方程组,其中非齐次项是桨叶运动量(位移与速度)和气动载荷的函数。针对这类方程,本文尝试引入精细积分法及其衍生格式,借助数值方法计算Duhamel积分项。从积分精度与数值稳定性方面比较研究具有代表性的精细库塔法和高精度直接积分法。结合隐式积分算法,评估精细积分法应用于旋翼动力学方程的可行性。算例表明,精细积分法对矩形直桨叶动力学方程具有足够的求解精度。     

一类非线性周期系统响应的精细积分法

对于一类非线性周期／变系数微分方程,提出基于精细积分法的数值解法,处理非线性周期／变系数微分方程系统的响应问题,其积分策略是：采用精细积分格式处理常系数部分;采用线性插值格式处理非线性周期／变系数部分,既继承精细积分方程高度准确的特点,又保证足够的精度与较小的计算量。通过数值算例,与以往与用的微分方程直接数值积分法（如预估－校正哈明法）求得的解加以比较表明,对于给定的精度要求,精细积分法更经济有效     

非线性动力方程的增维精细积分法

对线性定常结构的动力系统提出的精细积分法，能得到在数值上逼近于精确解的结果。但是对于非齐次动力方程却涉及到矩阵求逆的困难，而且通常与时间有关的非齐次项不能进入精细积分的细化过程。采用增维的方法，将非齐次动力方程化为齐次方程，在实施精细积分的过程中不必进行矩阵求逆。这种处理方法对于程序实现和提高数值计算的稳定性十分有利，而且在大型问题中可明显提高计算效率，数值算例显示本文方法是有效的。     

Burgers方程的小波精细积分算法

求解偏微分方程的常用方法包括有限差分法、有限元法等。近年来,小波分析在偏微分方程数值求解中的应用已引起很多学者的关注,例如采用Daubechies小波或shannon小波构造的小波配置方法已经取得较好的结果。钟万勰院士提出的偏微分方程的子域精细积分方法是一种半解析方法,方法简单,精度高。将小波方法和精细积分方法相结合应用于偏微分方程的数值求解中将有利于提高算法的精度和稳定性,为此本文以Burgers方程为例,提出了一种求解一维非线性抛物型偏微分方程的小波精积分方法。该方法用拟小波配点法对空间域进行离散,建立起对时间的常微分方程组,然后采用精细时程积分方法对该方程组求解。数值计算结果表明,该方法同其它方法相比,具有计算格式简单,数值稳定性和精度较高的优点。     

无条件稳定的更新精细积分方法

提出将Pade逼近与精细积分方法中的指数矩阵运算技巧结合起来,建立了精细积分法的更新形式及计算过程,对该更新精细积分方法的稳定性进行了论证与探讨.结果表明,该更新精细积分方法是无条件稳定的,整个积分方法的精度取决于所取Pade逼近的阶数与高斯积分点的数量.数值例题也显示了该方法的高效率及其可行性.     

精细积分法在电报方程求解中的应用

将精细积分法应用到了二维的电报方程的数值计算之中。实例计算表明，该方法具有简单、计算精度高、无条件稳定、不需要进行复杂、费时的频域一时域转换及卷积积分，直接时域分析，处理非零初始值容易等优点。与传统的ＦＦＴ法及ＮＩＬＴ法相比，其效率更高，功能更强。     

基于精细积分技术的非线性动力学方程的同伦摄动法

将精细积分技术（PIM）和同伦摄动方法（HPM）相结合，给出了一种求解非线性动力学方程的新的渐近数值方法。采用精细积分法求解非线性问题时，需要将非线性项对时间参数按Taylor级数展开，在展开项少时，计算精度对时间步长敏感；随着展开项的增加，计算格式会变得越来越复杂。采用同伦摄动法，则具有相对筒单的计算格式，但计算精度较差，应用范围也限于低维非线性微分方程。将这两种方法相结合得到的新的渐近数值方法则同时具备了两者的优点，既使同伦摄动方法的应用范围推广到高维非线性动力学方程的求解，又使精细积分方法在求解非线性问题时具有较简单的计算格式。数值算例表明，该方法具有较高的数值精度和计算效率。     

