Vierdimensionale Stabile Ebenen

Zusammenfassung Eine Stabile Ebene ist eine stetige Inzidenzstruktur mit eindeutig bestimmten Verbindungsgeraden zu je zwei Punkten, in der das Stabilitätsaxiom gilt: Besitzt ein Geradenpaar einen Schnittpunkt, so existiert der Durchschnitt auch für jedes genügend nah benachbarte Paar. Stabile Ebenen wurden bislang nur unter der Voraussetzung untersucht, daß der Punktraum eine Fläche ist (ebene Ebenen). Hier wird allgemeiner vorausgesetzt, daß der Punktraum lokalkompakt und von positiver Dimension ist. Es wird bewiesen, daß der Punktraum metrisierbar, lokal bogenzusammenhängend und lokal kontrahierbar ist. Das Büschel aller Geraden durch einen Punkt ist kompakt und zusammenhängend. Falls die Geraden Mannigfaltigkeiten sind, so sind die Büschel Sphären der Dimension 1, 2, 4 oder 8. Ist die Dimension der Punktmenge höchstens 4, so sind die Geraden stets Mannigfaltigkeiten. Eine stabile Ebene ist genau dann projektiv, wenn der Punktraum kompakt ist. Die Automorphismengruppe einer stabilen Ebene ist in der kompakt-offenen Topologie lokalkompakt; sie ist eine Liegruppe, falls der Punktraum R ⁴ ist.Unter der Voraussetzung, daß alle Geraden zu R ² homöomorph sind, werden folgende Aussagen bewiesen: Die Gruppe aller Kollineationen mit einem festen Zentrum wirkt frei und mit abgeschlossenen Bahnen auf dem Komplement des Zentrums; ist sie nicht kompakt, so gibt es durch das Zentrum genau eine Nichtschneidende zu jeder Geraden außerhalb. Involutorische Automorphismen sind entweder Punkt- oder Geradenspiegelungen, oder sie besitzen eine zweidimensionale Unterebene von Fixpunkten (Baer-Involutionen). An jedem Punkt und jeder Geraden gibt es höchstens eine Spiegelung. Die Dimension der Automorphismengruppe ist höchstens 12; ist sie größer als 9, so ist die Ebene affin und desarguessch. Andererseits gibt es eine nicht-affine Ebene mit 9-dimensionaler Gruppe. Fahnenhomogene Ebenen sind genau die desarguessche affine Ebene und die komplexe hyperbolische Ebene, das heißt die offene Einheitskugel der affinen Ebene mit der induzierten Struktur.     

A simple model for the fast transverse discharges used in pumping high-pressure gas lasers

Zusammenfassung Für die Anregung von Hochdruck-Gaslasern werden schnelle transversale Entladungen benutzt, die eine Art quasi-stabiler Glimmentladungen darstellen. Wir schlagen ein sehr vereinfachtes Modell vor, das solche Entladungen auf Grund einer Leistungsbilanz erklärt. Die durch das angelegte elektrische Feld an das Elektronengas gelieferte Leistung muß der durch Stöße mit den Gasmolekülen verlorenen Leistung der Elektronen gleich sein. An Hand einer numerischen Berechnung zeigen wir, daß dieses Modell eine akzeptable erste Näherung darstellt, daß es aber nicht zulässig ist, eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die Elektronenenergie anzunehmen. Der wahrscheinliche Grund dieser Glimmphase wird auch kurz besprochen, und wir können damit zeigen, warum es äußerst wichtig ist, daß die Anstiegszeit der angelegten Spannung auf einem Minimum gehalten wird.

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This work is part of a joint program between Brown, Boveri & Cie. AG and the Swiss Federal Institute of Technology.     

A finite time singularity of the boundary layer equations of natural convection

Summary The unsteady natural convection flow about a horizontal circular cylinder at whose surface the heat flux is constant is considered. A numerical solution of the equations valid in the vicinity of the uppermost generator of the cylinder displays singular behaviour after a finite time. It is demonstrated that the breakdown of the solution is consistent with a triple layer structure characterised by an inertia dominated central region.

