三角函数的图象和性质

1.本单元重、难点分析本单元的重点:1)正弦函数、余弦函数、正切函数的图象及其性质(包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)的推导、理解及应用.2)函数y=Asin(ωx φ)图象的基本作法“五点法”和“图象变换法”.3)已知三角函数值求角.本单元的难点:1)利用正弦线画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,利用正切线画出函数y=tanx,x∈[-2π,2π]的图象,利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线,要注意到由数到形、由形到数的转换,并理解周期函数与最小正周期的意义;2)弄清函数y=sinx与函数y=Asin(ωx φ)的图象的关系,注意三个参数A,ω,φ对图象…     

对相位变换规律的正确认识

先看一个例题 .给出下列六种图象变换方法 :①将图象向左平移 π3个单位 ;②将图象向右平移 π3个单位 ;③将图象向左平移 π6 个单位 ;④将图象向右平移 π6 个单位 ;⑤将图象向左平移π个单位 ;⑥将图象向右平移π个单位 .利用上述变换中的某些方法能由函数y =sin3x的图象得到函数 y =sin(3x +π)的图象 ,则变换方法的序号是 .错解 1:∵sin(3x +π) =sin3(x +π3) ,故只需将函数 y =sin3x的图象向左平移 π3个单位 ,才能得到函数 y =sin(3x +π)的图象 ,故正确的变换方法序号应选① .错解 2 :把函数 y =sin3x的图象向左平移π个单位后得到…     

三角函数的图象与性质

1　本单元重、难点分析1)基本三角函数及 y =Asin(ωx +φ)的图象形状及位置特征 ,以及“五点法”作y =Asin(ωx +φ)和 y =Acos(ωx +φ)的图象是本单元学习的重点之一 ,利用平移与伸缩变换作 y =Asin(ωx +φ)与 y =Acos(ωx +φ)的图象是学习的一个难点 .2 )基本三角函数以及 y =Asin(ωx +φ)的定义域、值域、有界性、周期性 ,奇偶性、单调性 ,最值的定义与应用是本单元学习的重点 ,也是高考的热点 ,其中单调性的判断及单调区间的求解是学习的难点 .3)已知三角函数 f =Asin(ωx +φ)的图象求解析式是学习中的一个难点 ,要善于根据图…     

要让例题生辉

每节课的例题，不仅蕴含了本节的主要内容、主要知识，同时也潜藏着丰富的数学思想方法．因此，要充分发挥例题的作用，挖掘例题的内涵与外延，培养学生的数学素质，要让例题生辉．例如，高一数学新教材P74有这样一道很普通的例题：例4画出函数的简图．此题在求解过程申，提出了怎样由函数y=sinx的图象进行不断变化而得到的图象．在教学过程中，首先尊重教材安排，让学生认真分析了图象的转化过程，最后明确了转化的主要步骤是：图1在分析完上述由y=sinx，x∈R的图象转化到的图象之后，接着又提出了这样的思考题：田y=sinx，x∈R的图象转…     

由图象确定三角函数初相的一些技巧

高中《代数》上册第二章，已详细介绍了五点法和图象变换法作函数y=Asin（x )的图象．那么给出函数y＝Asin（x ）的一段图象，如何来求出三角函数的解析式呢？这也是三角函数中所研究的重要内容之一．对于这类问题，关键是由图象确定函数式中的待定系数A、w和的值，而在这三个值中，A和w的值由图象比较容易确定，值的确定比较困难，是一个难点，本文就针对这个难点，给出确定三角函数初相的一些技巧．例题已知图1是函数y=2sin（wx＋的一段图象，那么（1990年全国高考试题）解由图1知，函数的周期再由T一二，得。一2．故y—Zsin（Zx＋9）…     

三角函数

本单元的重点;任意角、弧度制、任意角的三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式,诱导公式,正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,函数y=Asin（ωx＋φ）的图象和正弦函数y=sinx的图象的关系,三角函数的实际应用．     

怎样由一般正弦函数的图象求它的解析式?

