创新构造求轨迹方程举隅

求曲线轨迹方程的常规方法在不少报刊上都有登载 ,这里不再赘述 .本文仅例举通过观察、适当变换式子结构 ,构造模型寻求圆锥曲线轨迹方程的题目 ,以对同学们创新思维有所启发 .例 1　求经过点Ａ( 4 ,-1) ,并且与直线2ｘ -ｙ =0相切于点Ｍ ( 1,2 )的圆的方程 .分析 :解这个题的常规思维方法是先设出所求圆的方程 (ｘ -ｘ0 ) 2 ( ｙ -ｙ0 ) 2 =ｒ20 ,再由已知条件列出方程组 ,然后求得待定系数ｘ0 ,ｙ0 和ｒ0 ,得出所求圆的方程 .但这种方法计算繁杂 .若改变看问题的角度 ,把点Ｍ ( 1,2 )看作点圆 (ｘ -1) 2 ( ｙ -2 ) 2 =0 ,这样所求的圆就…     

圆锥曲线的平行弦中点的轨迹

<正>我们从大家所熟悉的圆的平行弦中点的轨迹开始研究.例1已知圆x~2+y~2=r~2,B为该圆内的■动弦.斜率为m(常数).求此动弦中点轨迹的方程.分析涉及圆内弦的中点,同学自然想到垂径定理:垂直于弦的直径平分弦.     

相切问题与圆锥曲线

问题:“已知一动圆与⊙C1:(x 3)2 y2=4和⊙C2:(x-3)2 y2=1都相外切,求此动圆圆心的轨迹方程.”     

巧用圆的定义求轨迹

<正>在"直线和圆的方程"这一章中常碰到一些求轨迹方程的题,常见解答过程如下:题1一条线段AB(|AB|=2a)两端点A和B分別在x正轴和y正轴上滑动,求AB中点M的轨迹方程.解设A (m,0),B (0,n),M (x,y),则x=m/2,     

78 圆的切线方程

我们知道，求适合某种条件的点的轨迹问题，实际上就是探求这些点的横生标X与纵坐标y之间的关系．我们已经得到了圆的标准方程：（X-a）2＋（y-b）2=r2圆的标准方程是由哪些量决定的呢？可以看出，要确定圆的方程，只须确定a、b、r这三个量即可．1例题“已知圆的方程是X2＋y2=17，求经过圆上的一点P的切线的方程，’在教师的启发引导下，学生得出了过P点的切线方程为：JHx十Jlly—17．也许，大家对这个方程的特点，一时还看不出来！变化一下：“……，求经过圆上一点Q（4，1）的切线方程．”得到4X＋y一17．如果还看不出规律与特点，请…     

直线与圆

直线与圆是解析几何中最简单而变化丰富、应用广泛的内容之一 ,同时也是应用解析法解决平面几何问题的基础 .本讲主要突出如下三个问题 :1)直线和圆的方程 .2 )直线与直线、直线与圆的位置关系 .3)直线系与圆系的方程 .例 1　 (第 10届希望杯邀请赛试题 )过点Ｐ(6 ,8)作两条互相垂直的直线ＰＡ、ＰＢ ,分别交ｘ轴正半轴于Ａ ,ｙ轴正半轴于Ｂ .1)求线段ＡＢ中点的轨迹 ;2 )若Ｓ△ＡＯＢ=Ｓ△ＡＰＢ,求ＰＡ与ＰＢ所在直线的方程 .讲解　对于第 1)小题 ,常见的思路有两种 :一是利用ｋＰＡ·ｋＰＢ=- 1建立线段ＡＢ中点的轨迹方程 ;二是引入斜率…     

问题

问题164 设点A（2，0），点B在圆x^2＋y^2=1上，点C是∠AOB的角平分线与线段AB的交点，求当B运动时点C的轨迹方程．     

椭圆中的“垂径定理”

圆中的垂径定理是我们较为熟悉的,但其实在椭圆中也存在着与圆中垂径定理类似的结论.一、问题的起源设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1,求椭圆所有斜率为k的弦的中点轨迹方程.解运用点差法,设弦与椭圆分别交于不同的两点(x1,y1),(x2,y2),由于点在直线上,有     

由一道高考题反思解析几何的教学

1问题的提出笔者有幸参加了2005年江苏省的高考阅卷工作,评阅的是第19题,题目如下:如图1,圆O1和圆O2的半径都为1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点),使得PM=2 PN.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.这是一道公认的好题,它源自课本,体现图1了平面     

抛物线弦中点轨迹的一个重要结论

以下三道关于抛物线弦中点的轨迹问题引起了我的思考 ,即 :例 1　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =4ｘ的顶点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 2　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =16ｘ的焦点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 3　直线ｌ过 (0 ,4 )点 ,与抛物线ｘ2 =8ｙ相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .将以上三题的相关结果列表如下 :表 1　例 1,例 2 ,例 3的解答结果内容题号抛物线方程弦中点轨迹方程弦所过定点弦中点轨迹顶点抛物线通径弦中点轨迹通径例 1ｙ2 =4ｘ ｙ2 =2ｘ (0 ,0 ) (0 ,…     