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Zusammenfassung Wir untersuchen die nicht-stationäre natürliche Konvektion entlang eines horizontalen Zylinders mit konstantem Oberflächenwärmefluß. Eine in der Umgebung des obersten Generators des Zylinders gültige numerische Lösung führt nach endlicher Zeit zu einem singulären Verhalten. Es wird gezeigt, daß das Zusammenbrechen der Lösung konsistent ist mit einer Dreischichtstruktur in der der mittlere Bereich von der Trägheit dominiert wird.

     

A classical approach to the analyticity problem of center manifolds

One of the fundamental properties of center manifolds is that the study of a nonlinear differential equation near a stationary state can be reduced to the corresponding study of an equation on a center manifold. For center manifolds associated with a purely imaginary pair of eigenvalues the following is shown by classical means: although center manifolds may be nonanalytic the corresponding equations on center manifolds may be treated as if they were analytic.

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Zusammenfassung Eine der grundlegenden Eigenschaften von Zentrumsmannigfaltigkeiten besagt, daß man eine nichtlineare Differentialgleichung in der Nähe einer Ruhelage an Hand der zugehörigen Gleichung auf einer Zentrumsmannigfaltigkeit untersuchen kann. Für Zentrumsmannigfaltigkeiten, die zu einem rein imaginären Paar von Eigenwerten gehören, wird mittels klassischer Methoden folgendes gezeigt: obwohl Zentrumsmannigfaltigkeiten im allgemeinen nichtanalytisch sind kann man die zugehörigen Gleichungen auf Zentrumsmannigfaltigkeiten behandeln als wären sie analytisch.

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Supported by the Volkswagenwerk foundation.     

Verkehrsplanung einer Großstadt

Zusammenfassung Die im voranstehenden dargelegte Methode setzt sich das Ziel, mit naturwissenschaftlichen Methoden quantitative Aussagen bei der Analyse und Prognose des Verkehrs einer Großstadt zu machen. Sie erhebt zwar weder den Anspruch, sämtliche Verkehrsprobleme zu lösen, noch soll behauptet werden, daß es sich dabei um das einzig mögliche Verfahren handelt. Die geschilderte Methode besitzt aber den Vorteil, daß sie in der Praxis bereits mit geringen Kosten zu brauchbaren Ergebnissen geführt hat.Alle Entwicklungen auf diesem Gebiet stehen jeden Interessenten grundsätzlich zur Verfügung, nur legt das Mathematische Labor, das in Zusammenarbeit mit allen zuständigen Stellen der Wiener Verkehrsplanung die Entwicklungsarbeiten durchgeführt hat, Wert darauf, als Sammelpunkt der Erfahrungen bei der Durchführung an anderen Orten zu fungieren. In einem Fall wurde von einer deutschen Stelle bereits konkreter Gebrauch von der dargelegten Möglichkeit gemacht. Das lebhafte Interesse nationaler und internationaler Instanzen für die Wiener Bearbeitung läßt hoffen, daß sich die Städteplaner in steigendem Maße bei ihren immer schwierigeren Aufgaben naturwissenschaftlicher Hilfsmittel bedienen werden.     

General axisymmetric solution of the creeping motion equations in the presence of free surfaces and gravitational forces

The Navier Stokes equations for slow motion of an incompressible viscous flow in an axisymmetric tube under gravity are solved in terms of a pair of potential functions. Their gauge transformations and scaling properties are discussed and the velocity field of a fluid with a free upper surface at constant position is calculated from tube geometry and the outlet pressure. For numerical solution a polynomial approximation is given which is stable against the uncertainties of the boundary conditions as is demonstrated for a simple example.

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Zusammenfassung Die linearisierten Navier-Stokes Gleichungen für eine imkompressible zähe Flüssigkeit im Schwerefeld werden für den axialsymmetrischen Fall mit Hilfe zweier Potentialfunktionen gelöst. Ihre Eichtransformationen und Skalierungseigenschaften werden angegeben. Die Lösung wird dazu benutzt um das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit mit ortsfester freier Oberfläche in einem axialsymmetrischen Gefäß aus der Geometrie und dem Auslaßdruck zu berechnen. Zur numerischen Lösung wird eine polynomiale Näherung angegeben. An einem Beispiel wird gezeigt, daß die Methode gegen die Unsicherheiten der Randbedingungen stabil ist.

