Solvability of the Dirichlet problem for degenerate quasilinear elliptic equations

In a bounded domain of the n -dimensional (n?2) space one considers a class of degenerate quasilinear elliptic equations, whose model is the equation $$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial F}}{{\partial x_i }}} (a^{\ell _i } (u)\left| {u_{x_i } } \right|^{m_i - 2} u_{x_i } ) = f(x),$$ where x =(x₁,..., x_r), l_i?0, m_i>1, the function f is summable with some power, the nonnegative continuous function a(u) vanishes at a finite number of points and satisfies \(\frac{{lim}}{{\left| u \right| \to \infty }}a(u) > 0\) . One proves the existence of bounded generalized solutions with a finite integral $$\int\limits_\Omega {\sum\limits_{i = 1}^n {a^{\ell _i } (u)\left| {u_{x_i } } \right|^{m_i } dx} }$$ of the Dirichlet problem with zero boundary conditions.     

Volume Formulas in Lp-Spaces

We extend classical volume formulas for ellipsoids and zonoids to p-sums of segments $${vol}\left( {\sum\limits_{i=1}^m { \oplus_p } [ -x_i ,x_i ]} \right)^{1/n} \sim_{c_p} n^{ - \frac{1}{{p'}}} \left( {\sum\limits_{card(I) = n} {|\det (x_i)_i |^p}} \right)^{\frac{1}{{pn}}}$$ where x1,...,xm are m vectors in $\mathbb{R}^n ,\frac{1}{p} + \frac{1}{{p\prime }} = 1$ . According to the definition of Firey, the Minkowski p-sum of segments is given by $$\sum\limits_{i = 1}^m { \oplus _p [ - x_{i,} x_i ]} = \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^m {\alpha _i } x_i \left| {\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {|\alpha _i |^{p^\prime } } } \right)} \right.^{\frac{1}{{p^\prime }}} \leqslant 1} \right\}.$$ We describe related geometric properties of the Lewis maps associated to classical operator norms.     

On the strong summation of Fourier series with variable exponents

Пустьf 2π-периодическ ая суммируемая функц ия, as _k (x) еë сумма Фурье порядк аk. В связи с известным ре зультатом Зигмунда о сильной суммируемости мы уст анавливаем, что если λn→∞, то сущес твует такая функцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _{2n} } } \right\}^{1/\lambda _{2n} } = \infty .$$ Отсюда, в частности, вы текает, что если λn?∞, т о существует такая фун кцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } } \right\}^{1/\lambda _n } = \infty .$$ Пусть, далее, ω-модуль н епрерывности и $$H^\omega = \{ f:\parallel f(x + h) - f(x)\parallel _c \leqq K_f \omega (h)\} .$$ . Мы доказываем, что есл и λ _n ?∞, то необходимым и достаточным условие м для того, чтобы для всехf∈H ^ω выполнялос ь соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _n } } \right\}^{1/\lambda _n } = 0(x \in [0;2\pi ])$$ является условие $$\omega \left( {\frac{1}{n}} \right) = o\left( {\frac{1}{{\log n}} + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right).$$ Это же условие необхо димо и достаточно для того, чтобы выполнялось соотнош ение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } = 0(f \in H^\omega ,x \in [0;2\pi ]).$$      

Optimal recovery methods for the integral on classes of differentiable functions

Найдены методы восст ановления интеграла по информации $$I\left( f \right) = \left\{ {f^{(j)} \left( {x_i } \right)\left( {j = 0, ..., \gamma _i - 1; i = 1, ..., n; 1 \leqq \gamma _i \leqq r; \gamma _i + ... + \gamma _n \leqq N} \right.} \right\},$$ оптимальные на класс ахW _p ^r ,r=1,2,...; 1≦p≦∞. Это позволило, в частност и, получить наилучшие для классаW _p ^r квадратурные форму лы вида $$\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{\gamma _i - 1} a_{ij} f^{(j)} \left( {x_i } \right) + \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} b_j f^{(2j - 1)} \left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{k = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} c_k f^{(2k - 1)} \left( 1 \right) + R\left( f \right)$$ И $$\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = af\left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n \mathop \Sigma \limits_{j = 0}^{\gamma _i - 1} a_{ij} f^{(j)} \left( {x_i } \right) + bf\left( 1 \right) + \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} b_j f^{(2j - 1)} \left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{k = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} c_k f^{(2k - 1)} \left( 1 \right) + R\left( f \right).$$      