圆的一个性质的探求

一、问题的提出在高级中学课本《平面解析几何》(必修 )第 68页上有这样一道例题 :已知一曲线是与两个定点Ｏ(0 ,0 )、Ａ(3 ,0 )距离的比为12 的点的轨迹 ,求这个曲线的方程 ,并画出曲线 .课本中给出本题的答案是 :所求的轨迹方程为 (ｘ+ 1) 2 +ｙ2 =4,它是以Ｃ(-1,0 )为圆心 ,ｒ =2为半径的圆 (如图 ) .一般地 ,我们还可以证明 :与两个定点Ｍ1 、Ｍ2 距离的比是一个常数ｍ(ｍ >0 ,ｍ≠ 1)的动点轨迹是一个圆 (证明从略 ) .现在我们要思考的问题是 ,这两个定点及定比与所得的圆是什么关系 ?对于一个圆 ,是否一定存在一对点 (唯一还是无穷多…     

直线的参数方程的应用(续完)

二、在求轨迹方程(包括直线方程)中的应用例1.从原点向抛物线族y~2=2P(x-a)(a≥0)中的抛物线作切线,求切点的轨迹方程。解:∵a≥0.故抛物线族有过原点的切线,设切线方程     

圆的视角下对圆锥曲线定义的解读

圆是我们最熟悉的平面几何图形之一,它与椭圆、双曲线、抛物线同属于解析几何,它们之间必然存在着千丝万缕的联系.圆锥曲线的定义是高考重要考查形式之一,本文以2013年全国新课标卷中圆锥曲线问题为例,站在圆的视角下对圆锥曲线的定义进行再次解读,请同行指导.题目(2013年新课标1)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)略.     

复数方程变形也应注意同解性

压区性是复平面上的一点,对应复数z;,z是模为l的任意复数,求Zw=z+21所表示的轨迹. 解答这道题,常有下面两种方法: 解法一:由2切=21+2得Zw一z二z;,方程两边取模得}w一粤}二 ‘l生Ll,21 故所求轨迹是复数音对应的点为圆心(定长)为半径的圆(族).解法二:由Zw=z+z;得Zw一z,=z方程两边取模得lw一令!一}白故}w一今}一告所以,所求轨迹是以今所对应的复平面上点(定点)为圆心,以士为半径的圆. 这两种解题方法相同,所求轨迹亦都是圆,但结果不一‘致,是什么原因造成的呢? 解法一由Zw=之+zl,得Zw一z=21,这是等价的,方程两边取模,显然,Zw一z与z的模是…     

一道习题的探究与拓展

先看一道高三训练题:如图1,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD,再过圆上任意一点H作圆的切线,交AC、BD于C、D两点,设AD、BC的交点为R,求动点R的轨迹E的方程.     

阿波罗尼斯圆与数学巨匠阿波罗尼斯

1 阿波罗尼斯圆 《平面解析几何》(必修)课本(P68)上,有这样的一个例题: 已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离比为1/2的点的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线.是:以C(-1,0)为圆心,以 r=2为半径的圆,即(x 1)2 y2=4,如图1. 再看一例: 设复数z=x     

用几何画板求与直线、定圆相切的圆心轨迹

先看下面的问题及解答 :图 1已知圆Ｃ :(ｘ -2 ) 2+ｙ2 =1 ,一动圆与ｙ轴相切 ,又与圆Ｃ外切 ,试求这动圆的圆心的轨迹方程 .解　如图 1 ,设动圆的圆心为Ｏ1(ｘ ,ｙ) ,有|Ｏ1Ｃ|=|Ｏ1Ｐ|+|ＰＣ|=|Ｏ1Ｐ|+1 ,即　 (2 -ｘ) 2 +ｙ2 =ｘ +1 .因此所求动圆的圆心轨迹方程为ｙ2 =6ｘ -3 .当定圆的半径变化时 ,比如半径分别为 2、3时 ,上述解法是否仍然正确呢 ?答案是否定的 .我们可以通过几何画板来观察分析 .具体作法如下 :显示坐标系 ,作一长度为 1的线段ＡＢ ,以Ｃ(2 ,0 )为圆心、ＡＢ为半径画圆 ,由上述解法可知与ｙ轴相切且与 (ｘ -2 ) 2 +ｙ…     

不能乱套公式

在圆锥曲线这一块,利用标准方程来处理 一些相关的题目往往事半功倍,能大大简化运 算过程.因此,遇到此类题目时,大家很容易不 假思索地采用标准方程.殊不知,有时会产生 意想不到的错误. 请看以下两个例子: 1.点P与定点(2,0)的距离和它到直线x =8的距离的比是1/2,求点P的轨迹方程,并说 明轨迹是什么图形. 2.点P与定点(2,0)的距离和它到直线x =8的距离的比是2~(1/2)/2,求点P的轨迹方程,并 说明轨迹是什么图形. 题1为人教版新教材103页题,大部分同 学解答如下:     

与圆有关的最值问题的求解策略

<正>一、数形结合靠直观数形结合是解析几何的精髓.一般说来,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的最值问题,大都可以依靠几何直观轻而易举获得解决.例题1已知实数x,y满足方程x²+y2+y²-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)2-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)²+y2+y²=3,它表     

对一道课本例题的联想——过定点与圆及圆锥曲线的切线的性质探究

1 教学案例 人教版2003年全日制普通高级中学教科书(必修)数学第2册(上)第7.6节圆的方程中的例2是:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程. 本题有定义法、方程法、平面几何法、向量法等多种方法,所得切线方程为x0x+y0y=r2.