     

Further considerations of resonant oscillations in open tubes

Summary The problem investigated is that of a gas column contained in a tube which is open at one end and closed at the other by a periodically oscillating piston. A previous investigation by the present author showed that the effects of nonlinear amplitude dispersion may play a crucial role for this problem. In the course of this previous investigation a difference equation was derived which accounts for the effects of nonlinear distortion of the solutions. The present investigation shows that with the help of a suitable transformation this difference equation can be simplified considerably. Indeed, the proposed transformation makes the analysis which accounts for amplitude dispersion as simple as an analysis using small-amplitude expansions which does not account for amplitude dispersion. Furthermore, for certain boundary conditions at the open end, solutions can be found analytically.

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Zusammenfassung Betrachtet wird eine Gassäule in einem Rohr, welches an einem Ende durch einen periodisch schwingenden Kolben abgeschlossen und am anderen Ende offen ist. Eine frühere Untersuchung des Autors hat gezeigt, daß die Effekte der nichtlinearen Amplitudendispersion für das vorliegenden Problem eine wesentliche Rolle spielen können. Im Rahmen dieser früheren Untersuchung wurde eine Differenzengleichung hergeleitet, in welcher die Effekte der nichtlinearen Verzerrung von Lösungen berücksichtigt sind. Die vorliegende Untersuchung zeigt, daß diese Differenzengleichung mit einer geeigneten Transformation beträchtlich vereinfacht werden kann. Die vorliegende Transformation vereinfacht die Lösung des Problems in einem solchen Ausmaß, daß eine Untersuchung, welche die Amplitudendispersion berücksichtigt, (im Vergleich zu einer Behandlung des Problems mit Entwicklungen nach kleinen Amplituden) keine zusätzlichen Schwierigkeiten mit sich bringt. Außerdem können für bestimmte Randbedingungen am offenen Ende Lösungen auf analytischem Weg gefunden werden.

     

Energy propagation for finite amplitude shear waves

Zusammenfassung Die Arbeit beschäftigt sich mit der Fortpflanzung von Distorsionswellen endlicher Amplitude in einem unzusammendrückbaren isotropischen elastischen Stoff, der anfänglich einer homogenen reinen Verformung unterworfen ist. Es wird gezeigt, daß die Fortpflanzungsrichtung bezogen auf den verformten Ausgangszustand nicht normal zur Wellenfront, aber unabhängig von der genauen Form der Stoffgleichung ist.     

Das Hilbertsche Theorem über den analytischen Charakter der Lösungen der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Ohne ZusammenfassungFür das wichtige von Hilbert postulierte Theorem über den analytischen Charakter der Lösungen allgemeiner elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung lagen bis jetzt zwei verschiedene Beweise vor: 1. der von Herrn S. Bernstein in einer Annalen-Arbeit (1904), sowie einer später in russischer Sprache im XI. Bande der Kharkower Berichte veröffentlichten Abhandlung gegebene Beweis, 2. ein von Herrn Gevrey in den Annales de l'École Normale (1918) veröffentlichte, auf ganz anderen Prinzipien beruhende Beweis. Die erste Bernsteinsche Abhandlung ließ einige Fragen offen, die auch seine zweite, nur schwer zugängliche Arbeit nicht vollständig erledigte, so daß die Richtigkeit des Hilbertschen Theorems nicht ganz außer Zweifel stand, um so mehr, als die Gevreyschen Überlegungen nicht völlig lückenlos zu sein scheinen. (Man vergleiche übrigens die neuesten Ausführungen von Herrn Gevrey, Bulletin des sciences mathématiques,50 (1926), S. 113–128, insbes. die Fußnote 1).) In seinen vorstehend abgedruckten brieflichen Mitteilungen an Herrn Radó hat Herr Bernstein die zweifelhaften Stellen seines Beweises vollständig erledigt. Es ist sehr erfreulich, daß Herr Radó sich auf Wunsch der Schriftleitung bereit erklärt hatte, seine Behandlung der Bernsteinschen, sich auf den Hilbertschen Satz beziehenden Untersuchungen zu einer lückenlosen Schlußkette auszugestalten. Wir geben im folgenden die elegante, völlig elementare, manche interessante Züge bietende Darstellung des Herrn Radó wieder.     