Asymptotic properties for the loglog laws under positive association

Let {X _n : n ?? 1} be a strictly stationary sequence of positively associated random variables with mean zero and finite variance. Set $S_n = \sum\limits_{k = 1}^n {X_k }$ , $Mn = \mathop {\max }\limits_{k \leqslant n} \left| {S_k } \right|$ , n ?? 1. Suppose that $0 < \sigma ^2 = EX_1^2 + 2\sum\limits_{k = 2}^\infty {EX_1 X_k < \infty }$ . In this paper, we prove that if E|X ₁|^2+?? < for some ?? ?? (0, 1], and $\sum\limits_{j = n + 1}^\infty {Cov\left( {X_1 ,X_j } \right) = O\left( {n^{ - \alpha } } \right)}$ for some ?? > 1, then for any b > ?1/2 $$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \searrow 0} \varepsilon ^{2b + 1} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{(\log \log n)^{b - 1/2} }} {{n^{3/2} \log n}}} E\left\{ {M_n - \sigma \varepsilon \sqrt {2n\log \log n} } \right\}_ + = \frac{{2^{ - 1/2 - b} E\left| N \right|^{2(b + 1)} }} {{(b + 1)(2b + 1)}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^k }} {{(2k + 1)^{2(b + 1)} }}}$$ and $$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \nearrow \infty } \varepsilon ^{ - 2(b + 1)} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{(\log \log n)^b }} {{n^{3/2} \log n}}E\left\{ {\sigma \varepsilon \sqrt {\frac{{\pi ^2 n}} {{8\log \log n}}} - M_n } \right\}} _ + = \frac{{\Gamma (b + 1/2)}} {{\sqrt 2 (b + 1)}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^k }} {{(2k + 1)^{2b + 2} }}} ,$$ where x ₊ = max{x, 0}, N is a standard normal random variable, and ??(·) is a Gamma function.     

On linear summation methods of Fourier series

Получены новые оценк иL-нормы тригонометр ических полиномов $$T_n (t) = \frac{{\lambda _0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \lambda _k \cos kt$$ в терминах коэффицие нтовλ _k и их разностейΔλ _k=λ _k?λ _k?1: (1) $$\mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi |T_n (t)|dt \leqq \frac{c}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |\lambda _\kappa | + c\left\{ {x(n,\varphi )\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \Delta \lambda _\kappa \mathop \sum \limits_{l = 0}^n \Delta \lambda _l \delta _{\kappa ,l} (\varphi )} \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} ,$$ где $$\kappa (n,\varphi ) = \mathop \smallint \limits_{1/n}^\pi [t^2 \varphi (t)]^{ - 1} dt, \delta _{k,1} (\varphi ) = \mathop \smallint \limits_0^\infty \varphi (t)\sin \left( {k + \frac{1}{2}} \right)t \sin \left( {l + \frac{1}{2}} \right)t dt,$$ a ?(t) — произвольная фун кция ≧0, для которой опр еделены соответствующие инт егралы. Из (1) следует, что методы $$\tau _n (f;t) = (N + 1)^{ - 1} \mathop \sum \limits_{k = 0}^{\rm N} S_{[2^{k^\varepsilon } ]} (f;t), n = [2^{N\varepsilon } ],$$ являются регулярным и для всех 0<ε≦1/2. ЗдесьS _m (f, x) частные суммы ряда Фу рье функцииf(x). В статье исследуется многомерный случай. П оказано, что метод суммирования (о бобщенный метод Рисса) с коэффиц иентами $$\lambda _{\kappa ,l} = (R^v - k^\alpha - l^\beta )^\delta R^{ - v\delta } (0 \leqq k^\alpha + l^\beta \leqq R^v ;\alpha \geqq 1,\beta \geqq 1,v< 0)$$ является регулярным, когда δ > 1.     

