关于n维单形体积的两个不等式

设Ω(A_n)是n维欧氏空间E~n的一个n维单形,其顶点集为A_n={P_0,P_1,…,P_n},棱长为|P_iP_j|=a_(ij),体积为V_n外接超球的半径为R_n各棱长的乘积为P_n=multiply from 0≤i相似文献   

关于凸函数的Hadamard不等式的拓广(英文)

设,是区间[a,b]上连续的凸函数。我们证明了Hadamard的不等式 f(a+b/2)≤1/b-a integral from a to b (f(x)dx)≤f(a)+f(b)/2可以拓广成对[a,b]中任意n+1个点x_0,…,x_n和正数组p_0,…,p_n都成立的下列不等式 f(sum from i=0 to n (p_ix_i)/sum from i=0 to n (p_i))≤|Ω|~(-1) integral from Ω (f(x(t))dt)≤sum from i=0 to n (p_if(x_i)/sum from i=0 to n (p_i),式中Ω是一个包含于n维单位立方体的n维长方体,其重心的第i个坐标为sum from i=i to n (p_i)/sum from i=i-1 (p_i),|Ω|为Ω的体积,对Ω中的任意点t=(t_1,…,t_n) ω(t)=x_0(1-t_1)+sum from i=1 to n-1 (x_i(1-t_(i+1))) multiply from i=1 to i (t_i+x_n) multiply from i=1 to n (t_i)。不等式中两个等号分别成立的情形亦已被分离出来。 此不等式是著名的Jensen不等式的精密化。     

用〔F,d_n〕平均逼近周期函数

设f(x)∈L_(2π)的Fourier级数为 f(x)～a_0/2+sum from n=1 to ∞ (a_ncosnx+b_nsinnx)sum from n=0 to ∞(A_n(f,x)) (1)以s_n(f,x)sum from i=0 to n(f,x)表示(1)第n部分和。称序列     

含根式不等式的处理方法

含根式不等式因技巧性较强,历年来颇受命题者喜爱,下面请欣赏几例. 一、三角代换例1 已知xi≥0,x0=0,sum from i=0 to nxi=1.求证:sum from i=1 to n xi/(1+x0+…+xi-1)(xi+…+xn)~(1/2)<π/2.证明 令x0+…+xi-1=sinθi-1,0=θ0≤θ1≤θ2≤…≤θn=π/2.则原式=sum from i=1 to n sinθi-sinθi-1/cosθi-1     

布尼雅可夫斯基不等式的推广

定理:不等式 (sum from i=1 to m(a_(1i) a_(2i)…a_(ni)))~n≤≤sum from i=1 to m(a_(1i))~n sum from i=1 to m(a_(2i))~n…sum from i=1 to m(a_(ni))~n對於任意自然數n都成立,其中a_(ki)為正數(K=1,2,…,n,i=1,2,…,m). 證明: 設 A_K~n=sum from i=1 to m(a_(Ki))~n (K=1,2,…,n), x_(Ki)=a_(Ki)/A_K,(K=1,2,…,n i=1,2,…,m)則從n侗正數的幾何平均值小於或等於其算術平均值這個結果可得 x_(1i)x_(2i)…x_(ni)≤((x_(1i))~n+(x_(2i))~n+…+(x_(ni))~n)/n由此更推得a_(1i)a_(2i)…a_(ni)=A_1A_2…A_n(x_(1i)x_(2i)…x_(ni)≤     