On a control of a Markov chain under conditions with respect to the absolute stationary probabilities and cost

Summary We consider a homogeneous Markov chain with discrete parameter and a finite set of states. At every state we suppose a finite set of possible controls. The optimal policy securing the minimum, respectively maximum sum of certain stationary absolute probabilities will be searched under the condition that certain cost associated with a control stays at given boundaries. It is shown that the optimal policy does not belong necessarily to the class of pure policies. This problem is applicable, e.g. in a control of the quality of products through a financial reward of the workers.

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Zusammenfassung Wir betrachten eine homogene Markoffkette (MK) mit diskretem Zeitparameter und endlichem Zustandsraum. Die MK kann gesteuert werden, und zwar stehen in jedem Zustand endlich viele Aktionen zur Wahl, eine Strategie (Politik) ist gegeben durch die Angabe einer Aktion für jeden Zustand. Unter entsprechenden Voraussetzungen besitzen die den Strategien zugeordneten MK jeweils eine eindeutig bestimmte stationäre Verteilung. Ziel ist die Bestimmung einer Strategie, die eine Summe von Wahrscheinlichkeiten für vorgegebene Zustände bzgl. der zugehörigen stationären Verteilung minimiert (oder maximiert) unter der Nebenbedingung, daß mit der Kontrolle verbundene Kosten eine vorgegebene Schranke nicht überschreiten. Die Lösung erfolgt mittels linearer Optimierung. Ein Beispiel zeigt, daß die optimale Strategie i.a. eine gemischte Strategie ist.

     

Über ein dynamisches Programmierungsverfahren zur Kostenminimalisierung bei vorgegebenen Auftragsstückzahlen

Zusammenfassung Das Problem der Kostenminimisierung bei vorgegebenen Auftrags-stückzahlen ist bereits von zwei Autoren behandelt worden. Dabei wurde jedesmal die Voraussetzung gemacht, daß die geforderte Stückzahl in einem einzigen Fertigungsgang mit Sicherheit zu erreichen sei. Wenn die Ausschußeigenschaft bei jedem gefertigten Stück auftreten kann, muß mit der grundsätzlichen Möglichkeit der Nachfertigung gerechnet werden. Dann ist jedoch die dynamische Programmierung die einzig adäquate Beschreibungsmethode. Das Problem wird unter den genannten Voraussetzungen vollständig gelöst.

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Summary The optimum reject allowance problem has been considered earlier by two authors. Both proposed that the outcome of the production was a predictable event. In principle there remain a certain probability, that the number of good pieces is less than the required number. In the latter case it is necessary to repeat the whole process (only with a modified situation at the beginning). This is a typical dynamic-programming-situation. The complete solution ist presented here.

     

Self-similar solution of unsteady compressible three-dimensional stagnation-point boundary layers

Summary The self-similar solution of the unsteady laminar compressible boundary-layer flow with variable properties at a three-dimensional stagnation point with mass transfer has been obtained when the free-stream velocity varies inversely as a linear function of time. The resulting ordinary differential equations have been solved numerically using an implicit finite-difference scheme. The results are found to be strongly dependent on the parameter characterizing the unsteadiness in the free-stream velocity. The velocity profiles show some features not encountered in steady flows.

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Zusammenfassung Ähnliche Lösungen der nichtstationären laminaren kompressiblen Grenzschichtströmung mit veränderlichen Stoffgrößen ist für einen dreidimensionalen Staupunkt mit Massen-Übertragung erhalten worden, für den Fall, daß die Anströmung invers zu einer linearen Funktion der Zeit variiert. Es entsteht eine gewöhnliche Differentialgleichung, die numerisch mit einer impliziten Differenzenmethode gelöst wurde. Die Ergebnisse hängen stark von dem Parameter ab, der die Nicht-Stationärität der Anströmung kennzeichnet. Die Geschwindigkeitsprofile zeigen einige Eigenschaften die in stationärer Strömung nicht auftreten.