A Theorem of Hardy-Bennett-Type

Recently G. Bennett described a new way of looking at classical inequalities. His method is a certain "factorization" of inequalities. The new results provide the best possible version of several well-known inequalities. We generalize one of Bennett's theorems which is the factorized restatement and generalization of the following classical Hardy inequality: $$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left| {x_k } \right|} } \right)^p < \left( {\frac{p}{{p - 1}}} \right)^p \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {x_n } \right|} ^p }$$ , which holds for any p > 1.     

On the continuity of functions in connection with a problem of V. G. Krotov

В РАБОтЕ ДАЕтсь ОтВЕт НА ОДИН ВОпРОс, пОстАВ лЕННыИ В. г. кРОтОВыМ. УстАНОВлЕН О, ЧтО ЕслИ Ф(х) — МОНОтОННО ВО жРАстАУЩАь ФУНкцИь,Ф (0)=0, Ф(2х)≦кФ(х), х[0, ∞), тО $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {S_k - f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k } \Phi (\lambda _k ) = \infty $$ Дль пРОИжВОльНых НЕО тРИцАтЕльНых ЧИслОВ ых пОслЕДОВАтЕльНОстЕ И {Μ_k} И {λ_k}. (жДЕсьS _k ОБОжНАЧАЕт ЧАстНУУ с УММУ пОРьДкАk РьДА ФУ РьЕ ФУНкцИИf). УстАНОВлЕН О тАкжЕ, ЧтО ВО МНОгИх слУЧАьх $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {\tilde S_k - \tilde f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{k\lambda _k }}} \Phi ^{ - 1} \left( {\frac{1}{{k\mu _k }}} \right)< \infty .$$      

A Mean-Value Theorem for Multiplicative Functions on the Set of Shifted Primes

Let f be a complex-valued multiplicative function, letp denote a prime and let π(x) be the number of primes not exceeding x. Further put $$m_p (f): = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{\pi (x)}}\sum\limits_{p \leqslant x} {f(p + 1)} {\text{, }}M(f): = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x}\sum\limits_{n \leqslant x} {f(n)}$$ and suppose that $$\mathop {\lim \sup }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x}\sum\limits_{n \leqslant x} {\left| {f\left( n \right)} \right|^2 } < \infty ,\sum\limits_{p \leqslant x} {\left| {f\left( n \right)} \right|^2 } \ll x\left( {\ln x} \right)^{ - \varrho } ,$$ with some \varrho > 0. For such functions we prove: If there is a Dirichlet character χ_d such that the mean-value M(f χ_d) exists and is different from zero,then the mean-value m_p(f) exists. If the mean-value M(f) exists, then the same is true for the mean-valuem_p(f) .     

Precise asymptotics of complete moment convergence on moving average

Let {ξi,-∞i∞} be a doubly infinite sequence of identically distributed-mixing random variables with zero means and finite variances,{ai,-∞i∞} be an absolutely summable sequence of real numbers and X k =∑i=-∞+∞ aiξi+k be a moving average process.Under some proper moment conditions,the precise asymptotics are established for     

On a multilinear singular integral operator

In this paper, we prove that the maximal operatorsatisfiesis homogeneous of degree 0, has vanishing moment up to order M and satisfies Lq-Dini condition for some     

Absolute tauberian conditions for absolute hausdorff and quasi-hausdorff methods

The purpose of this paper is to prove that for a large set of absolute Hausdorff and quasi-Hausdorff methods the condition $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {\lambda _n a_n - \lambda _{n - 1} a_{n - 1} } \right|< } \infty $$ is a Tauberian condition, i.e., its fulfillment together with the absolute summability of \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } \) tos implies that \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left| {a_n } \right|}< \infty \) and \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } = s.\) a _n =s.     