依一般正弦函数y=Asin(ωX十ψ)十k(l)的解析式,作函数的图象,通常有两种方法:一是把正弦曲线Y=sinx加以适当伸缩平移,二是描点作图.常用的是五点法,就是抓住图象上五个关键点:     

数学题中的2020

<正>1.是否存在正整数x、y,使x²+y2+y²=2020成立?若成立,求出x、y;若不存在,请说明理由.解析本题主要考查数学中的分类讨论思想.①若x、y为一奇一偶,由于奇数的平方为奇数,偶数的平方仍为偶数,于是方程左边为奇数,而右边为偶数2020,原方程无解.②若x、y均为奇数,令x=2k+1,y=2m+1,则(2k+1)2=2020成立?若成立,求出x、y;若不存在,请说明理由.解析本题主要考查数学中的分类讨论思想.①若x、y为一奇一偶,由于奇数的平方为奇数,偶数的平方仍为偶数,于是方程左边为奇数,而右边为偶数2020,原方程无解.②若x、y均为奇数,令x=2k+1,y=2m+1,则(2k+1)²+(2m+1)2+(2m+1)²=2020,展开得4k2=2020,展开得4k²+4k+4m2+4k+4m²+4m=2018,于是有2k2+4m=2018,于是有2k²+2k+2m2+2k+2m²+2m=1009,     

52 形如|f(x)|的函数的周期性

三角函数的周期。队讲完后，在做习题的过程中，有学生问：函数y=|sinx|到的周期是什么？老师未直接作答，只是说：你们可以画出它的图象观察一下么．——这一句提示，已告诉了学生，算、验函数的周期的一个思考方向．学生光画y0=sinx的图象；后把它的x轴下方的部分对称地翻上即得y=|sinx|的图象（如图1），说：从图象上可明显地看出，y=|sinx|的周期为老师又给学生启示另一个思考方向：那么从一。定义上看呢？学生答：因为所以，y一…n到的周期为。（又可用反证法来说明，当0＜T＜。时冲n（＋T）一卜n一不可能成立．事实上，取X一手，就…     

聚焦y=Asin(ωx+φ)中ω、φ的求解

在三角函数中正弦型函数y=Asin(ωx φ)有着重要的作用和地位,其中ω、φ是两个极其重要的量,需要好好地总结归类分析以便于掌握.通过平移伸缩变换、三角函数的图象和性质或三角形等可灵活解决这些问题.     

研究三角函数性质的法宝——“三个一”

高一学生分析问题时最缺乏的就是目标意识,有的同学拿到三角函数性质的题目,想半天都没有一个明确的解题方向,其实所有这类问题都是首先将目标三角函数化为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式,即一个角的一种函数名称的一次式的形式,因为课本中三角函数的每一种性质都是由“三个一”型三角函数而展开讨论的,我们只有将目标三角函数化归成这种模型,才能使用课本结论灵活解题·例1求函数y=sin3xsin3cxos+22cxos3xcos3x+sin2x的最小值.分析只需将目标三角函数化简为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式即可·解法1因为sin3xsin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x=21[(cos2x-cos4x)]sin2x+21[(cos2x+cos4x)cos2x]=21[cos2x+(cos2x-sin2x)cos4x]=21(cos2x+cos2xcos4x)=21cos2x(1+cos4x)=cos32x,∴y=cos32xcos22x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+4π).当sin(2x+π4)=-1时,y...     

三角函数

1.本单元重、难点分析本单元的重点:任意角的三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式,诱导公式,正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,函数y=Asin(ωx+φ)的图象和正弦函数y=sinx的图象的关系,三角函数的实际应用.本单元的难点:任意角、弧度制、任意角的三     

由tanψ=b/a确定ψ行吗?