     

Eine Methode zur Berechnung des optimalen Produktionsprogramms bei konkaver Zielfunktion

Zusammenfassung Probleme der Bestimmung optimaler Produktionsmengen in einem Industriebetrieb sind sehr häufig dadurch charakterisiert, daß die Grenzkosten bei der Herstellung einer Produktart mit zunehmender Ausbringungsmenge abnehmen. Die gesamten Kosten abzüglich Erlöse, oder das Entgegengesetzte des Unternehmungsgewinns, welche das zu minimierende Optimierungskriterium bilden, werden dadurch eine konkave Funktion der Ausbringungsmengen der einzelnen Produkte. Es wird gezeigt, daß ein solches Optimierungsproblem oft mit relativ kleinem Aufwand exakt gelöst werden kann, auch wenn die Anzahl der Produktarten, die für die Produktion vorgesehen sind, groß ist und die Zielfunktion nicht separiert werden kann.

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Summary Problems concerning the determination of optimal production quantities are very often characterised by decreasing marginal costs as production quantities increase. Hence, total costs less income (i.e. negative profit), which forms the optimality criterion to be minimized, should be represented by a concave function of the production quantity for each product. It is shown how such an optimisation problem can often be solved exactly with relatively little effort, even when the number of products to be considered is large and the objective function is not separable.

     

The inclusion of Stekloff eigenvalues by boundary data approximation

We give eigenvalue inclusion theorems allowing the computation of both-sided Stekloff-eigenvalue bounds from a given approximate eigenpair. We demonstrate in numerical examples the possibility to get close bounds for even higher eigenvalues using the boundary collocation method. A good choice for trial functions are singularity functions allowing a control for the numerical stability and—in theory—an eigenvalue inclusion in an arbitrary small interval.The inclusion theorems may be interpreted as a priori norm inequalities, too.

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Zusammenfassung Wir stellen Eigenwerteinschlußsätze vor, welche die Berechnung beiderseitiger Eigenwertschranken in Abhängigkeit von vorgelegten Näherungseigenpaaren gestatten. Wir demonstrieren an numerischen Beispielen, daß es mit dem Kollokationsverfahren möglich ist, sehr gute Einschlüsse selbst höherer Eigenwerte zu erhalten. Als Ansatzfunktionen bewähren sich Singularitätenfunktionen, welche eine Steuerbarkeit der numerischen Stabilität ermöglichen. Zudem erlauben diese Funktionen in der Theorie einen Einschluß in beliebiger Güte.Die Einschlußsätze können auch als a priori Norm-Ungleichungen angesehen werden.

     

Personnel assignment by multiobjective programming

Summary Assignment of personnel is a task involving a multiplicity of simultaneous goals. It is demonstrated that multiobjective programming in a combinatoric medium is feasible both methodologically and computationally. FollowingGeoffrion, it is assumed that the decision-maker has in mind an implicit function mapping the numerical values of the objectives to the real line. The proposed strategy consists in the decision-maker choosing first- and second-best assignments from a given set, in each stage of a decision-tree-like-procedure. The computation is reducible to well-known problems of assignment and shortest routes, for which efficient solution techniques exist.

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Zusammenfassung Beim Problem der Personalzuordnung sind i.a. mehrere Ziele gleichzeitig zu berücksichtigen. Es wird gezeigt, daß die Lösung des entsprechenden kombinatorischen Problems mit mehreren Zielfunktionen sowohl von der Methode als auch vom Rechenaufwand her möglich ist. GemäßGeoffrion wird angenommen, daß der Entscheidungsträger eine implizite Funktion berücksichtigt, die die numerischen Werte der Ziele auf reale Zahlengeraden abbildet. Die vorgeschlagene Strategie besteht darin, daß der Entscheidungsträger aus einer vorgegebenen Menge beste und zweitbeste Zuordnungen auswählt. Das Vorgehen entspricht dabei der Arbeitsweise an einem Entscheidungsbaum, wobei diese Auswahl auf jede Stufe getroffen wird. Die Berechnung läßt sich auf die Lösung von bekannten Zuordnungs- und Kürzeste-Weg-Probleme zurückführen, für die effiziente Lösungsverfahren existieren.

