简解一道CMO试题

2001年中国数学奥林匹克(CMO)第一题给定a,2～(1/2)相似文献   

一道竞赛题的若干探究

问题设△ABc的面积为1,D是边AB上一点,且AD/AB=1/3.若在边AC上取一点E,使四边形DECB面积为3/4,则CE/EA的值为( ). (A)1/2 (B)1/3 (c)1/4 (D)1/5 这是2003年全国初中数学竞赛的一道试     

复合最值问题的思考方法

所谓复合最值就是在一群最大(小)值中求最值。其思考方法有以下几种。一、算术平均值法若M,m分别是变数a_1,a_2,…a_n中的最大者与最小者,则对a_1,a_2,…,a_n中任意几个数的算术平均值A均有 M≥A≥m。这虽是一个简单的事实,却应用广泛且易被人忽视。例1 求单位圆内接四边形的最短边的最大值。(82年上海中学数学竞赛试题) 解记圆内接四边形ABCD各边所对劣弧度数分别为AB,BC,CD,DA,则最短边所对劣弧度数小于等于故单位圆最短边的最大值为2sinπ/4=2~(1/2)。此时四     

旋转变换妙解赛题二则

<正>例1 (2012年"数学周报杯"全国初中数学竞赛)如图1,四边形ABCD中,AC、BD是对角线,△ABC是等边三角形,∠ADC=30°,AD=3,BD=5,则CD的长为().(A)2^(1/3)(B)4(C)5(1/3)(B)4(C)5^(1/2)(D)4.5解法1如图2,将△BCD绕点C沿顺时针方向旋转60°,得到△ACE.连接DE,则AE=BD=5,△CDE是     

“做”数学

新课标体现新的理念 ,“学数学”、“做数学”是新的课程标准体现的目标和要求 ,也是培养数学能力的重要手段 .纵观近年来各地中考试卷 ,处处无不体现这一思想 .本文以近年来中考题为例 ,撷集数例如下 ,供赏析 .1 .折一折例 1　 ( 2 0 0 3年北京市海淀区中考题 )如图 1 ,把△ABC纸片沿DE折叠 ,当点A落在四边形BCDE内部时 ,则∠A与∠ 1 +∠ 2之间有一种数量关系保持不变 ,请试着找一找这个规律 ,你发现的规律是 (　 ) .A .∠A =∠ 1 +∠ 2　　B .3∠A =2∠ 1 +∠ 2C .3∠A =2 (∠ 1 +∠ 2 )D .2∠A =∠ 1 +∠ 2分析 :由四边形的内角…     

凸四边形内切圆心轨迹圆弧的探究证明与推广应用

<正>两组对边长度之和相等的凸四边形存在内切圆这个结论是熟知的.笔者研究了2022年北大强基测试中凸四边形内切圆问题,发现了凸四边形的边长与内切圆圆心轨迹的关系,并推广到一般情形;进而得到一个圆外切四边形面积的简洁公式,为2021年中国数学奥林匹克(CMO)试题中凸四边形内切圆问题提供一种证明方法.     

椭圆顶点四边形的内切圆的若干性质及其应用

定义1我们把椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的四个顶点(±a,0)、(0,±b)叫做椭圆的顶点四边形.如图1.定义2与椭圆的顶点四边形各边都相切的圆叫做椭圆顶点四边形的内切圆.如图1.     

一道最值问题的解法探究

<正>题目已知椭圆C的方程为x²/(10)+y2/(10)+y²/9=1,F为C的右焦点,A为C的上顶点,P为C上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF(其中O为坐标原点)的面积最大值为().(A)3/2(B)3/2(11)2/9=1,F为C的右焦点,A为C的上顶点,P为C上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF(其中O为坐标原点)的面积最大值为().(A)3/2(B)3/2(11)^(1/2)(C)3/2(10)(1/2)(C)3/2(10)^(1/2)(D)1解法1(坐标法)因为S_(四边形OFPA)=S_(△AOF)+S_(△AFP),其中S_(△OAF)为定值.若使四边形面积最大,则需S_(△AFP)     

"关于四边形的两个定理"的向量证明及推广

<数学通报>2010年第5期刊登的文[1]中给出了凸四边形中的中线定理和对角线定理如下: (1)中线定理:如图1在凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)=AD2+BC2-AB2-CD2.     