解题中我们常用到asinx +bcosx =a2 +b2 sin(x +ψ) ,但若只知其中tanψ =ba,就会出现问题 ,下面通过实例进行探讨 .例 1　已知x∈ [0 ,π2 ] ,求函数y =3sinx -cosx的值域 .分析　函数 y =3sinx -cosx可变为y =2sin(x +ψ) ,其中tanψ =-13 .若取 ψ =-π6,则 y =2sin(x -π6) ,x -π6∈ [-π6,π3 ] ,　∴　y∈ [-1,3 ] .若取 ψ =-5π6,则 y =2sin(x -5π6) ,x -5π6∈ [5π6,4π3 ] ,　∴　y∈ [-3 ,1] .得出了不同结果 ,哪一个对呢 ?难以确定 .这表明仅由tanψ =ba确定 ψ不行 !图 1那么如何确定 ψ呢 ?考虑asinx +bcosx =a2 +b2 sin(x…     

数学问题解答

20 0 0年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 4 1 .求函数 y=sinnx cosnx ( n∈ N )的最值 .解　 ( 1 )当 n=1时 ,y=sinx cosx=2 sin( x π4)∴　 ymax=2 ,ymin=- 2 .( 2 )当 n=2 k 1 ( k∈N)时 ,| y| =| sinnx cosnx|≤ | sinnx| | cosnx|≤ | sinx| 2 | cosx| 2 =1∴　 - 1≤y≤ 1∴　 ymax=1 ,ymin=- 1 .( 3)当 n=2 k( k∈N)时 ,y=sinnx cosnx≤sin2 x cos2 x=1 ,∴　ymax=1 ;∵　 sin2 x cos2 x=2× 12 ,∴　设 sin2 x=12 - d,cos2 x=12 d.∴　 y =sinnx cosnx=( sin2 x) k ( cos2 x) k=( 12 - d) k ( 12 d…     

幂函数教学中如何使认识深化

现行课本《幂函数》这个内容,是安排在学习了函数定义后,首先讲授的一类函数,它是从初中已经学过的函数y=x,y=x~2及y=x~(-1)入手,引出幂函数y=x~(?)(这里只讨论α是有理常数的情况)。然后给出了函数y=x~3,y=x~(1╱3),y=x~(1╱2),y=x~(-2),y=x~(-(1╱2))的定义域。对于α>0时,在同一坐标系内画出了函数y=x,y=x~2,y=x~3,y=x~(1╱2),y=x~(1╱3)的图象:对于α<0时,在同一坐标系内画出了函     

巧用三角函数的图象信息解题

在三角函数y=Asin（ωx＋φ）的学习过程中，常利用函数及其图象的性质对函数的特征进行描述或者分析．一般而言，解决有关三角函数题目中的设问，往往集中到了如何确定给出解析式的最简形式y=Asin（ωx＋φ）．无论是从题设的条件中挖掘，还是从函数图象信息中寻找，都要先求出A，ω，再进一步用特殊点来确定9的值．通常情况下，求得了函数y=Asin（ωx＋φ）的形式后，对函数性质特征的作答就容易了．     

三角函数的图象和性质

重点：正弦函数图象的作法，正弦函数、余弦函数的图象和性质，求函数y=Asin（ωx＋ψ）＋B的最小正周期和最大值，正切函数的图象和性质，已知三角函数值求角。     

一类函数题的“是”与“非”初探

题已知f(cosx)=sin3x,求f(sinx)(该题可见诸于多种资料)解f(sinx)=f[cos(π2-x)]=sin3(2π-x)=-cos3x.[1]又解f(sinx)=f[cos(x-2π)]=sin3(x-2π)=cos3x.上述两种解答方法实际上一样,但结果明显不同,问题出在哪里呢?下面看题目给出的条件:f(cosx)=sin3x,不妨令x=6π,得f(23)=1;再令x=-6π,得f(23)=-1,即对于f(23),有±1两个值与之对应,从对应方式来看,存在一对多的情况.按照高中教材对函数的定义,这种对应不能称为函数.进一步分析发现:f(cosx)=sin3x=3sinx-4sin3x=sinx(4cos2x-1),其中的sinx不能用含cosx的式子唯一地表示(sinx=±1-cos2x).…     

2004年普通高等学校春季招生考试(北京卷)数学(理工农医类)试题及参考解答

1.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. (1)在函数y=sin2x，y=sinx，y=cosx，y=tgx/2中，最小正周期为π的函数是().     

反函数导数的一种几何解释

设函数y=f(x)的反函数存在,且f′(x)≠0,则其反函数x=f-1(y)(或记x=φ(y),此处φ=f-1)的导数也存在.在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线,如下图.