结构动力方程的更新精细积分方法

将高斯积分方法与精细积分方法中的指数矩阵运算技巧结合起来,建立了精细积分法的更新形式及计算过程,对该更新精细积分方法的稳定性进行了论证与探讨。在实施精细积分过程中不必进行矩阵求逆,整个积分方法的精度取决于所选高斯积分点的数量。这种方法理论上可实现任意高精度,计算效率较高,其稳定性条件极易满足。数值例题也显示了这种方法的有效性。     

结构动力方程的精细与差分耦合时程积分法

提出一种将精细积分法与Newmark-β法耦合起来的结构动力学时程积分方法．该方法通过引入Newmark-β法的基本假设，将加速度分量从动力学方程中消去，动力学方程由二阶常微分方程组变为一阶常微分方程组，然后再用精细积分法进行逐步积分．与直接应用精细积分法相比，方程的个数可以减少一半．该文对这种方法进行了理论推导和算例验证，表明了该方法在结构动力分析中的有效性．     

一种广义精细积分法

提出了求解非齐次动力方程特解的一种精细数值积分法，该方法与通解 精细积分法具有相同精度. 首先选取一个积分形式的非齐次方程特解，将积分区域划分为 2$^{N}$份，并对之进行精细的数值积分；然后针对载荷为多项式、指数函数及三角函数的情 况，将积分求和转化为一个递推过程，按此只需$n$次矩阵乘法就能计算出积分和，从而得到 非齐次方程的特解. 该方法的优点是能与通解的精细积分过程有机地结合起来，具有极高的 精度和效率，同时还具有较广泛的适用范围. 算例结果证明了该方法的有效性.     

瞬态热传导问题的精细积分-双重互易边界元法

采用双重互易边界元法结合精细积分法求解二维含热源的瞬态热传导问题。针对边界积分方程中热源项和温度关于时间导数项引起的域积分,采用双重互易法处理,将域积分转换为边界积分。采用边界元法将边界积分方程离散后,得到关于时间的微分方程组,并利用精细积分法处理其中的指数型矩阵;对于微分方程组中由边界条件和热源项引起的非齐次项,采用解析的方法计算。为了比较精细积分-双重互易边界元法的计算效果,同时使用有限差分法计算温度对时间的导数项。通过数值算例验证了本文方法的有效性和精确性。计算结果表明:时间步长对于精细积分-双重互易边界元法的结果影响较小,而有限差分法对时间步长比较敏感且只在时间步长选取较小时有效;当选取较大时间步长时,精细积分-双重互易边界元法依然具有良好的计算精度。     

非线性度对修正双步长显式法及常用逐步积分法的影响

为了掌握非线性度对逐步积分法的影响,研究了几种积分算法在不同非线性度振动系统中的响应。通过3个典型非线性算例,对修正双步长显式法、蛙跳式中心差分法、Newmark法、广义α法和精细积分法的计算精度和稳定性能等进行了比较。结果表明:非线性度对广义α法、精细积分法和Newmark法的稳定性有影响;高非线性度对Newmark法的计算稳定性影响最大;时间步长越小,算法精度和计算量越高;相同小步长情况下,精细积分法的精度最高,而修正双步长显式法的计算量最小;在时间步长较大时,低非线性度会引起精细积分法不稳定,修正双步长显式法的精度最高,修正双步长显式法在非线性系统中具有很强的鲁棒性。     

时滞抛物型方程的高精度精细积分法

对一类时滞抛物型方程初边值问题,提出了关于空间步长是四阶精度的高精度无条件稳定的精细积分法.数值算例表明,本文提出的精细积分法具有很高的精度,因而是一种有效的数值方法.