On the best constants in the Khintchine inequality for Steinhaus variables

Let S _j : (Ω, P) → S ¹ ? ? be an i.i.d. sequence of Steinhaus random variables, i.e. variables which are uniformly distributed on the circle S ¹. We determine the best constants a _p in the Khintchine-type inequality $${a_p}{\left\| x \right\|_2} \leqslant {\left( {{\text{E}}{{\left| {\sum\limits_{j = 1}^n {{x_j}{S_j}} } \right|}^p}} \right)^{1/p}} \leqslant {\left\| x \right\|_2};{\text{ }}x = ({x_j})_{j = 1}^n \in {{\Bbb C}^n}$$ for 0 < p < 1, verifying a conjecture of U. Haagerup that $${a_p} = \min \left( {\Gamma {{\left( {\frac{p}{2} + 1} \right)}^{1/p}},\sqrt 2 {{\left( {{{\Gamma \left( {\frac{{p + 1}}{2}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Gamma \left( {\frac{{p + 1}}{2}} \right)} {\left[ {\Gamma \left( {\frac{p}{2} + 1} \right)\sqrt \pi } \right]}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left[ {\Gamma \left( {\frac{p}{2} + 1} \right)\sqrt \pi } \right]}}} \right)}^{1/p}}} \right)$$ . Both expressions are equal for p = p ₀ }~ 0.4756. For p ≥ 1 the best constants a _p have been known for some time. The result implies for a norm 1 sequence x ∈ ? ⁿ , ‖x‖₂ = 1, that $${\text{E}}\ln \left| {\frac{{{S_1} + {S_2}}}{{\sqrt 2 }}} \right| \leqslant {\text{E}}\ln \left| {\sum\limits_{j = 1}^n {{x_j}{S_j}} } \right|$$ , answering a question of A. Baernstein and R. Culverhouse.     

OnL 1-convergence of Walsh-Fourier series I

We prove the convergence in theL ¹(0, 1)-metric of Walsh-Fourier series \(\sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k w_k \left( x \right)} \) of an integrable function with coefficients such that lim_n→∞ and the following Tauberian condition of Hardy-Karamata kind is satisfied: $$\mathop {lim}\limits_{\lambda \to 1 + 0} {\text{ }}\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = n}^{\left[ {\lambda n} \right]} {k^{p - 1} \left| {\Delta a_k } \right|^p } = 0,$$ , wherep>1, [·] denotes the integral part, and Δa _k=a_k?a_k+1.     

The convergence of moments in the central limit theorem for stationary ϕ-mixing processes

Пусть {X_j} - строго стац ионарная последоват ельностьс ?перемешиванием, EXj-Q,E¦-X _j¦^r<∞ для некоторогоr>2. Положим \(S_n = \mathop \sum \limits_{j = 1}^n X_j \) . Ибрагимов (1962) доказал, что если приn →∞, то 1 $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\{ S_n /\sigma _n< x\} = (2\pi )^{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^x e^{{{ - u^2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - u^2 } 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} du.$$ В работе установлено, что при указанных выш е условиях в этой центральной пр едельной теореме имеет место т акже и сходимостьr-ых абсолютных моментов, т.е. если σ _n ² →∞ приn→ ∞, то $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } E|S_n /\sigma _n |^r = (2\pi )^{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } |u|^r e^{ - u^2 /2} du.$$ Этот результат обобщ ает один более ранний результат автора (1980 г.).     

Асимптотические рав енства для интеграло в от модуля суммы кратн ого ряда из синусов