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Project supported in part by the Office of Naval Research under Contract N-00014-67-A-0012-0011; U.S. Atomic Energy Commission Contract AT(04-3)-326-PA 18; and National Science Foundation, Grant GP 31393.     

Die angebliche Ausschaltung des Risikos durch das Gesetz der großen Zahlen

Zusammenfassung Das Verhalten gegenüber Risiko zeichnet sich dadurch aus, daß es sich nicht nur nach der mathematischen Erwartung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung richtet, sondern diese durch mindestens ein Risikomaß, etwa die Streuung, zu korrigieren sucht. Dabei kann es leicht geschehen, daß ein Glücksspiel, das zwar einen positiven Gewinn-Erwartungswert besitzt, aber zugleich hohe Verlustmöglichkeiten zuläßt, ausgeschlagen wird. Vielfach wird aber in einer solchen Situation argumentiert, daß bei häufiger und unabhängiger Wiederholung dieses Glücksspiels schließlich doch der positive Erwartungswert den Ausschlag gebe und daher das wiederholte Spiel angenommen werde, weil nämlich nach dem Gesetz der großen Zahlen praktisch kein Risiko mehr zu befürchten sei. Ich habe früher mit Hilfe des Begriffs des Sicherheitsäquivalents gezeigt, daß dieses Argument zweifelhaft ist. Nun kommtSamuelson mit anderen Voraussetzungen zu einem ähnlichen Resultat. Ein Vergleich der beiden Ansätze ist das Thema dieses Aufsatzes.

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Summary The behaviour towards risk is characterized by the fact that not only the mathematical expectation of a probability distribution is considered but also some measure of risk, e.g. the variance. A game of chance may easily be rejected, although it has a positive expected value but at the same time permits the possibility of a great loss. In such a situation an often heard argument is that the game will be accepted ultimately if it is often repeated independently, because according to the law of large numbers risk is practically no more to be feared. Earlier I have shown with the help of the concept of certainty equivalent that this argument is doubtful.Samuelson came to a similar result under different assumptions. This paper gives a comparison between these two approaches.

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Einen gleichlautenden Vortrag hielt ich auf der 5. Jahrestagung der DGU im Oktober 1966 in Berlin.     

Optimale Allokation von Ausbildung und Berufsausübung in einem nichtlinearen Kontrollmodell

Zusammenfassung Von Weizsäcker [1966] hat in einer historisch ersten ökonomischen Anwendungen des Maximumprinzips ein lineares optimales Kontrollproblem zur Ermittlung der optimalen Ausbildungspolitik gelöst. Im vorliegenden Beitrag wird dieses Modell für den Fall nichtlinearer, zustandsabhängiger Lerneffizienzfunktionen untersucht. Aufgrund einer Sattelpunktsanalyse erkennt man, daß die optimale Ausbildungsintensität monoton abnimmt und daß — im Gegensatz zum linearen Fall — lebenslanges Lernen optimal ist. Der Ausbildungsstand steigt zunächst bis zu einem maximalen Wert, um danach monoton abzunehmen.

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Summary In one of the earliest economic applications of the maximum principlevon Weizsäcker [1966] has solved a linear control problem for the analysis of the optimal training policy. The present paper investigates this model for the case of nonlinear, state-dependent efficiency functions. From a saddle-point analysis we conclude that the optimal training rate decreases monotonically and that, contrary to the linear case, lifelong training is optimal. Firstly, the skill level increases to a maximal value and decreases thereafter monotonically.