从一道习题的教学谈能力的培养

下面就是一道习题的教学浅谈能力的培养。命题:四边形ABCD、E、F、P、Q分别为BC、DA三等分点。则S_(BFPQ)=1/3S_(ABCD) 分析:这是大家熟悉的命题,所要运用的知识是等底同高面积相等。略证:连BD、FD,则S_(△BDF)=(2/3)S_(△BCD), 同理,S_(△BDQ)=(2/3)S_(△ABD)。再连FQ。显然S_(△QBF)=(1/2)S_(△BFQ), S_(△FQP)=(1/3)S_(△DFQ),综合上面等式有 S_(EFPQ)=(1/3)S_(ABCD)。解决了这一命题后,我们将问题这样引伸:如果四边形对边等分点是3呢?回答是找不到位于中间的四边形此,类问题没有研究的可能。等分点为4,对应等分点分别连线,可让学生得出位于中间的四边形的面积为原四边形面积的     

对无限凸四边形的面积与半周长之比的一些探索

1987年第六期《数学通报》发表了《对一种“特殊”四边形的一些研究》一文(以后简称“研究”),言犹未尽;本文就是探索这样一种“特殊”四边形的面积与半周长之比。要说明的是,“研究”一文所提出的“特殊”四边形应命名为“无限凸四边形”。这里所说的“无限”是指的面积和周长都是无限量,     

凸四边形一个性质的推论及应用

《中学生数学》(初中)2010年第3期登载的盛道明老师的"巧用凸四边形的一个性质解题"一文(下称文[1]),介绍了凸四边形中一个     

为何要摒弃“通法”?

《中国数学教育》(初中版)2014年第10期刊载了陈金红老师的文章《几何"形",代数"声",三角函数"心"》,该文谈论的是2014年湖南省常德市的一道中考压轴题.题目如图1、2,已知四边形ABCD为正方形,在射线AC上有一动点P,作PE⊥AD(或延长线)于E,作PF⊥DC(或延长线)于F,作射线BP交EF于G.(1)在图1中,设正方形ABCD的边长为2,四边形ABFE的面积为y,AP=x,求y关于x的函数表达式;(2)结论:GB⊥EF对图1、图2都是成立的,请任选一图形给出证明;     

一句话引发的“颠覆”

1 缘由近日,八年级校本课程的一节数学综合实践活动课中,笔者精心选择了一个教学素材《等周长图形的面积》,主要的思路是:让学生经历一系列的纸片的等积变换(如图1所示)的拼图过程,通过操作、观察、交流、归纳等教学活动,试图得出基于数学活动的三个认识:(1)等周长的四边形,当四边形为平行四边形时,其面积最大;(2)等周长的平行四边形,当平行四边形为矩形时,其面积最大;(3)等周长的矩形,当矩形为正方形时,其面积最大.综合“三个认识”,推导出结论:等周长的四边形中,以正方形的面积为最大.     

由一道赛题想到的

问题1 四边形ABCD内接于⊙O,AB与DC相交于P,AD与BC相交于Q,AC与BD相交于R.求证:O为△PQR的垂心. (2001年东北三省数学邀请赛试题) 由问题1,我想到下面两个问题: 问题2 四边形ABCD内接于圆,以B与DC延长线交于P点,AD、BC延长线交于Q     

善用相似 有效解题

<正>特殊四边形知识常常是中考数学的热点和重点,2016年江苏省泰州市中考数学试题第25题就是研究不同情形下的正方形内的边角关系,综合性强.解法多样,以下浅析第(2)-(2)问的几种不同解法.一、原题(2016年江苏省泰州中考)已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边     

一个平行四边形判定定理的简证

《数学通报》2006年第4期上刊登的1601号问题是:凸四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和,求证:此四边形是平行四边形.问题提供人给出的解答过程较为繁复,且技巧性强,不易掌握.笔者提供一种较为简捷的向量证法,供读者参考.证(如图)由题意AC2 BD2=AB2 BC2 CD2 DA2,因为AC=AB     

例谈探究题的变式

中考试卷中有很多试题非常典型,教师只要对试题恰当变式,引导学生对这些试题进行合理探究,就可以做一题,懂一类,会一片.从而脱离题海,轻松学习,使学生由学数学向研究数学转变,现举一例.题目(2010年湖北省荆门市中考试题第24题) 已知:如图1,一次函数y=1/2 x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=1/2 x2+bx+c的图象与一次函数y=1/2 x+1的图象交于B,C两点,与x轴交于D,E两点且D点坐标为(1,0)(1)求二次函数的解析式;(2)求四边形BDEC的面积S;(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.     

应用距离公式解数学题

许多数学竞赛题中的平几题,运用两点间距离公式P_1P_2=((x_2-x_1)~2+(y_2-y_1)~2)~(1/2)去解,它会给我们带来较大的方便。请看下例。 例1 四边形ABCD中,∠ABC=135°,     

漏解分析与补遗

<正>一、题目呈现与其流行的解法题目已知直线l_1:x+3y-7=0,l_2:y=kx+b与x轴、y轴的正半轴围成的四边形有外接圆,求k的值及b的取值范围.这是流行于许多数学教辅资料的一道题目,其解法(以下称为流行解法)如下:解由于已知直线l_1:x+3y-7=0,l_2:y=kx+b的斜率分别为k_1=-1/3,k_2=k,又直线l_1、l_2与x轴、y轴正半轴围成的四边形有外接圆,如图1所示.