关于Littlewood的一个问题

本文证明了: (1)如果{a_n}_n~N=1是非负不减序列,p>0,q>0,0≤r≤1,且p(q+r)≥q+p,则sum from n=1 to N(a_n~pA_n~q)(sum from m=n to N(a_n~(1+p/q)~r≤1·sum from n=1 to N(a_n~pA_n~q)~(1+p/q),其中A_n=sum from m=n to n (a_m).上述不等式在0≤r≤1时完全解决了H.Alzer~([4])在1996年提出的一个问题,且1是最佳常数; (2)如果{a_n}_n~N=1是非负序列,p,p≥1,r>0,r(p-1)≤2(q-1),令α=((p-1)(q+r)+p~2+1)/(p+1) β=(2p+2r+p-1)/(q+1),σ=(q+r-1)/(p+q+r)则sum from n=1 to N (a_n~p)sum from i=1 to n (a_i~qA_i~r)≤2~σsum from n=1 to N(a_n~αA_n~β)(0.2)(0.2)式改进了G.Be(?)et~([2,3])在1987年对Littlewood一个问题的结果,常数因子的3/2降为2~(3/2)=1.2598…     

一个代数不等式的加强

近两年,在众多刊物上,载有不等式: multiply from i=1 to n(x_i+1/x_i)≥(λ/n+n/λ) (*)这里x_i∈R~+(i=1,2,…,n),x_1+x_2+…+x_n=λ≤n,仅当x_1=x_2=…=x_n时(*)式取等号。现在,我们给出(*)的一个加强: 定理设x_i∈R~+(i=1,2,…,n,n≥2),且sum from i=1 to n x_i=λ(常数)≤n,则 sum from i=1 to n(x_i+1/x_i)~(-1)≤n(λ/n+n/λ)~(-1) (1)当且仅当x_1=x_2+…=x_n时,(1)式中的等号成立。     

Hilbert重级数定理的一个改进

The object of this note is to prove the followingTheorem Let{a_n}and{b_n}be sequences of real numbers such that0<∑∑a_n~2<+∞and0<∑b_n~2<+∞.Then we have the inequalitysum from m=1 to∞sum from n=1 to∞a_mb_n/m+n<{sum from n=1 to∞(π-θ/n~(1/2)a_n~2}~1/2{sum from n=1 to∞(π-θ/n~(1/2)b_n~2}~1/2 (1)whereθ=3/2~(1/2)-1=1.121320343.     

关于误差方差估计渐近正态收敛速度的上,下界

考虑线性回归模型 Y_■=x_4~′β+e_■ i=1,2,…设误差序列■,i≥1满足条件:e_■ i≥1 i.i.d.,Ee_1=0,Ee_1~2=σ~2>0,∞>Var e_1~2=τ~2>0。记■_n~2=1/(n-r){sum from j=1 to n e■-sum from k=1 to r (sum from j=1 to n a_(akj)■_j)~2} δ(n)=τ~(-2)E(■_1~2-σ~2)~2I_((|■-σ~2|≥■τ)+τ~(-3)n~(1/2)|E(■_1~2-σ~2)~3I_((|■_1~2-σ~2|<(nτ)~(1/2))+τ~(-4)n~(-1)E■_1~2-σ~2)~4I_((|■-σ~2|0使得■|P(■_n~2-σ~2)/(Var■_n~2)~(1/2))≤x)-Φ(x)|≤C(δ(n)+n~(-1/2)) ■|P(■_n~2-σ~2)/(Var■_n~2)~(1/2))≤x)-Φ(x)|+n~(-1/2)≥C_1δ(n)。     

二次指派问题的一个新的限界方法

二次指派问题(QAP)的数学模型是:min{z(x)=sum from i=1 to n sum from =1 to n a_(ip)x_(ip)+sum from i=1 to n sum from p=1 to n sum from j=1 to n sum from q=1 to n c_(ipjq)x_(ip)x_(jq)|x∈},(1)这里∈(n~2维布尔集)是满足如下约束的集合:sum from i=1 to n x_(ip)=1,1≤p≤n,(2)sum from p=1 to n x_(ip)=1,1≤i≤n,(3)x_(ip)=0,1,1≤i,p≤n.(4)因为 x_(ip)~2=x_(ip)并且有约束(2)和(3),我们可以约定 c_(ipjq)=0,当 i=j 或 p=q.如果所有二次项的系数都可以写成