Assume that the coefficients of the series $$\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i = 1}^m \sin k_i x_i $$ satisfy the following conditions: a) a_k → 0 for k₁ + k₂ + ...+k_m →∞, b) \(\delta _{B,G}^M (a) = \mathop {\mathop \sum \limits_{k_i = 1}^\infty }\limits_{i \in B} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_j = 2}^\infty }\limits_{j \in G} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_v = 0}^\infty }\limits_{v \in M\backslash (B \cup G)} \mathop \Pi \limits_{i \in B} \frac{1}{{k_i }}|\mathop \sum \limits_{I_j = 1}^{[k_j /2]} (\nabla _{l_G }^G (\Delta _1^{M\backslash B} a_k ))\mathop \Pi \limits_{j \in G} l_j^{ - 1} |< \infty ,\) for ∨B?M, ∨G?M,B∩G, where M={1,2, ...,m}, $$\begin{gathered} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta _1^j a_k = a_k - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_{j + 1} } ,\Delta _1^B a_k = \Delta _1^{B\backslash \{ j\} } (\Delta _1^j a_k ), \hfill \\ \Delta _{l_j }^j a_k = a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j - l_j } - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j + l_j } ,\nabla _{l_G }^G a_k = \nabla _{l_{G\backslash \{ j\} } }^{G\backslash \{ j\} } (\nabla _{l_j }^j a_k ). \hfill \\ \end{gathered} $$ Then for all n∈N^m the following asymptotic equation is valid: $$\mathop \smallint \limits_{{\rm T}_{\pi /(2n + 1)}^m } |\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i \in M} \sin k_i x_i |dx = \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \left| {a_k } \right|\mathop \Pi \limits_{i \in M} k^{ - 1} + O(\mathop {\mathop \sum \limits_{B,{\mathbf{ }}G \subset M} }\limits_{B \ne M} \delta _{B,G}^M (a)).$$ Here \(T_{\pi /(2n + 1)}^m = \left\{ {x = (x1,x2,...,xm):\pi /(2n + 1) \leqq xi \leqq \pi ;i = \overline {1,m} } \right\}\) . In the one-dimensional case such an equation was proved by S. A. Teljakovskii.     

Strong convergence in nonparametric estimation of regression functions

The nonparametric regression problem has the objective of estimating conditional expectation. Consider the model $$Y = R(X) + Z$$ , where the random variableZ has mean zero and is independent ofX. The regression functionR(x) is the conditional expectation ofY givenX = x. For an estimator of the form $$R_n (x) = \sum\limits_{i = 1}^n {Y_i K{{\left[ {{{\left( {x - X_i } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {x - X_i } \right)} {c_n }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {c_n }}} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left[ {{{\left( {x - X_i } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {x - X_i } \right)} {c_n }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {c_n }}} \right]} {\sum\limits_{i = 1}^n {K\left[ {{{\left( {x - X_i } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {x - X_i } \right)} {c_n }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {c_n }}} \right]} }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sum\limits_{i = 1}^n {K\left[ {{{\left( {x - X_i } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {x - X_i } \right)} {c_n }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {c_n }}} \right]} }}} $$ , we obtain the rate of strong uniform convergence $$\mathop {\sup }\limits_{x\varepsilon C} \left| {R_n (x) - R(x)} \right|\mathop {w \cdot p \cdot 1}\limits_ = o({{n^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(2 + d)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {(2 + d)}}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{n^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(2 + d)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {(2 + d)}}} } {\beta _n \log n}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\beta _n \log n}}),\beta _n \to \infty $$ . HereX is ad-dimensional variable andC is a suitable subset ofR ^d .     

On the properties of the strong Cesàro summability and strong convergence of series

Говорят, что ряд \(\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \) сумм ируется к s в смысле (С, gа), gа >?1, если $$\sigma _n^{(k)} - s = o(1),n \to \infty ,$$ в смысле [C,α] _λ , α<0, λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {\sigma _k^{(\alpha - 1)} - s} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ и в смысле [C,0] _λ , λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {(k + 1)(s_k - 1) - k(s_{k - 1} - 1)} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ где σ _n ^(α) обозначаетn-ое ч езаровское среднее р яда. Суммируемость [C,α] _λ , α>?1, λ ≧1 о значает, что $$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty k^{\lambda - 1} \left| {\sigma _k^{(\alpha )} - \sigma _{k - 1}^{(\alpha )} } \right|^\lambda< \infty .$$ В данной статье содер жится продолжение ис следований свойств [C,α] _λ -суммиру емо сти, которые начали Винн, Х ислоп, Флетт, Танович-М иллер и автор, в частности свя зей между указанными методами суммирования. Наконец, даны некотор ые простые приложени я к вопросам суммируемости ортог ональных рядов.