     

Erzeugung von Permutation im Rechenautomaten mittels zyklischer Operationen

Zusammenfassung Mit Hilfe von zyklischen Vertauschungen unterschiedlicher Zykluslänge werden sämtliche Anordnungen der Elemente einer endlichen Menge aus einer beliebig vorgegebenen Anordnung der Elemente sukzessive konstruiert. Durch Einführung einer Ordnungsrelation in der Menge aller Anordnungen kann jede zu einer beliebigen Ordnungszahl gehörige Anordnung direkt aus der ersten Anordnung konstruiert werden, ohne daß man die dazwischenliegenden Anordnungen zu kennen braucht. Umgekehrt läßt sich zu einer beliebig herausgegriffenen Anordnung ihre Ordnungszahl unmittelbar bestimmen, sobald nur festgelegt ist, welche Anordnung im Sinne der Ordnungsrelation die erste sein soll.

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Summary All possible re-arrangements or permutations of elements made up from a finite number of elements can be successively constructed from any given haphazard arrangement.A schematic order of sequence of arrangements is introduced. With its help an element arrangement ranking under any desired schematic order number may be made up from the first given arrangement. There is thus no need to investigate the order number lying in between the given and the desired arrangement of elements.Conversely, the order number of any arrangement extracted at random may be determined directly if is decided which arrangement shall be first in the order of sequence.

     

A note on equivalent systems of linear diophantine equations

Summary Another constructive proof is presented for the fact that a system of linear equations with integer coefficients in bounded integer variables is equivalent to a single equation, which is a linear combination of the original ones. The equation is obtained in a number of steps; in each step two equations are replaced by a single one. This replacement is performed subject to the condition that the remaining equations hold and a final equation with relatively small coefficients is obtained. It may be inefficient however to calculate small coefficients, as the original coefficients can be used to represent the final ones in a suitably chosen number system.

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Zusammenfassung Ein System linearer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten in beschränkten ganzzahligen Variablen ist äquivalent zu einer einzigen Gleichung, die sich als Linearkombination der ursprünglichen Gleichungen schreiben läßt. In einem neuen konstruktiven Beweis von diesem Satz wird gezeigt, wie die endgültige Gleichung in einigen Schritten gefunden werden kann. In jedem Schritt werden zwei Gleichungen von einer einzigen ersetzt unter der Voraussetzung, daß die übrigen Gleichungen gültig bleiben.Obwohl die Koeffizienten der Endgleichung verhältnismäßig klein sind, ist es nicht immer zweckmäßig, sie in der angegebenen Weise zu berechnen, da man ein Zahlensystem anwenden kann, in dem die Koeffizienten der ursprünglichen Gleichungen zur Darstellung der neuen Koeffizienten gebraucht werden.

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This note is a slightly revised version of report BW 12/71 (July 1971).     

Aggregating diophantine equations

Summary Mathews [1897] has given a theorem for aggregating two diophantine equations with positive integer coefficients into a single equation that has the same solution set as its parents over the nonnegative integers. Building on this result,Elmaghraby andWig [1970] show how to shrink the inequality constraints of a bounded variable integer program to a single constraint equation. However, such applications are limited, as we show, by a greater than exponential growth in coefficient size as successive constraints are aggregated into one. To mitigate this situation, we give new theorems and implementation procedures that provide exponential order reductions in the coefficient growth attending the aggregation process.

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Zusammenfassung Mathews [1897] hat ein Theorem zur Zusammenfassung zweier diophantischer Gleichungen mit positiven ganzzahligen Koeffizienten zu einer einzigen Gleichung mit derselben Lösungsmenge wie die beiden ursprünglichen Gleichungen entwickelt. Aufbauend auf dieses Ergebnis zeigtenElmaghraby undWig [1970] eine Möglichkeit, die Ungleichungen eines ganzzahligen Optimierungsproblems mit begrenzten Variablen sukzessive auf eine einzige Gleichung zu reduzieren. Die praktische Anwendbarkeit ist jedoch begrenzt. Bei der sukzessiven Zusammenfassung der Nebenbedingungen zu einer einzigen wachsen die Koeffizienten stärker als exponentiell an. Um diesen Nachteil zu mindern, werden hier neue Theoreme und Anwendungsprozeduren entwickelt. Diese gewährleisten, daß das Anwachsen der Koeffizienten im Verlaufe des Aggregationsprozesses um einen Faktor exponentieller Ordnung geringer ist.