例谈数学试题中常见的"陷阱"

命题者为了试图从卷面上对学生较高层次的思维水平进行考察,在拟制试题时往往要精心设置一些"陷阱".一般地,尽管数学试题中的"陷阱"在具体表现形式上"千姿百态",但若认真剖析一下,我们就会发现:数学试题中常见的"陷阱"主要有三种类型,即知识性"陷阱"、思维性"陷阱"和心理性"陷阱".以下我们将通过几个实例来分别加以具体说明.     

"函数单调性"在不等式竞赛题中的妙用

函数是高中代数中最基本也是最主要的内容,函数的单调性又是其重中之重.利用函数(数列)的单调性求证不等式的核心即求最大(小)值,而求最大(小)值,利用函数的单调性是最常用的一种方法.以下分六个方面举列说明"函数单调性"在求证不等式中的妙用.……     

微分中值定理"中间点"的渐近性

本文在一般情况下讨论了微分中值定理"中间点"的渐近性,给出了具有普遍意义的结果.     

不等式"搭台"导数"唱戏"

用导数解决函数的单调性问题一直是全国各地市高考及高考模拟试题的重点,利用导数证明不等式便是近年高考最热衷的题型之一,此类问题的特点为:问题以不等式形式呈现,而"主角"往往却是导数,因此构造函数成为证明不等式的良好"载体".构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系在通过转化变换之后与某些函数结构特征吻合.……     

关于复函数高阶微分"中值点"的渐近性

给出了复函数的高阶微分中值公式,并利用Stirling数这个工具获得了该公式"中值点"的渐近性.     

利用偶质数"2"解赛题

在质数集合中,"2"是惟一的偶数.正是"2"的这种特性,不难发现"2"在下列情况的存在性定理:(1)两个连续的自然数都是质数,则必有2(另一个是3)(2)两个质数的和与差是奇数,则必有2(3)两个质数的积是偶数,则必有2(4)两个质数的和与差仍为质数,则必有2"2"的存在性定理常常是在质数条件下解一些数学竞赛题的根据.     

在"高等数学"首堂课上讲授实数完备性

应用无穷小数来定义实数,可证明实数的完备性定理,并可在"高等数学"首堂课上严格地讲授.     

习题"磨"炼结构"谋"法

借用一句"成事在天、谋事在人"的谚语.数学解题乃是习题磨炼、结构谋法.数学结构,是指数学中的概念、公式、图形、程序以及一切数学法则、定律、定理的内在本质的形式化,在数学教学中,引导学生关注式的结构、图形的结构和程序结构的层次性、相似性、独立性、关联性,可以深刻体会数学思想,感悟数学本质,明确思维方向,从而优化解题策略,缩短思考时间,提高解题能力.     

"错误资源"的有效教学策略

叶澜教授在<重建课堂教学过程>一文中提到:"学生在课堂活动中的状态,包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等,都是教学过程中的生成性资源."教师在课堂教学中"有意"或"无意"的教学"错误",学生认知过程中的偏差或失误,我们称之为教学中的"错误资源".在课堂教学中,教师应极大地发挥"错误资源"的教学功能,将它们真正转化为课堂教学的有效资源,使"错误"变得美丽,让课堂演绎精彩!     

"无理"之处更飞花——重新诠释新课标背景下的"配方"

"数学课程要讲逻辑推理,更要讲道理"(人教版<普通高中数学课程标准(实验)>).这是由于,道理较少冰冷性、生硬性,能迅速、有效地"占领"学生思维的至高点.为此,在新课标背景下,应随时注意挖掘知识点或解决逻辑中可能存在着的道理,并依之最大程度地触动、打动思维,从而在引起共鸣之后,引领思维的自我革新、自我成长.……     

用AHP法建立教学质量评估体系

以AHP为理论基础,结合Delphi方法,对高校教师教学质量评估体系进行尝试性建构。通过构建结构→个体判断→群判断处理→量化指标体系生成的分步操作,来达到科学、民主、公正、客观的评价目标。     

关于多个子空间的交空间与维数公式的推广

通过讨论,得到了关于多个子空间的交空间的进一步的结果.并利用这些结果,给出了维数公式的一个新的推广形式,从而完善了维数公式的理论.     

Existence of Lipschitzian solutions to the classical problem of the calculus of variations in the autonomous case

Under general growth assumptions, that include some cases of linear growth, we prove existence of Lipschitzian solutions to the problem of minimizing ∫_a^bL(x(s),x′(s)) ds with the boundary conditions x(a)=A, x(b)=B.     

用模糊数学方法刻划公众对天气预报的感受度

气象部门将6小时的降雨按降雨量划分为无雨、小雨、中雨、大雨、暴雨、大暴雨及特大暴雨七个级别进行预报,这与公众感受认可这些降雨量级别的程度是有差异的.即使气象部门预报的很准,这种差异有可能使公众感受到降雨级别的程度和预报的级别不符,从而认为预报得不准确,用模糊数学的方法对公众的感受度进行了刻划,给出了计算预报数据与公众感受度差异的数值公式及方法.     

两个分块矩阵相似性的研究

给出两个分块矩阵相似的两个充分必要条件 .也就是说 ,如果两个方阵 A和 B在 A2 =0和 B2 =0的条件下 ,则两个分块矩阵 A C0 B 和 A 00 B 相似的充分必要条件是 :rank A C0 B =rank(A) +rank(B)和 AC +CB =0 .如果两个方阵 A和 B在 A2 =A和 B2 =B的条件下 ,则两个分块矩阵 A C0 B和 A 00 B 相似的充分必要条件是 :AC +CB =C.     

关于向量组的秩与最大无关组的教学改革研究

对向量的秩与最大无关组的教学过程进行了分析研究，从教学内容组织与教学手段等方面提出了改革的方案．对有的教材的不足提出了改进办法.     

On the location of critical points of polynomials

Given a polynomial of degree and with at least two distinct roots let . For a fixed root we define the quantities and . We also define and to be the corresponding minima of and as runs over . Our main results show that the ratios and are bounded above and below by constants that only depend on the degree of . In particular, we prove that , for any polynomial of degree .

     

On the motivic class of the stack of bundles

Let G be a split connected semisimple group over a field. We give a conjectural formula for the motivic class of the stack of G-bundles over a curve C, in terms of special values of the motivic zeta function of C. The formula is true if C=P¹ or G=SLn. If k=C, upon applying the Poincaré or called the Serre characteristic by some authors the formula reduces to results of Teleman and Atiyah-Bott on the gauge group. If k=Fq, upon applying the counting measure, it reduces to the fact that the Tamagawa number of G over the function field of C is |π₁(G)|.     

About the Notion of Semiring of Sets

We introduce a generalized notion of semiring and prove that all known properties that semirings have according to the old definition are preserved.